つまり、無限小数というのは、見た目が同じでも異なるものがあるということですね

その違いは、その無限小数がどのようにして計算されたかによって変わるということでしょうか？

0.333....×3

0.666...÷2×3

これはどちらも0.999....になると思いますが、どちらも同じ意味の0.999....になっているのでしょうか？

成り立ちが違いますね、それぞれ