分からない問題はここに書いてね456

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 14:27:29.75

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね454
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1562421561/

(使用済です: 478)

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566136007/

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/17(木) 23:51:18.53

>>766
>>767
おお、ありがとうございます。
助かりました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 02:25:58.13

（↓）がニュー速に貼られた問題なのですが
色々な解答が出ていて、さらにブログの解答は間違えているという人もいて混乱しています。
数学板の人からみて、何が正解なのでしょうか？

問・1枚だけページが破れた本があります。
　破れていないページ番号を合計すると15000になります。
　破れたページは何ページ目でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 02:58:42.56

１枚目からページが振られてると仮定して
172ページまでなら計14878なので足りない。
174ページまでなら計15225で112+113は不可。
176ページ以上なら抜けたページが最終ページでも計15225以上なので多すぎ。
0ページ目からスタートしてるとか、最終ページは片面白紙とかその手の事情が許されないと解なしになるな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 03:21:04.25

下三角行列の積は可換ですか？可換でないと思うんだけど、その例を挙げられない（2*2とか3*3で1つ例を挙げることは出来そうだけど、一般にn*nの場合ではどうなるの？）

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 06:13:46.13

> 2*2 とか 3*3 で1つ例を挙げることは出来そうだけど、

A = { [1,0] [a, -1] }
B = { [1,0] [b, -1] }
AB = { [1,0] [a-b, 1] }
BA = { [1,0] [b-a, 1] }

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 06:31:45.57

> 一般に n*n の場合ではどうなるの？

n → r + (n-r)
C = { [E_r, O] [A, -E_(n-r)] }
D = { [E_r, O] [B, -E_(n-r)] }
CD = { [E_r, O] [A-B, E_(n-r)] }
DC = { [E_r, O] [B-A, E_(n-r)] }

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 06:58:54.86

>>746
　　　　　第４問

xy座標平面において、
　y軸上に中心を持つ円Ｃ1
　y=x^3 で表わされる曲線Ｃ2
は異なる2つの共有点Ａ，Ｂをもち、
ＡおよびＢの両方の点においてＣ1とＣ2は共通の接線をもつとする。

(1) 点Ａまたは点Ｂは原点Ｏと一致することを示せ。

(2) 円Ｃ1の中心の座標を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 07:12:50.22

>>765
円周角の定理を証明しろと言っているだけなのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 07:56:02.05

>>746
(1)
f(x) -rr = xx + (x^3 -t)^2 -rr,　　(t,r≧0 は定数)
f’(x) = 2x + 6xx(x^3 -t)
　= 6x(x^4 -tx +1/3)　　････ (I)
これより、根a=0
(2)
∴　f(0)-rr = 0
∴　t=±r,
f(x) -rr = xx(x^4 -2tx+1)　　････ (II)
もう一方の根bについては (I)(II) から
　b^4 -bt +1/3 = 0,
　b^4 -2bt +1 = 0,
bを消去して
　t = ±2/{3^(3/4)} = 0.8773826753
Ｃ1の中心は(0,t)

なお、f(x) -rr = x^2･(x-b)^2･(xx+2bx+3bb)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 07:58:36.55

>>770
最初が白ページでその裏が1ページ目なら174ページで112+113も可能
最後も白ページ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 08:03:42.61

あるいは173ページで合計は15225-174=15051=15000+25+26
最後の裏ページが白ページ
あるいは51ページの裏がページ番号無しとか

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/18(金) 11:23:09.94

前>>767
>>769数学板の人はプロの作家とかではないとして、文芸雑誌に投稿する本の場合、応募原稿を両面印刷したりしないから、すべてのページは片面印刷とし、ページナンバーはゴム印で1から順に打つものとし、最終ページをn、破れているページをa(1≦a≦n)とすると、
{(1+n)/2}n-a=15000
n^2+n-30000-2a=0
n=-1+√(1+30000+2a)
(n+1)^2=30001+2a
2a=(n+1)^2-30001
n=173のときa=137.5
四捨五入すると、
a=138
もし仮に破れているページがP138で、それ以外のすべてのページ番号を足したとしたら、
{(1+173)/2}･173-138=14913
15000-14913=87
P87を2枚印刷していたと推測する。
破れているページがP137とすると、P86を2枚印刷していたと疑われる。
あとは字組だな。縦横の字数をどうするかで枚数変わるから。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 12:47:13.72

2019個の連続する自然数の和としても、31個の連続する自然数の和としても表せる自然数が存在すれば求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 15:40:21.58

62589n+2065437

**769** · 2019/10/18(金) 16:07:17.31

>>770>>778
ありがとうございました。
元は数学オリンピックの問題らしくて、下のブログだと「解答は25・26ページのみ」
となっているのですが、これは本のページのふり方の解釈如何という事なのでしょうね。
https://sist8.com/torn

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 16:18:30.88

>>779
ありがとうございました。
この方（↓）の途中式にも87という数字が出ていました。
問題文に「ページのふり方についての注釈」が無い以上、数学的には何通りか答えが出るという事ですね？

>>180
nを本に使われた紙の枚数とすると、総ページ数はΣ(4n-1)だから、2n^2+n。
これで15000超えるのはn>86。
但し、破れたページの和はかならず奇数になるのでn=87と予測。
n=87の時、2n^2+n=15225となるので、破れたページ数の和は225。
よって、112～113ページが破れたと予測。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 02:27:15.17

>>779
n(1+n)/2 - a = 15000
に n=173 を入れると
n(1+n)/2 = 15051
a = 51,
にて決着。

>>780
　2019個の中央の数をa, 31個の中央の数をb とおく。 (a≧1010, b≧16)
題意より　N = 2019a = 31b,
∴　a = 31(n+33),　b = 2019(n+33)　と書ける。
∴　N = 62589(n+33)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 13:56:02.64

nを自然数、kを1≤k≤2n-1の整数とする。
いま袋の中に、k個の赤玉と(2n-k)個の青玉、合計2n個の玉がある。これらに対して以下の操作（ア）（イ）を繰り返し行う。

（ア）袋の中から1つの玉を無作為に取り出す（どの玉が選ばれるかは同様に確からしい）。
（イ）取り出した玉を捨て、捨てた玉とは異なる色の玉を1つ袋に入れる。袋に入れるための玉は十分に用意されているとする。

これらをm回行った後の、袋の中の赤玉の数がn個である確率をP(m,n,k)とおく。極限
lim[m→∞] P(m,n,k)
について、以下(a)～(c)のいずれが正しいか述べよ。

(a) P(m,n,k)はn,kに依らない数である
(b) P(m,n,k)はnまたはkのいずれか一方のみを使った式で表される
(c) P(m,n,k)はnとkの両方を使った式で表される

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 14:48:52.22

l周期2の有限マルコフ過程。
収束すらしない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 15:09:17.18

「極限について」といいつつ、各選択肢では極限を取ってないのは何故なのか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 17:07:21.78

ax^2=a^x
a>0の時 x=1以外の解を求めたい
のだが方針を教えてくれ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 17:54:13.45

対数

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 18:10:14.01

a>0で y=x^2 とy=x/x+a の交点がちょうど2つのとき、aの値を求めよ。さらにこのとき2つの曲線で囲まれた面積を求めよ。
この問いのやり方を教えていただきたいです。
aの値は求まったのですが、2曲線の交点の座標が求められません…
どなたかよろしくお願い致します

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 18:33:18.68

aの値求まったの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 19:07:09.81

>>791
求まりました
その後がわかりません

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 19:18:10.30

お願いします。

(2m-1)個の二項係数　2m_C_t (1≦t≦2m-1)　の最大公約数を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 19:37:02.38

>>790
自己解決しました
計算ミスでした汗

**788** · 2019/10/19(土) 21:43:11.72

>>789
ax^2=a^x → log(ax^2)=log(a^x)
log(a)+2logx=xlog(a)
2logx=(x-1)log(a)
x^{2/(x-1)}=a

何か余計にややこしくなってしまった
ヒントくれ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 22:26:55.75

>>795
>2logx=(x-1)log(a)
グラフ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 16:11:09.62

>>793

gcd{ nＣt | 1≦t≦n-1 } = p　　(nがpベキ (pは素数)のとき)
　　　　　　　　　　　　　　 = 1　　(nが素因数を2つ以上もつとき)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 16:38:49.96

m,n,aを自然数とする。

いま袋の中に2m個の白玉、n個の黒玉、a個の赤玉がある。
この袋の中から玉を1個ずつ取り出していき、取り出した順に左から右へと1列に並べる。

ただし取り出した玉は元に戻さないとし、またどの玉が取れ出されるかは同様に確からしいとする。

これら(2m+n+a)個の玉を並び終えた後、左から数えてちょうどm番目の白玉が現れる位置をpとする。
例えばm=2,n=1,a=2のとき、玉が列の左から
白赤黒白白白赤
と並んだ場合、左から4番目に2番目の白玉が現れるから、p=4である。

pの期待値をm,n,aで表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 16:43:54.44

(n+a)/(2m+1)×2+2

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 17:02:05.88

>>799
lim[m→∞](p-m)=0

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 17:05:02.95

>>798
p=m+(n+a)/2

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 17:14:24.21

ちょっと違うな
2m-1ならｍ個目は真ん中だが
2mなら差半の最後だからなあ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 17:18:06.38

p=m+(n+a)m/(2m+1)
かな

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 17:19:48.09

いずれにせよ赤黒区別する必要がない問題だけど
ホントにこの問題文？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 17:23:10.47

2m個並べてその間と両端で2m+1箇所にn+a個を分配すると考えると
平均で(n+a)/(2m+1)個ずつなのでm番目の左にはm(n+a)/(2m+1)個あるから
p=m+m(n+a)/(2m+1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 17:31:19.58

>>800
スマン
lim(p-m)=(n+a)/2
だわ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 17:46:03.63

m番目か。
例が2番目だから2番目で計算してた。
今更のクソ有名問題だから問題文あんま読んでなかったよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 18:13:55.22

>>807
言い訳するなよカス

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 18:30:17.88

>>807
なるほど
赤ｎ個白ｍ個で白ｋ個目は平均p=k+kn/(m+1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 19:04:09.39

座標空間に
O(0,0,0)
A(a,0,0)
B(0,b,0)
C(0,0,b)
の4点を取る。a>0,b>0とする。

△ABCの外接円の半径が1の時、
平面ABCとOの距離hの取りうる範囲を求めよ。

東大模試の問題ですが、簡単そうに見えて難しすぎて手が付きません。
お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 19:36:54.69

>>810
A(1,0,0)
B(x=cosθ,sinθ,0)
C(cosθ,-sinθ,0)
0<θ<π
O(k,0,h)
AO=(k-1,0,h)
BO=(k-cosθ,-sinθ,h)
CO=(k-cosθ,sinθ,h)
AO・BO=AO・CO=(k-1)(k-cosθ)+h^2=0
BO・CO=(k-cosθ)^2-sin^2θ+h^2=0
(cosθ-1)(k-cosθ)+sin^2θ=0
k=cosθ+sin^2θ/(1-cosθ)=1+2cosθ
h^2=sin^2θ-(1+cosθ)^2=-2cosθ-2cos^2θ=-2x^2-2x=-2x(x+1)≦1/2
0<h≦1/√2

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 19:52:45.74

h=1/√2
x=-1/2
θ=2π/3
△ABCは一辺√3の正三角形
a=b=√(3/2)
C(0,0,c),c>0でも答えは同じだろうが面倒くさそう

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 21:31:03.10

>>797

Ｃ(n,1) = C(n,n-1) = n,
∴ gcd はnの約数。
∴ nの素因数pを見よう。

・nがpベキのとき
pの指数を見ると
　e(t) = e(n-t) ≦ e(n) -1,
　e{Ｃ(n,t)} = e{n!/[t!(n-t)!]} = e(n) - e(t) ≧ 1,
　e(gcd) = 1,
　gcd = p,

・nが素因数を2つ以上もつとき
n = p^e･r　　(r>1, rとpは素)
t = p^e
とする。(t < n)
下記の補題2より
　Ｃ(n, t) ≡ r ≠ 0　(mod p)
∴　e(C(n,t)) = 0　なるtがある。
∴　e(gcd) = 0,　　････ nのすべての素因数pについて
∴　gcd = 1,

〔補題2〕(Wielandt)
pが素数、e≧0 ならば
　Ｃ(p^e･r, p^e) ≡ r　(mod p)

彌永昌吉・彌永健一「代数学」岩波全書285 (1976) p.141

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 23:05:38.89

3次方程式x^3-3a^2x+a=0が異なる3個の実数解をもつように，定数aのとり得る値の範囲を定めよ。

y=a，y=-x^3+3a^2x

『x＜1のとき』と『x＜1かつ』が頭の中で整理ができません。本質がわかっていません。先生教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 23:47:18.59

3次方程式x^3-3a^2x+a=0が異なる3個の実数解をもつように，定数aのとり得る値の範囲を定めよ。

y=a，y=-x^3+3a^2x

『a＜1のとき』と『a＜1かつ』が頭の中で整理ができません。本質がわかっていません。先生教えてください。すいません、xではなくてaでした。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 23:48:05.15

>>814
対数解けなくて暴言吐きまくってたアホだろ？
オマエに数学講師なんて無理だから

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 23:50:12.96

>>814
f(x)=x^3-3a^2x+a
f'(x)=3x^2-3a^2=0
x=±a
f(a)f(-a)=(-2a^3+a)(2a^3+a)=(-2a^2+1)(2a^2+1)a^2<0
-2a^2+1<0
a<-1/√2, 1/√2<a

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 00:00:49.69

a＜0のとき，a＜-√2/2，a＞√2/2
かつ
a＜0

答えa＜-√2/2
となってしまいます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 00:11:32.46

a＜0

a(2a^2-1)＜0

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 00:19:12.48

>>810

AB = √(aa+bb) ≧ √(2ab),
BC = √(bb+cc) ≧ √(2bc),
CA = √(cc+aa) ≧ √(2ca),
四面体O-ABC の体積は
　V = abc/6,
よって
　h = 3V/S
　= abc/(2S)
　= abc{2R/(AB･BC･CA)}
　≦ R/√2,
Sは△ABCの面積, Rは△ABCの外接円の半径

なお、 S = (1/2)√(aabb+bbcc+ccaa),

簡単そうに見えて簡単すぎてすいません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 00:30:12.46

>>820
外接円の中心は
　x = (a/2){1 - (bbcc)/(aabb+bbcc+ccaa)},
　y = (b/2){1 - (ccaa)/(aabb+bbcc+ccaa)},
　z = (c/2){1 - (aabb)/(aabb+bbcc+ccaa)},
　x/a + y/b + z/c = 1,

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 00:45:46.12

自己解決しました。aのときが極大極小にもなり、-aのときも極大極小になるということでした。
つまり、-a＞aもありえるということでした。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 01:12:19.08

>>814 >>815
本問では
　x=min{-a,a} で極大 (f"<0)
　x=max{-a,a} で極小 (f">0)
となるから
　f(-a)/a = (2aa+1) > 0　　…　常に成立,
　f(a)/a = (-2aa+1) < 0,
よって
　|a| > 1/√2,

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 02:52:38.93

f(x)=x^2-3x+1
に対し、関数g_[n](x)を以下のように定義する。
g_[0](x)=f(x)
g_[n+1](x)=f(x)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 02:57:01.36

f(x)=x^2-3x+1
に対し、関数g_[n](x)を以下のように定義する。
g_[0](x) = f(x)
g_[n+1](x) = | g_[n](x) - |x-1| |
このとき、極限
lim[n→∞] g_[n](1/2)
を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 05:41:05.81

>>817 >>823 より
　1/(2aa) < 1,
　cos(3α) = 1/(2aa)　をみたすαが存在する。
f(x)=0 は異なる3個の実数解
　x = -2a cosα, -2a cos(α±2π/3)
をもつ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 08:36:04.87

高校入試の問題ですけど分かりません
三角比などを使わずに中学数学の知識で解くにはどうすればよいですか？
https://i.imgur.com/0dArqfd.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 14:37:34.76

面積がどれだけ小さい領域であっても長さ無限大の曲線はその領域内に存在できるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 14:44:18.27

>>828
単位円盤内に長さ無限の曲線を書いたら、それを縮小すれば良い。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 17:25:40.23

境界線の内側から厚さεのセロテープを貼り付けてゆく。
中心まで貼り付けると、
　テープの長さ ≒ (面積)/ε
ここで、ε→0 とする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 20:13:45.31

それはあかん

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 22:57:08.16

>>827
Mは円の中心。

〈略証〉
AHの延長と円の交点をD、
AMの延長と円の交点をEとすると、
弧BD=弧CE なので
DE//BC
よってAD⊥DE
ゆえにAEは円の直径
その中点Mは円の中心

(1) BC=√(aa+bb)
△ABH∽△CBAよりAB:BH=CB:BA
BH=AB^2/BC=aa/√(aa+bb)

(2) ∠HAM=θとおくと
∠BAH=∠CAM=3θ=∠MCA
∠ABM=∠MAB=4θ
△ABCの内角の和=14θ=180°
∠BAH=3θ=270°/7

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 23:09:08.46

>>832
ありがとうございました

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 23:13:57.66

（1）p,qを互いに素な2以上の自然数とするとき、(q/p)+(p/q)は整数でないことを示せ。

（2）2以上の自然数p,q,rのどの2つも互いに素である。このとき、(q/p)+(r/q)+(p/r)は整数でないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 23:19:44.62

v(p)>0⇒v((q/p)+(r/q)+(p/r))<0

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 23:25:46.13

https://j-town.net/images/2019/town/town20191021174005.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 00:05:29.93

>>832
>Mは円の中心。
でたらめ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 01:43:11.83

>>829
長さ無限の曲線の例

　y = f(x) = x･sin(π/2x),　　(0<|x|≦1)
　　　　　　= 0,　　　　　　　　 (x=0)

　f(1/(2n-1)) = (-1)^(n-1) /(2n-1),
　f(1/(2n+1)) = (-1)^n /(2n+1),
∴　|f(1/(2n-1)) - f(1/(2n+1))| = 1/(2n-1) + 1/(2n+1) > 1/n,
0<x≦1 における曲線の長さ > ζ(1) = ∞
-1≦x<0 でも同様。

それを縮小してコピペする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 02:17:27.31

>>827
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(高校数学・2枚のうち2)
４．円周上に3点 A, B, C を (線分ABの長さ) < (線分ACの長さ) となるようにとり、
線分BCの中点をMとする。
また AH⊥BC となるように直線BC上に点Hをとる。
このとき，∠BAH = ∠CAM となった。
次の問いに答えよ。
(1) AB=a, AC=b とおくとき，BHの長さを a, b を用いて表わせ。
(2) ∠BAH = (1/3)∠HAM のとき，∠BAHの大きさを求めよ。

る点のうち，頂点Aに近い方の点をそれぞれ P, Q とし，
R, S とする。
を V を用いて表わせ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 02:47:11.44

>>834

(1)　(q/p) + (p/q) = k　とおくと
　qq + pp = pq k,
よって
　qq = p(qk-p),
　pp = q(pk-q),

(2)　(q/p) + (r/q) + (p/r) = n　とおくと
　qqr + rrp + ppq = pqr n,
よって
　qqr = p(qrn -rr -pq),
　rrp = q(rpn -pp -qr),
　ppq = r(pqn -qq -rp),

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 03:55:30.04

>>832はMが円の中心を示すところでギャップはあるけど結論は合ってるのでは？

直線AEについてBの対称点をFとするとMB=MC=MFによりこれらはMは△BCFの外接円の中心。
一方でBは元の円O上でFはその直径に関する対称点だからFもまたO上にある。
よってOは△BCFの外接円。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 04:11:24.52

>>837
批判するなら根拠をあげろよな。

>>841
フォローthanksです。
私（832）はMを通るBCに垂直な直径を
イメージして略証を書きました。
この直径はADに平行で、
辺DEを二等分しているから、
MはAEの中点だということです。
（ここまで書くべきだったか）

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 07:17:58.31

>>838
　( 1/(2n-1),　(-1)^(n-1) /(2n-1)),
　( 1/(2n+1),　(-1)^n /(2n+1) ),
を線分で結んだ折れ線でもいいんぢゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 08:39:14.77

>>842
>批判するなら根拠をあげろよな。
>>841

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 08:42:57.83

>>842
>MはAEの中点だということです。
でたらめ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 08:54:47.35

>>841
>直線AEについてBの対称点をFとするとMB=MC=MFによりこれらはMは△BCFの外接円の中心。
Mが円の中心だとこの論証成り立たないね

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 08:55:53.91

論証が不十分なのであって結論がでたらめなわけではないだろう
それを結論に対してでたらめというのであればその指摘の仕方もでたらめということになる

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 09:02:07.54

>>846
これは撤回
>>847
いずれにせよでたらめ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 09:18:48.82

Mを通るBCの垂線で対称の図形を描くと対称性から中心だなとわかるんだけど
ちゃんと論証しようとするとなかなか面倒だな
すげえ回りくどい方法しか思いつかない

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 09:53:18.39

Mが円の中心とは限らないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 09:56:18.80

>>841で証明できてない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 10:18:10.17

>>850
>Mが円の中心とは限らないのでは？
円の中心

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 10:22:18.20

>>841でMが元の円Oの中心と示せてない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 10:22:29.99

>>850
勘違いしてた。すまぬ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 12:02:19.45

>>849
△ABEと△AECが合同になることを言えばいいんでないかい？

まず直角三角形ABHから∠ABC+∠BAH=∠R 　
円周角の定理と題意から∠EBC=∠EAC=∠BAH
ゆえに、∠ABE=∠ABC+∠EBC=∠R
△ABEは円に内接する直角三角形なのでAEは円の直径。
したがって、∠ACE=∠Rで△AECも直角三角形。
一方、三角形の面積を考えると、BM=MCより、△ABM=△AMC,△EBM=△EMC
なので、△ABE(=△ABM+△EBM)=△AEC=△AMC+△EMC)
△ABEと△AECは面積が同じで斜辺を共有する直角三角形なので、
△ABE≡△AEC（ここ、さらに証明がいる？）
ってことで、∠A=∠BAE+∠EAC=∠BAE+∠BEA=∠Rとなり、
△ABCは円に内接する直角三角形なので、BCは円の直径である。
故にBCの中点は円の中心。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 12:30:17.71

AEからみてBと同じ高さになる点はAEに関して線対称の点と中心に対して対称の点と二つあってCが後者になる事は示さないとダメでは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 14:08:59.79

結論は出ているようだが、納得できていない人のために、別解説

B(-1,0),M(0,0),C(1,0),A(x,y),H(x,0),Z(1000,0)
∠ABZ=α、∠AMZ=β、∠ACZ=γ
と置くと、∠BAH=∠CAM　という条件は、tan(π/2-α)=tan(γ-β)になるが、
tanα=y/(x+1),tanβ=y/x,tanγ=y/(x-1)
を使って、条件式を整理すると　x(x^2+y^2-1)=0　が出てくる。

Aは単位円上の点で無ければならない。つまり、BCの中点Mは、三点A,B,Cを通る円の中心で無ければならない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 14:12:18.08

>>841
> Fはその直径に関する対称点
これってどうしてそう言えるん？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/22(火) 14:14:32.16

前>>779
>>827
題意より、a＜b
∠BAH=xとおくと、
BH=Asinx
HM=AMsin3x
HC=bsin4x
AH=acosx=bcos4x
BH+HM=asinx+AMsin3x=BC/2
正弦定理より、
BC/sin∠BAC=AC/sin∠ABC
(BH+HM+MC)/sin5x=b/cosx
(asinx+AMsin3x+BM)/sin(2x+3x)=b/cosx
2(asinx+AMsin3x)/(sin2xcos3x+cos2xsin3x)=b/cosx
AH^2=AB^2-BH^2=AM^2-HM^2
a^2-(asinx)^2=AM^2-(AMsin3x)^2
acosx=AMcos3x
=AM(4cos^3x-3cosx)
難しいな。
図を描きなおすと、
3x+2x=90°でいい気がする。
∠BAC=x=18°

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/22(火) 14:18:04.16

前>>859訂正。
∠BAH=x=18°

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 15:08:43.46

>>858
直径に対して直線AE対称になる点をFと置いてる。
MはAE上なので論を待たずBM=FM。
もしC=FとなってしまったらコレでCはBの直径対称点になり、その場合BCとAEは垂直になってH=Mになる。
この場合には確かにMが円の中心でない場合にはなるけど図が与えられててM=Hにはなってないからそのケースは抜いていいんじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 15:21:49.35

>>861
酷い日本語。
直線AEに対するBの線対称点がFね。
暗黙にCとFが一致しないと仮定してるけどC=Fのケースは問題文のAB<ACに反するから図無関係に排除されるね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 15:35:53.03

数式5chで綺麗かつ簡単ににかけるようにならないかな

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 16:27:26.28

>>862
？
AEが直径かどうかはわかっていないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 16:45:35.62

>>862
B=CおよびB=Fも排除で

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 17:24:27.59

>>864
それは前の方で誰かやってる。

**855** · 2019/10/22(火) 18:06:35.38

>>856
そうでした！△ABE≡△AECで裏返しの場合も考慮すべきでした。

△ABEと△AECが裏返しの場合にはAB=ACとなってしまうので、AB<ACという題意に
反するので除外できる。