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整数論を勉強するためのスレッド

0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/02(土) 05:18:46.03ID:git0d3Jn
代数幾何のスレが盛り上がってるので建てた。
俺はSerreのLocal Fieldsを読む。
0130◆1Q4eaNW1a6
垢版 |
2019/12/19(木) 14:35:00.67ID:wqId/fcZ
>>126
ありがとうございます。
読んでみます
0132１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/20(金) 11:16:27.22ID:ws8TJhKh
整数論にまともに体系化された理論なんてないから勉強するだけ無駄
ゴールドバッハ予想や双子素数問題のような極めて基礎的な問題ですら解けてないのが現実
0134１３２人目の素数さん
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2019/12/20(金) 21:21:03.45ID:vUqDEWsx
代数的整数論をまじめに勉強する学生も減った
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/20(金) 22:42:31.52ID:vUqDEWsx
数論幾何を理解できる学生も減った・・・
0137１３２人目の素数さん
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2019/12/20(金) 23:14:02.78ID:ityGs6Ho
数論幾何は具体的なことやってて楽しいじゃん
0138１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/20(金) 23:29:38.76ID:vUqDEWsx
数論幾何で一本補助線を引いたらぱーっと問題が解ける
補助線に気がついた時の感覚がたまらないねww
0140１３２人目の素数さん
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2020/01/29(水) 00:44:54.37ID:s5EHIoOZ
SGA 4 1/2を読もうと思う
0142１３２人目の素数さん
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2020/01/29(水) 13:01:21.39ID:3zT5wqvW
双子素数問題の中国人やタオによる成果って、数論幾何とは別方向からだろ。
ゴールドバッハにしても。
数論幾何を崇める視野の狭いのが日本には多いね。
0143１３２人目の素数さん
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2020/02/05(水) 03:18:08.02ID:AQM1KB8L
ウィルソン剰余
　W(n) = mod((n-1)!, n)

〔ウィルソンの定理〕
　nが素数のとき　W(n) = n-1,
　n=4 のとき　W(4) = 2,
　n≧6 が合成数のとき　W(n) = 0,
0144１３２人目の素数さん
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2020/02/05(水) 03:22:42.29ID:AQM1KB8L
(略証)
nが素数pのとき
　1≦a<p とする。
　{a,2a,････,(p-1)a} のどの2個も (pを法として) 合同でない。
　また pの倍数でもない。
　よって 1,2,････,p-1 と合同な元が1個づつある。
　ba≡1 (mod p) となるbを a^(-1) と記す。
　aa≠1 (mod p) ならば、aと a^(-1) が対をなす。
　aa≡1 (mod p) となるのは a=1, a=p-1 のみ,
　(p-1)! ≡ p-1　(mod p)

n=4 のとき
　(n-1)! = 3! = 6 ≡ 2　(mod n)

n=pq≧6 のとき
　(p-1)(q-1) > 1,
　n = pq > p+q,
　n | n(p-1) = p(n-q) | (n-1)!
(終)
0145１３２人目の素数さん
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2020/02/19(水) 15:32:59.24ID:q7AU3Hic
653 １３２人目の素数さん2020/02/18(火) 08:55:02.79ID:i1rO8ufq

私は、数論(数論幾何)の美しさは、数がその背後に深遠な数学的構造を宿してるからだと
ばかり思ってきました。加藤和也先生の「素数の歌が聞こえる」という表現は
あまり詩的過ぎて今まで漠然と受け取っていましたが、しかしあくまで
数自体はその深遠な数学的構造を人間に教えてくれる媒介であって
謂わばそれ自体が本質ではない副次的な存在だと勝手に信じていました。

しかし私がそのような理由で、以前より軽視していた初等整数論の本で
ハーディの数論講義を最近一瞥したら、実はそうではなく、
背後の深遠な数学的構造の有無以前の、その素朴な数自体にも
人間の知性を超えた輝きが確かに存在しているのだと、考えが少し変わりました。
その数自体の美しさを知った上で今までの自身の学習を振り返ると、
複雑な込み入った数学的構造自体の上っ面にしがみつき踊らされ
頭のゴムひもが伸び切ってしまっていたようにも思います。

代数幾何、類体論、保型形式など通常の洗練された現代数学と並行して、
数の原点である初等整数論や解析的整数論も少しずつ学んでみようかと
思っています。とりあえずハーディの本を読むのも一朝一夕には行かない
と思いますが、ハーディの本を読んだあとは、
ジーゲルの解析的整数論、分割関数、連分数、素数分布論、
リーマンゼータ関数や楕円曲線の初等的な取り扱い、など色々考えられますが、
素朴な数の原点のその最高峰は何と言ってもラマヌジャンのような気がします。
ノートブック5巻、ロストノート5巻、これだけで既に膨大ですが
つまみ食いで学んでいくにしても、一体どこから何に手を付けるべきか
道標を示してくれているサーベイすら殆どありません。
どの巻はどんな内容でどんな人がどこから学んでいけばいいのか、
宜しければ是非ともお聞きしたいです
0146１３２人目の素数さん
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2020/03/26(木) 10:19:46.92ID:zUlAmjt2
>>143
ウィルソンの定理の拡張
n≧3 に対して
　P(n) = Π[1≦m≦n-1, (m,n)=1] m
とおく。このとき
(1)　P(n) ≡ ±1　(mod n)
(2)　P(n) ≡ -1　(mod n) となるのは
　n = p^e, 2p^e　　(pは奇素数、e≧1)
　　= 4
のときである。
0147１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/26(木) 10:25:26.81ID:zUlAmjt2
(略証)
(1)
　A = { m | 1≦m≦n-1, (m,n)=1}
　B = { m | mm≡1　(mod n)}
　C = { m | mm≠1　(mod n)}
とおくと Aは乗法群をなす。　A = B + C
　m∈A に対しては逆元 m^(-1) が存在する。 >>144
　m∈C ならば m と m^(-1) が対をなして相殺する。
　　　Π[m∈C] m = 1,
　m∈B ならば m と n-m と対をなすが -1 が残る。(← m≠n-m)
　　　m(n-m) ≡ -mm ≡ -1　(mod n)
　　　Π[m∈B] m = (-1)^(#B/2)
　　　ここで #B は偶数。
よって
　P(n) = Π[m∈A] m
　　= (Π[m∈B] m)･(Π[m∈C] m)
　　= (-1)^(#B/2)
　　= ±1
(2)
　P(n) ≡ -1 (mod n)　⇔　#B が4の倍数でない。⇔
　　n = p^e, 2p^e　　(pは奇素数、e≧1)
　　　= 4
数学セミナー、2000年3月号　NOTE (土岡氏)

*)　nの素因数分解における2の指数をe, 相異なる奇素数をk種とすると
　#B = 2^k　　　(e=0,1)
　　= 2^(k+1)　　(e=2)
　　= 2^(k+2)　　(e≧3)
となることが、中国剰余定理とnが素数べきの場合の計算から分かる。

高木貞治：「初等整数論講義」第2版、共立出版 (1971)
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320010017
0148１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/01(水) 13:57:46.99ID:3A39oS9Q
ご参考

[1]　C[n-1,r-1]・C[n,r+1]・C[n+1,r] = C[n-1,r]・C[n,r-1]・C[n+1,r+1],
　　　V. Hoggatt - Hansell: Fibonacci Quarterly, ９, p.120-133 (1971)

[2]　GCD{C[n-1,r-1]、C[n,r+1]、C[n+1,r]} = GCD{C[n-1,r]、C[n,r-1]、C[n+1,r+1]}
　　　Henry W. Gould (1972)

・文献
　B.Gordon, D.Sato, E.Straus: Pacific J. Math.,１１８(2), p.393-400 (1985)
　　(佐藤大八郎)
　数セミ増刊「数学の問題　第(3)集」日本評論社 (1988)　●72
0149１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/01(水) 15:17:04.62ID:3A39oS9Q
〔定理1〕(ガウスの三平方数定理)
自然数nが3個以下の平方数の和で表わせる。
(3)　　n = xx+yy+zz,　(x,y,z∈Z)
　⇔
(4)　　n ≠ (4^L)･(8k+7)　(L,kは非負の整数)

〔系1〕
　8k+1, 8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6 の形の自然数nは
3個以下の平方数の和で表わせる。
　8k+3 または 8k+6 の形の自然数nは、
ちょうど3個の平方数の和で表わせる。

〔定理2〕
十分大きい 8k+1, 8k+2, 8k+5 型の自然数nは、
ちょうど3個の平方数の和で表わせる。
　Schinzel (1959)
　E. Grosswald & A. J. Calloway (1959)

〔G.Pallの予想〕 (1933)
　16k+2 型は n>130　(反例: n=130)

それ以外は
　8k+1 型は n>25　(反例: n=25)
　8k+5 型は n>85　(反例: n=5,13,37,85)
と予想される。

数セミ増刊「数学の問題　第(3)集」日本評論社(1988)
●115
0150１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/01(水) 16:27:58.25ID:3A39oS9Q
>>148
[1]
Ｃ[n,r] = n!/(r!･(n-r)!)　より。

[2]
-(n+1)Ｃ[n-1,r-1] - (r+1)Ｃ[n,r+1] + (n-r+1)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n-1,r]
n･Ｃ[n-1,r-1] + (r+1)Ｃ[n,r+1] - (n-r)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n,r-1]
-n･Ｃ[n-1,r-1] - r･Ｃ[n,r+1] + (n-r+1)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n+1,r+1]
∴ GCD{Ｃ[n-1,r-1]、Ｃ[n,r+1]、Ｃ[n+1,r]} は右辺の約数でもある。
つまり 右辺のGCD の約数である。
この関係において r を n-r と置き換えれば、ただちに逆の関係を得る。
つまり証明が完成する。
0151１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/02(木) 00:45:08.94ID:FuYTez5K
とりあえず、円分拡大の相互法則くらい理解したい
0152１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/03(金) 11:44:39.24ID:5VVMl49z
Hilbertの理論を勉強中

k: algebraic number field
K/k: Galois extension
O_K(, O_k): integral closure of ℤ in K (resp k)

p⊂O_k: prime ideal
pO_K = P_1^e_1∩ ... ∩P_g^e_g (P_i⊂O_K: prime ideal)
0153１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/03(金) 15:11:43.17ID:eeTVLRoC
数論よく知らんけどF_pの原始根って存在だけで具体的な記述は未だ不明なの？
すごく基本的なことだと思うんだが
0154１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/03(金) 16:25:04.74ID:DGkWtZig
K/kがGalois拡大だと

e_1 = ... = e_g

なので、これをeとおく

また、p⊂O_kおよび各P_i⊂O_Kは極大イデアルなので、それによる剰余環は体

Κ_i = O_K/P_i
κ = O_k/p
f_i := [Κ_i : κ]

とすると、K/kがGaloisなら

f_1 = ... = f_g

これをfとおくと

[K : k] = efg
0155１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/03(金) 19:40:53.37ID:fI678po3
各P_iに対して

D_i := { g∈Gal(K/k)| g(P_i) = P_i }

とおく。
K/kがGalois拡大の場合、Gal(K/k)の{P_1, ..., P_g}への作用は推移的。
したがって、

g = |P_iの軌道| = |Gal(K/k)|/|D_i|

∴ |D_i| = ef
0156１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/03(金) 20:03:59.20ID:WF2k6rTY
π: D_i→Gal(Κ_i/κ)が以下のようにして定まる
g∈D_i, x + P_i∈Κ_iに対して、

π(g)(x + P_i) := g(x) + P_i

これは、全射だが、単射ではない。その核をI_iとすると、

|D_i| = ef
|D_i|/|I_i| = [Κ_i : κ] = f

より

|I_i| = e
0157１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/03(金) 20:07:04.41ID:WF2k6rTY
Gal(Κ_i/κ)は巡回群
その生成元をφ_iとする

e = 1のとき

D_i ～ Gal(Κ_i/κ)

なので、φ_iは、Gal(K/k)の元を定める
これを

((K/k)/P_i)

と書く
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/04(土) 11:44:57.33ID:rt4buAzO
円分拡大の場合

ζ = exp(2πi/n)
K = ℚ(ζ)
k = ℚ

Gal(K/k) = (ℤ/nℤ)^×
0159１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/05(日) 22:40:05.56ID:UWMau7O6
原始根がナゾすぎる
調べてみてもまだ全然よくわかってないみたいだけど
モチーフとかラングランズとか進展すれば分かるんかな？
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/06(月) 00:18:24.20ID:kUIZrhZl
モチーフは定義されとるよ。役には立たんが
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/06(月) 00:40:52.85ID:iyDiy84Y
はあ……？
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/06(月) 16:10:26.58ID:1uIC76Xf
数論幾何が発展しても、具体的な代数拡大における素イデアル分解とか分かるようにならないのね
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/06(月) 20:58:58.10ID:heuuRqFS
>>160
159だけどやはり役に立たないの？
今の数論の方向性で原始根みたいな基本的なことの理解は深まるのか疑問だったんだよね
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/06(月) 22:23:39.12ID:1EENeCgE
多元の院生でした
F先生は天才だと思うのですが、数論の天才はそれを遥かに凌駕するのですね……
この世界、ヤバスギですね……
0165１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/06(月) 22:36:29.99ID:1EENeCgE
私が学生のころから、I先生とF先生は多元の若手でも、明らかに突出していました。
そりゃあ、論文書かない教授とか居ますよ。だけど、旧帝大の先生なんて、やっぱ普通の人じゃなれないわけですよ
その秀才集団の中でも、この2人って、学生の目から見ても明らかに天才だったんですよね。
でも、世界にゃ彼らから見ても雲の上みたいな数学者がわんさかいるんですよね
ちっぽけだわ。俺ってちっぽけだわ。
0166１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/07(火) 00:45:04.52ID:oxk5mTUl
伝説級の数学者になる人
優秀な数学者になる人
数学者になる人
真面目な学生
おちこぼれ学生
そもそも学部入試すら通らないゴミ

透視図法みたいなもので、自分より遠くは粗くしか分類できない
0167１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/07(火) 00:48:50.24ID:18gt0abs
K, k: 代数体
K/k: Galois拡大
O_K, O_k: K, kにおける整数環
p⊂O_k: 素イデアル

pO_K = P_1^e_1∩...∩P_g^e_g (P_*⊂O_K: 素イデアル)

と素イデアル分解したとする。

Κ_i := O_K/P_i
κ := O_k/p
f_i := [Κ_i:κ]

とおくと、

[K : k] = Σ[i = 1 to g] e_i * f_i.

Gal(K/k)のKへの作用は、{P_1, ..., P_n}への作用を誘導する。
K/kがGalois拡大の場合、この作用は推移的になる。この時、

e_1 = ... = e_g

となる。これを簡単にeと書く。

K/kがGalois拡大の場合、さらに

f_1 = ... = f_g

となる。これを簡単にeと書く。よって、

[K : k] = efg.
0168１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/07(火) 00:52:16.18ID:18gt0abs
D_i := { σ∈Gal(K/k)| σ(P_i) = P_i }

とおく。このD_iをP_iの分解群という。群の作用の性質から

|{σ(P_i)| σ∈Gal(K/k) }| = |Gal(K/k)|/|D_i|.

Gal(K/k)の作用は推移的だったので、

g = [K : k]/|D_i|
∴ |D_i| = ef.

σ∈D_iとする。
x + P_i∈Κ_iに対して、σ(x) + P_iを対応させることで、群の準同型

D_i → Gal(Κ_i/κ)

が定まる。この準同型は全射だが、単射とは限らない。
その核をI_iとすると、

|D_i|/|I_i| = f_i
∴ |I_i| = e

このI_iを、P_iの惰性群という。
0169１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/07(火) 08:20:16.62ID:18gt0abs
以下、e = 1の場合を考える。このとき、

D_i ～ Gal(Κ_i/κ)

Κ_i/κは有限体の代数拡大なので、Gal(Κ_i/κ)は位数fの巡回群。
その生成元をφ_iとする。φ_iのD_i⊂Gal(K/k)への引き戻しを、

[(K/k)/P_i]

と書く。この元は、

[(K/k)/P_i](x) + P_i = x^f + P_i ∈ Κ_i

となる元である。

[(K/k)/P_i]の位数が1 ⇔ pはO_Kで完全分解


τ(P_i) = P_jとなるτ∈Gal(K/k)を用いると、

[(K/k)/P_i] = τ^(-1)∘[(K/k)/P_j]∘τ

となる。
したがって、K/kがAbel拡大であれば、この元はpのみから定まるので

((K/k)/p)

と書く。
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/07(火) 08:23:14.19ID:18gt0abs
k = ℚの場合

K = ℚ(ζ_m) (ζ_m := exp(2πi/m))
p = (p)⊂ℤ (p:奇素数)
とする。このとき、((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))は、

((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))(ζ_m) = (ζ_m)^p

で定まる自己同型である。

K: 代数体
K/ℚ: Abel拡大
とする。
Kronecker-Weberの定理より、あるmがあって、

ℚ⊂K⊂ℚ(ζ_m)

となる。対応する群は、

Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)⊃Gal(K/ℚ)⊃{e}

であり、

Gal(K/ℚ) ～ Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)/Gal(K/ℚ).

よって、p: 奇素数に対し、

(p)がKで完全分解 ⇔ ((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))のKへの制限が恒等写像
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/07(火) 17:44:03.27ID:teLchzzw
よくよく考えたら原始根以前に有限体やp進数の逆元も具体的に分かってるわけではないのか
aとbが互いに素な整数のとき、ある整数a*とb*が存在して
aa*+bb*=1
と出来る、この事実が全ての基礎になってるわけだけど
これらが簡単に表現できない(互除法で行き当たりばったりで作るしかない)ことが神秘的なのかね
文元センセも言ってた加法と乗法の複雑な絡み合い
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/07(火) 21:50:00.26ID:xomzJtfm
任意のnに対して、有理数体のガロア拡大で、ガロア群がZ/nZと同型になるものは存在しますか？
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/07(火) 22:15:15.02ID:6spc6HMY
算術級数定理より

p = kn + 1

となる素数pが存在する

ζを1の原始p乗根とすると、Q(ζ)/QはGalois拡大で、Gal(Q(ζ)/Q)は

(Z/pZ)^× ～ Z/(p-1)Z ～ Z/(kn)Z

これの部分群Hで、Z/kZと同形なものが存在する

(Q(ζ)^H)/Qが求めるもの
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/07(火) 22:22:16.29ID:teLchzzw
なるほど～
n|p-1なるpがあればいいとこまではわかったけど、算術級数定理か
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/07(火) 22:29:05.57ID:3T2KVGlb
すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明してくれ〜
0178１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/08(水) 05:13:10.38ID:Ibxp4XrV
この人がコーヒーの有名な一節の親なのか
「すべての自然数」てのはwikiのミスかね
0179１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/04/08(水) 17:53:12.92ID:9XSIHJqK
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1

4×5の場合
宝：1個　同等
宝：2〜5個　短軸有利
宝：6〜13個　長軸有利
宝：14〜20個　同等

□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■

短軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]

長軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]

同等☆

Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]
0180１３２人目の素数さん
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2020/04/08(水) 19:08:41.74ID:z2JLnDZ4
(1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3) ...
0181１３２人目の素数さん
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2020/04/10(金) 10:57:23.96ID:d17WbpJ8
>>180
e(n) := nを偶数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数
o(n) := nを奇数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数

とすると、x^nの係数は

e(n) - o(n)
0182１３２人目の素数さん
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2020/04/10(金) 12:25:30.15ID:+JuE8csR
e(n) - o(n)は、-1～1しか取らない
0183１３２人目の素数さん
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2020/04/11(土) 21:27:44.00ID:MRjm12uG
n=pq(異なる素数の積)のときn次の円分多項式の係数が-1～1しか取らないことの証明教えて
(このことからn=p^iq^jのときもそうなる)
0184１３２人目の素数さん
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2020/04/11(土) 21:45:35.93ID:MRjm12uG
自己解決した
0187１３２人目の素数さん
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2020/04/13(月) 20:37:25.26ID:eB1v2sjZ
ベルトラン仮説や算術級数定理のような素数に関する素朴でシンプルな定理あれば教えてください
(上のレーニの定理は少し複雑だなという感想です)
0188◆QZaw55cn4c
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2020/04/13(月) 22:13:45.40ID:2HELtJr7
>>187
ゴールドバッハの予想
＞全ての 3 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる
0189１３２人目の素数さん
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2020/04/13(月) 22:38:58.17ID:eB1v2sjZ
て、定理をお願いします…
0190１３２人目の素数さん
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2020/04/13(月) 22:39:44.21ID:doFm6REC
素数の逆数和は発散する
0191１３２人目の素数さん
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2020/04/14(火) 11:01:55.50ID:JKkrDks5
フェルマーの小定理
0192１３２人目の素数さん
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2020/04/14(火) 13:35:21.37ID:zAX8Cvpg
はよせい(｀_´)
0196１３２人目の素数さん
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2020/04/19(日) 20:20:35.32ID:74+JYiE8
おお！ありがとう
ヴィノグラードフとエルデシュ=ギンツブルグ初めて知りました
0197１３２人目の素数さん
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2020/04/20(月) 22:46:36.02ID:35vuW0Bh
ベルトランの仮説はゴールドバッハの予想から持ってこれる。中国剰余定理とフェルマーの小定理は素数の定義と3000時間にらめっこしてれば大体の人が自力発見できると思う
0198１３２人目の素数さん
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2020/04/23(木) 14:37:22.24ID:M2d54xbk
赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。
　i_1 + i_2 = i,
　j_1 + j_2 = j
　k_1 + k_2 = k,

(i,j,k）が
　i+j+k = 偶数,
　|i-j| ≦ k ≦ i+j,
の条件を満たすとき、
　{i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2}　　←集合として同じ
とすることができるか？
（色違いは許して同数）
0199１３２人目の素数さん
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2020/04/24(金) 17:10:41.00ID:FdH14EWV
>>190
H_n = Σ[k=1,n] 1/k
< Π[p≦n] (1+1/p+1/pp+････)
= Π[p≦n] 1/(1-1/p)
= Π[p≦n] {1 + 1/(p-1)}
= 2Π[2<p≦n] {1 + 1/(p-1)}
< 2Π[p<n] (1 + 1/p)
< 2 exp(Σ[p<n] 1/p),

H_n → ∞　(n→∞)
より
Σ[p<n］1/p → ∞　(n→∞)
0201１３２人目の素数さん
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2020/04/30(木) 16:58:26.97ID:njuvIHl8
保型形式は、楕円関数論の延長としてやるのが好ましいね

Δ=G_2^3 - 27G_3^2

とか言われても、係数の意味わかんねーし
0202１３２人目の素数さん
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2020/04/30(木) 17:53:00.38ID:Je+bO2n6
それって極の係数合わせてるだけではないの？
0203１３２人目の素数さん
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2020/04/30(木) 18:20:46.50ID:grParZpf
モジュラー形式をリー群に一般化したのが保型形式だけど、後々保型形式を勉強することを見越してモジュラー形式を保型形式と呼ぶことがあるから、恐らくモジュラー形式の話だろう
保型形式"論"では判別式は登場しないので知らなくても問題ない
0204１３２人目の素数さん
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2020/05/01(金) 14:34:31.11ID:2+h9EAX6
>>198
できる。これは何かの有名な問題？
0205１３２人目の素数さん
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2020/05/04(月) 14:16:03.55ID:jDRWX2Ph
3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0206１３２人目の素数さん
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2020/05/09(土) 08:44:51.34ID:pHr5kdzK
フェルマーの最初の定理って何だろう？

〔問題〕
n≧0 に対して　F_n = 2^(2^n）+ 1　とおく。
(1)　F_{n+1｝- 2 = F_n (F_n - 2）を示せ。
(2)　m<n のとき F_m と F_n は互いに素であることを示せ。
(3)　奇素数が無限個あることを示せ。

もちろん、F_n が素数とは限らない。
0208１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 18:24:34.89ID:bNx4VBt3
SerreのA Course in Arothmeticを読んでいます。
2章のはじめの定理の証明に、「ℤpはコンパクトであるため～」(ℤpはp進整数環)とサラッと書いてあるのですが、どう証明するのでしょうか
0210１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 18:50:42.02ID:eeOJx/cN
局所体Kは局所コンパクトであり、その付値環οはコンパクトである
Qpは局所体なので、その付置環Zpはコンパクトである
0211１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 18:56:11.96ID:bNx4VBt3
一般論知ってるとそうなるんですね。
局所体について書いてある本読んで見ます。
永田の可換体論かSerreのLocsl Fieldsに載ってるかな
0213１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 18:59:46.73ID:bNx4VBt3
p進整数はp進展開と1対1に対応するので、

X:=Π[n∈ℕ]ℤ/pℤ

からの全射が存在。
各ℤ/pℤに離散位相を入れ、積位相を考えると、Tychonoffの定理よりXはコンパクト。
なので、上の全射が連続写像であることを示せば良い。

ℤpは位相群なので、0の閉近傍系p^nℤpがの逆像がXの閉集合になることを示せば十分。
nは任意に取り、p^nℤpの逆像をFとすると、Fは(... , n(p+2) , n(p+1), 0, ..., 0, 0)の形のもの全体。この補集合は、有限個の開集合×残り全部ℤ/pℤなので、Xの開集合。したがって連続。□


こんな感じか
0214１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 19:07:42.38ID:XhRD3Cmi
>>208
Serreの流れだと有限環ℤ/p^nの射影極限だから有限集合（コンパクト）の（無限）直積で（チコノフの定理より？）コンパクトというつもりでしょ
その商体Q_pはそれゆえ局所コンパクトという論法だろう
0216１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 19:32:25.84ID:gdd+7JW+
すべての副有限群はコンパクトってことか
wiki読んでて知ったんだがすべての副有限群はある拡大のガロア群になるらしいね
Z_pをガロア群として持つような拡大って例えば何？
0217１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 19:33:19.62ID:bNx4VBt3
みなさんありがとうございます。

非自明なのは、チコノフの定理と、積位相とp進距離による位相がちゃんと対応するところですね
0218１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 19:47:30.98ID:rM3/opNb
>>216
pを奇素数

Gal(ℚ(ζ_p^(n+1))/ℚ)
～(ℤ/p^(n+1)ℤ)^×
～(ℤ/(p-1)ℤ)×(ℤ/p^nℤ)

なので、ℚ(ζ_p^(n+1))の部分体K_nで、Gal(K_n/ℚ)～ℤ/p^nℤとなるものが存在する

K=∪[n≧1]K_n

とすれば、Gal(K/ℚ)～ℤ_p

というふうに構成できたはず。
0219１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 19:56:01.79ID:rM3/opNb
こんなことしなくても、

K_n=ℚ(ζ_p^(n+1))
K_∞=∪[n≧1]K_n

とすれば、

Gal(K_n/K_0)～ℤ/p^nℤ

だから、Gal(K_∞/K_0)～ℤ_pか
0222１３２人目の素数さん
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2020/05/13(水) 02:03:48.03ID:A69DjUkt
お話ぶった切って申し訳ないのですが以下の疑問について教えて頂ける方はいらっしゃいますでしょうか？

①自然数1からnまでの約数の個数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？

②自然数1からnまでの約数の個数の逆数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？

よろしくお願いします
0224１３２人目の素数さん
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2020/05/15(金) 19:11:44.38ID:coEapvpP
ググると、徳島大学の学部4年生が1年で
Neukirchと、Hartshorneと、SerreのLocal Fieldsと、SGA 4 1/2の1章
を読了しているセミナーの報告が出てくるが、ホンマかいな
京大のAコースでもM1でHartshorne読み終わる奴も珍しくないのに
0225１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/15(金) 20:00:18.07ID:ugOrNQS2
ぱらぱら眺めて、言葉だけ覚えて、勉強した気になるアホはどこにでも一定数いる。
0226１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/15(金) 20:15:14.67ID:hmvVN81A
東大のある先生は学部二年までにハーツホーン読んでて当たり前と言ってるみたいなのを数学板で見た
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