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分からない問題はここに書いてね456

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0403１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 13:32:10.46ID:0DKwDLFQ
>>402
えー
あまりの定義があんまりじゃんそれじゃ
0404１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 13:50:29.14ID:WoCjHxgi
あまりの定義なんだと思ってます？
x^2=0*x+x^2だから、x^2をxで割った余りはx^2になるでしょうか
0406１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 14:37:40.12ID:MpXoKD+u
整式の割り算しか考えませんよね
0407１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 14:50:52.19ID:qVF76R2H
三角形ABCの頂点Aを底辺BCに平行に動かし、二等辺三角形にする．
この二等辺三角形の底角をB'とするときtanB'をtanBとtanCで表せ
0408１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 16:58:32.34ID:2PqEJji0
高さ (頂点Aと底辺BCの距離） をhとする。
　2h/tan(B') = h/tan(B) + h/tan(C)
0409１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 17:16:35.87ID:2PqEJji0
>>372
　正項だけからなる部分列と負項だけからなる部分列に分ける。
部分和S_nが目標値αより低いときは正項(未使用)を取り出してS_nに加え、
目標値αより高いときは負項(未使用)を取り出してS_nに加える。
正項ばかり取ると+∞に発散し、負項ばかり取ると-∞に発散するので
正項も負項も無数に含むはず。
∴ n→∞　のとき目標値αとの差 < ε　となる。
0410１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 17:20:55.37ID:0DKwDLFQ
>>405
√3を√2で割ったあまりは？
0412１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 18:03:17.27ID:5zt0Ts7e
>>403
A,B,Q,Rを整式とするとき、A=BQ+RとおけるようなRのうち、
次数が最小のものをA/Bの余りとする、でいいんじゃね？
>>401に倣ってやれば、背理法で簡単にBの次数より小さく
なることが証明できる。
0413１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 19:00:07.30ID:3W6wuIwm
留数について質問です。

f(z) は {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} を含む領域上で正則であるとする。

という仮定をしますが、

なぜ、

f(z) は {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとする。

という仮定はしないのでしょうか？
0414１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 19:33:37.24ID:zMUkBuAG
z=αについての留数を考えたいんですよね？
0415１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 20:39:55.89ID:3W6wuIwm
>>414

そうです。

f(z) が {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとき、ローラン展開できます。
したがって、 1/(z - α) の係数 A_{-1} も定まります。

この場合にも、留数を A_{-1} として定義しないのはなぜか？という質問です。
0416１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 20:49:27.41ID:MpXoKD+u
留数便利なのは特異点の場合だからじゃないですか？
0417１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 20:57:16.53ID:TTGN/es1
x^2 +y^2−4x = 0について、(1) dy/dx (2) d(dy/dx)/dx を各々求めよ

という問題で(2)がわかりません
よろしくお願いします
0419１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 22:00:13.33ID:Gv40h2lR
x^2+y^2-4x=0
をxで微分
2x +2y y' - 4 = 0
もう一回
2 + 2y' y' + 2y y'' = 0
をy', y''について解く。
0420１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 22:01:04.48ID:TTGN/es1
dy/dx=(2-x)/y
というのは分かったのですが
これをxで微分する方法がわかりません
0422１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 23:15:11.55ID:0DKwDLFQ
>>420
ｙはｘの関数
商の微分法
0423１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 23:25:35.36ID:3gsZ810h
留数は特異点周りの展開じゃないと求めるのが難しいからねー
0424１３２人目の素数さん
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2019/09/24(火) 00:33:37.31ID:Fg+1gKm2
正則なら留数は0よ
0427１３２人目の素数さん
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2019/09/24(火) 20:03:14.13ID:Vm/sReoV
ホモロジー群についての質問なんですがr:X→A;レトラクト、i:X→A:包含写像であるとき
これらから導かれるホモロジー群間の準同型写像r_*,i_*について
(r*i)_*が全単射であるからi_*が単射とわかり
H_q(X)=Im(i_*)+ker(r_*)(+:直和)と分解されるとあったのですが何故ですか？
0428１３２人目の素数さん
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2019/09/24(火) 20:06:49.34ID:Fg+1gKm2
ｒかiが逆
ri=1
r*i*=1
直和
0429１３２人目の素数さん
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2019/09/24(火) 20:32:28.58ID:qOGR6zKw
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{-∞}^{∞} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

という等式を示す例題があります。

その例題では、

lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

を示しています。

本来示すべきは、

lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

ですよね。


lim_{R → ∞} 2 * ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

lim_{R → ∞} ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = lim_{R → ∞} (1/2) * ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / (2 * sqrt(2))

なので、

lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx

=

π / sqrt(2)ですけど。
0432１３２人目の素数さん
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2019/09/24(火) 21:52:59.20ID:azlteW2t
普段くだらないことばっかり検索してるんでしょうね
0434１３２人目の素数さん
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2019/09/25(水) 11:11:13.06ID:06qxxQQG
因数分解の問題で困っています。
x^3-174x-308=0

因数分解すると(x-14)(x^2+14x+22)=0で実数解は14のみ、となるんですけど、
いい因数分解の導き方が思いつかないので、あれば是非教えてほしいです。
(現状は308の約数を総当たりしてたまたま(x-14)で割れたので因数分解できたという感じです)
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 11:40:31.69ID:c6fCLHL+
x(x^2-174)=2^2x7x11
整数解があるとすれば、308の約数でかつ偶数だが4の倍数ではない
ということはすぐにわかる。
整数解が正なら14以上20以下、負なら-13以上というのもちょっと
計算すればわかる。
この条件を満たす整数は-2か14しかないので、代入すれば14が解
だとわかる。
0436１３２人目の素数さん
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2019/09/25(水) 11:48:45.65ID:2DynOJ9P
>>434
整数解があるなら偶数だからそれを2aとすると2a^3-87a-77=0
これに整数解があるとすると±7か±11
変形するとa(2a^2-87)=7*11
aが±7か±11だからa^2は49か121
2a^2-87が±7か±11になるのはaが±7のときでそのとき2a^2-87は11だからaは7
元の方程式の整数解は14
2a^3-87a-77=0にしたあとは計算速くない人でもしらみつぶしで十分かも知れない
±11がダメなのはきちんと計算しなくてもわかるので

計算速い人なら最初からしらみつぶしでいいような気もする
308の因数のうちほとんどはきちんと計算するまでもなく除外されるし
0437１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 15:37:52.34ID:c6fCLHL+
>>436
>変形するとa(2a^2-87)=7*11
>aが±7か±11だからa^2は49か121

変形したのはいいアイデアだと思う。けど、|a|の候補として
1と77があるのを忘れてないか？すぐ除外できるからいいけど。
0438イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/09/25(水) 15:38:24.86ID:II/2E/ez
>>434
308を素因数分解すると、
308=2^2×7×11
f(x)=x^3-174x-308とおくと、
f(2)＜0
f(7)＜0
f(11)＜0
困ったら微分、
f'(x)=3x^2-174=0
x^2-58=0
x=±√58
7＜√58＜8
f(14)=14･196-174･14-308
=14･22-308
=0
∴f(x)=(x-14)(x^2+14x+22)
f(x)=0のとき、
x=14,-7±3√3
0439１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 16:16:57.87ID:2DynOJ9P
>>437
失礼した
2a^3-87a-77=0にしたときに真っ先に除外して±7と±11に絞り込んだので書き込みをするときにそこから先しか思い出さなかったｗ
0440１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 18:24:09.64ID:akNlOjhH
xについての方程式
x^k+131x+377=0
が整数解を持つように自然数kを定めることができる。このことを示せ。
0441１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 18:24:22.67ID:HNtypll1
|x|>14 のとき
　xx - 174 >22,　|x(xx-174)| > 308　(不適)
0≦x≦13 のとき
　xx-174 <0、x(xx-174) ≦ 0 < 308　(不適)
-11≦x≦-2　のとき
　|x|(174-xx) > |x|(169-xx) = |x|(13-|x|)(13+|x|)
　≧ 22(13+|x|) ≧ 22･15 = 330 > 308　(不適)
よって整数解は　-14 〜 -12、-1、14　のどれか。
0444１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 23:37:51.57ID:iXHFXXRG
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。

a > 0 とする。

∫_{-∞}^{∞} x^4 / (x^2 + a^2)^4 dx

の値を求めよ。

定石通りに計算すれば、答えが求まりますが、

g(z) := z^4 / (z + a*i)^4

の3次導関数を計算しなければなりません。

g(z) を 1 / (z + a*i) についての4次多項式で表して、なんとか3次導関数を計算しましたが、
かなり苦労しました。

簡単に計算する方法はありますか？
0446１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 06:00:35.35ID:C1ckjksZ
>>429
複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
　= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
　= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,

1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
　+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
　+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,

1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
　+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
　+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
　= 1/(4√2)・log[(1+x√2 +xx)/(1 -x√2 +xx)]
　+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arxtan(1-x√2)},
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 08:45:09.90ID:fyrdE+fx
n次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して(a_ij)=iである。Aの逆行列を求めよ。
0449１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 10:52:40.05ID:GlcVFFf+
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。


∫_{0}^{∞} exp(-x^2) dx = sqrt(π) / 2 を用いて、

∫_{0}^{∞} sin(x^2) dx = ∫_{0}^{∞} cos(x^2) dx = sqrt(π) / (2 * sqrt(2))

を示せ。


この問題を自力で解けました。

結構すごいですか？


第4章に出てくる積分の積分路は決まって半円だったので、最初は戸惑いました。

が、↓が閃きました。


f(z) := exp(z^2)

とおくと、

f(i*t) = exp(-t^2)

f(sqrt(i) * t) = exp(i * t^2) = cos(t^2) + i * sin(t^2)


なかなか冴えていますか？


この問題が第4章の章末問題のラストを飾る問題です。

しかも、☆印つきの問題です。

「はじめに」には、

「
とくに発展的な問題には*をつけ区別してある。
」

などと書かれています。

気持ちよく、最終章第5章へと進むことができそうです。
0451１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 16:33:05.96ID:GlcVFFf+
>>449

の問題を自力で解けたということは、もう既に、「玲瓏なる境地」に達していると考えていいですか？
0452１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 16:36:20.39ID:LIXAVVap
>>451
n次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して(a_ij)=iである。Aの逆行列を求めよ。
0454１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 17:02:01.49ID:4CLAKCJ6
xについての方程式
x^k+2020x+3777=0
が整数解を持つように自然数kを定めることができる。このことを示せ。
0455１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 18:01:37.97ID:GlcVFFf+
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{-∞}^{∞} cos(x) / (1 + x^2)^2 dx

を計算せよ。

という問題を解きました。

怪しいなと思いつつ、まず以下の積分を考えました：

∫_{C} cos(z) / (1 + z^2)^2 dz

cos(z) = (exp(i * z) + exp(-i * z)) / 2

です。

|exp(i * z)| = exp(-y)
|exp(-i * z)| = exp(y)

ですので、普通に積分路を考えると 0 と評価したい積分が 0 と評価できません。

そこで、

∫_{C} exp(i * z) / (1 + z^2)^2 dz

を考えれば、

|exp(i * z)| = exp(-y)

ですから、 z の虚部が大きくなるような場所を通る積分路を考えれば、 0 と評価したい
積分を 0 と評価できそうです。

このような推理の結果、正解を得ることができました。
0456１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 18:02:41.75ID:SDysta5y
ここは分かった問題はここに書いてねスレではありません
0457１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 18:03:51.57ID:GlcVFFf+
あ、というか、 |exp(-y)| ≦ 1 for y ≧ 0 ですね。
0459１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 18:29:03.05ID:C1ckjksZ
>>454
明らかに x<0,
{x^(k-1) + 2020}x + 3777 = 0
-x は 3777 = 3･1259 の約数だから 1, 3, 1259, 3777 のどれか。

x=-1 は (±1) -2020 +3777 >0　で不適。
x=-3, k≧8 のとき
　|(-3)^(k-1) + 2020 | ≧ 8581　で不適。
∴　1≦k≦7 に限るが････
x=-1259, x=-3777　も同様にチェックすればよい。
0460１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 19:50:47.52ID:DRyotKrW
ちょこっと計算して数が合ってると「玲瓏なる境地」に達しているとうぬぼれながら、解析接続すら理解できていないバカですからね。
それにこの人間性じゃ受け入れ先も全くないでしょう。
0462１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 20:31:29.80ID:gwG4h4fj
Prelude> [(x, (log $ abs $ 2020*x +3777)/(log $ abs $ x))|x<-[-3777..(-1)],mod 3777 (truncate x) == 0]
[(-3777.0,1.9239587674094412),(-1259.0,2.0660253126666084),(-3.0,7.039103536612637),(-1.0,Infinity)]
0463１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 00:24:14.68ID:/3Jx9pWE
一様連続とリプシッツ連続の違いを教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いいたします。
0465１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 15:11:06.77ID:vDSFDVnB
すみません、以下画像の問題ですが、なぜ答えが
k=1、k=−2ではなくk=−1、k=2になるのでしょうか。
また、3で割って〜の部分なのですがなぜ3でわるのでしょうか…。ご教示ください。


https://i.imgur.com/qXGlAkw.jpg
0466１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 15:56:49.83ID:Xps6Dq3Z
>>465
(k+1)(k-2)=0 の解は k=-1,2 だから
0467１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 17:06:26.08ID:9HRz7WPo
>>465
前提として「ab=0ならばa=0またはb=0」ということを確認しておきます
3で割る部分は、3k^2-3k-6=0を3(k^2-k-2)=0と変形できるので3=0またはk^2-k-2=0ですが、3≠0なのでk^2-k-2=0です
k=-1,2の部分は、(k+1)(k-2)=0より k+1=0またはk-2=0、すなわちk=-1またはk=2となります
0468１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 17:50:29.64ID:vDSFDVnB
>>466
>>467

わかりました。ありがとうございます。
0469１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 18:20:42.89ID:hN1fpM5O
nを整数の定数とする。
自然数a,bに対し定義された2つの関数
f=f(a,b)=a/b
g=g(a,b)=(a+nb)/(a+b)
を考える。

（1）n=3のとき、任意の自然数a,bに対して、不等式
min(f,g)<√3<Max(f,g)…[A]
が成り立つことを示せ。

（2）任意の自然数a,bについて上記の不等式[A]を成り立たせるようなnは、n=3以外に存在するか。
0471１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 20:03:52.28ID:yct95A6e
gをfで表せば割とシンプルな計算
0472１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 21:14:55.25ID:N/cfTNg/
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

E を 複素平面内のコンパクト集合とする。
E_r を E から r 以下の距離にある点全体の集合とする。

このとき、 E_r がコンパクト集合であることの証明を以下のように書いています。

「
E はコンパクト集合（すなわち、有界な閉集合）なので、十分に大きな R > 0 を選んで
E ⊂ D(0, R) とできる。任意の正の数 r > 0 に対し E_r ⊂ D(0, R + r) であるから、
E_r は有界である。また、 E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点
からなる集合であり、開集合となる。すなわち、 E_r は閉集合。よって、コンパクト集合
である。
」


「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」

↑これは自明じゃないですよね？
0473１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 21:15:18.66ID:N/cfTNg/
a ∈ C とする。
関数 f : C ∋ x → |x - a| ∈ R は、連続関数である。

証明：

x_0 ∈ C とする。

f(x) - f(x_0) = |x - a| - |x_0 - a| ≦ |x - x_0|
f(x_0) - f(x) = |x_0 - a| - |x - a| ≦ |x_0 - x|

∴ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0|

任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、

|x - x_0| < δ ⇒ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0| < δ = ε

が成り立つから、 f は連続関数である。

a ∈ C とする。
関数 g : E ∋ x → |x - a| ∈ R は、コンパクト集合 E 上の連続関数である。

よって、 g は E 上で最大値・最小値をとる。

x ∈ C とする。

dist(x, E) := min {|x - y| | y ∈ E}

と定義する。
0474１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 21:15:37.23ID:N/cfTNg/
C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。

証明：

x, x_0 を任意の複素数とする。

任意の y ∈ E に対して、

dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y|

が成り立つ。

y_0 を

dist(x_0, E) = |x_0 - y_0|

を成り立させる E の元とする。

↑の不等式から、

dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y_0| = |x - x_0| + dist(x_0, E)

∴ dist(x, E) - dist(x_0, E) ≦ |x - x_0|

x と x_0 は任意だったから、

dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |x - x_0|

も成り立つ。

∴ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0|

任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、

|x - x_0| < δ ⇒|dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0| < δ = ε

が成り立つから、 C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。
0475１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 21:15:54.31ID:N/cfTNg/
E_r^C ∋ x_0 とする。

dist(x_0, E) > r

である。

C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数であるから、

ε := dist(x_0, E) - r とおくと、

|x - x_0 | < δ ⇒ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε

を成り立たせるような正の実数 δ が存在する。

したがって、

|x - x_0 | < δ ⇒ dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε = dist(x_0, E) - r

が成り立つ。

|x - x_0 | < δ ⇒ r < dist(x, E)

が成り立つ。

∴ |x - x_0 | < δ ⇒ x ∈ E_r^C

よって、 x_0 は E_r^C の内点である。

以上より、

「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」

が証明された。
0476１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/27(金) 22:31:56.96ID:Lda76+0D
面白そうな問題を拾ってきたんですけど解けなかったので力を借りに来ました

数字を1から順番に並べ、
(1/2)/{(3/4)/5}のように繁分数を作る。
ここでn個並べたときの最大値はいくつか？
0477１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 01:15:49.90ID:flE+CrWr
>>468

>>465 の画像から、k=-1 または k=2 の他に解はない。
kの値を2個まで絞り込むことはできた。
あとは、これらが題意をみたす (解の一つが3である) ことを言う。
k=-1 のとき
　xx -4x +3 = (x-3)(x-1),
k=2 のとき
　xx -7x +12 = (x-3)(x-4),
これから、k=-1 または k=2 になる。
∴　kの値は -1 または 2 である。

解答はしょり杉ぢゃね？
0480１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 04:40:36.27ID:flE+CrWr
そうです。
「x=3 がこの二次方程式の解である必要十分条件は、xに3を入れたらゼロになること。」
が正解。
0481１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 04:41:25.42ID:AZN2kbSb
S^1から単連結空間への連続写像はS^2からの連続写像に拡張できることの証明を教えてください。直感的には明らかなのですが...
0483１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 04:53:06.63ID:flE+CrWr
例)
　x=3がこの二次方程式の解ならば
　　(k+1)(k-1)(k+2)(k-2) = 0

この場合、kの候補は {±1, ±2} の4つ
0486１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 11:51:01.92ID:0PcYo8nk
>>469
(2)において、不等式Aはmin(f,g)<√n<Max(f,g)でしょ。

f(a,b)=a/b:=xとおけば、xは正の有理数。
g(a,b)=(a+nb)/(a+b)の分母分子に1/bを乗じて
g(a,b)=(a/b+n)/(a/b+1)=(x+n)/(x+1)

ということで、f(x)=x,g(x)=(x+n)/(x+1)をxが正の有理数の
範囲で考えればいいだけ。

正の実数 x に対して、f(x)は単調増加,g(x)は単調減少なので、
f(x)=g(x)=cとなるcが存在すれば、 min(f,g)≦c≦max(f,g)は
明らか。
f(x)=g(x)⇔ x=(x+n)/(x+1)⇔x^2=n より、x=√nで、c=√n
となるcがたしかに存在するので（この点でf(x)とg(x)が交叉する）
min(f,g)≦√n≦max(f,g)

したがって、xを有理数に限定すれば、√nが無理数の時に限って、
min(f,g)<√n<max(f,g)が成立する。
0488１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 15:06:54.62ID:bw5B94q0
>>481
S^3からにも拡張できるのか？
0489１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 16:13:38.52ID:AcpNtBWc
任意のS^n→XがD^n→Xに拡張される
⇔ π_n(X)=0
はほとんど定義じゃね。
0490１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 18:29:10.73ID:kEZ5Two3
平面上の閉領域D（面積S>0）が固定されている。
この平面上の直線Lを考え、DをLの周りに一回転させてできる立体の体積をV(L)とする。
Lを色々と動かすとV(L)も変化する。

以下は真ですか？
「Dの形状に関わらず、V(L)には必ず最小値が存在する」
「V(L)が最小値をとるとき、LはDの内部を通る」
0492１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 18:52:19.92ID:clfvZ/QS
x[1]=1, x[n+1] = (1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+2))で表される数列xの極限が存在することを示し、求めよ。
√3/6っぽいなとは思うんですが過程が思いつきません。。
0493１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 18:54:25.60ID:wFURPHCd
lは2パラメータの曲線でlが連続の動く時Dも連続に動くのはすぐわかる
lが外部にあるときは接するまで平行移動させればその時の方が小さいのもすぐわかる
0494１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/28(土) 23:28:39.14ID:wvEwtFL2
>>492
極限が存在するならば、lim[n→∞]x[n]=αとして、
α = (1/3)*(α+√(α^2+2))
が成立することから、極限の候補が得られる

あとはx[n]の有界単調性を示せばいい

が、√(3)/6ではない
0495１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/29(日) 01:09:11.48ID:PX+EMdOK
>>476
多分できた
最大値は
1/(2/3/4/‥‥/n) = n!/4
∵)1〜nのうち最低一つは分母に来なければならない。
しかし1を分母にもってくることはできない。
よってできる分数の分母の最小値は2。
一方で1/(2/3/4/‥‥/n)の分母にくるのは2のみ。
よってコレが最大。
0496イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/09/29(日) 03:50:03.89ID:1uI/ltNc
前>>438
>>476
題意がつかみかねる。
自然数を1からnまで順に使って分数の積を作るみたいだけど、分子と分母は交互って意味かな？
1を分子から始める場合、
(1/2)/3=3/2=1.5
これが最大だと思う。
1を分母から始める場合、
2/1=2
これが最大。
∵nとn+1の比はn→∞のとき1に近づくから、早期決着する。
0497１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/29(日) 08:10:09.08ID:mP2c2aFR
>>492
x=(1/3)(x+√(x^2+2))の解をαとし(αは正のみであることに注意)
y[n]=x[n]-αとおいて漸化式を書き換え(分子の有理化)し
y[n+1]=(1/3)y[n](1+(y[n]+2α)/(√((y[n]+α)^2+2)+2α)) …(A)
この式とy[1]>0からy[n]はすべて正
不等式√((y[n]+α)^2+2)+2α>y[n]+2αを(A)に代入し
0<y[n+1]<(2/3)y[n]
これを解くと
0<y[n+1]<y[1](2/3)^n
ゆえに
lim[n→∞]y[n]=0

>>494
問題文から推測すると収束値候補αより先に収束性を示してほしそうだが...
(αの計算なしで有界単調性⇒収束性を示すのは難しそう)
ひょっとして縮小写像の知識を問う問題?
0499１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/29(日) 14:00:18.00ID:yMiUWc4N
題意より
　y[1]+2α = x[1]+α = 1+α < (12/5)α,
よって
　√{2 + (y[n]+α)^2} = √{(2α)^2 + (y[n]+2α)y[n]}
　< 2α + (1/4α)(y[n]+2α)y[n]
　≦ 2α + (1/4α)(y[1]+2α)y[n]
　< 2α + (3/5)y[n],
よって
　y[n+1]/y[n] > (1/3){1 + (2α+y[n])/(4α+(3/5)y[n])}
　　　> (1/3){(3/2) + (7/10)y[n]/(4α+(3/5)y[n])}
　　　= (1/2) + (7/30)y[n]/(4α+(3/5)y[n])
　　　→　1/2.　　(n→∞)

nが大きいとき
　y[n] ≒ 0.38761057･(1/2)^n
0500１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/29(日) 14:34:21.25ID:yMiUWc4N
お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんかがこんなに簡単に 500get していいの？😜
　(分かスレ４５５-200)
0501１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/29(日) 15:33:53.24ID:oX8vavMf
>>498
どういうことですか？
0502１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/29(日) 20:54:03.63ID:rVYV+GdK
5400
かずきち@dy_dt_dt_dx 9月29日
京大オープン経済190/550しか取ってないやつにマウント取られて草
お前より90点高いんだよ黙って勉強しろ
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
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