分からない問題はここに書いてね453

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/17(金) 06:10:41.72

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね452
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1555080760/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 04:11:41.97

>>775
a^(1/n) (浮動小数点計算) にもっとも近い整数を仮に m と置き、
m^n (整数計算) == a ならそれが解で、!= a なら解なし
m^n (整数計算) は O(log(n)) で計算可能

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 06:39:53.77

>>792
小行列じゃないの？

**779** · 2019/06/29(土) 08:07:07.42

>>793
a+b =-t + 3tan3α
= -t + 3t(3-t^2)/(1-3t^2) = 8t /{(1 + √3.t)(1 - √3.t)} = (t - √3)/(1 + √3.t) + (t + √3)/(1 - √3.t) = tan(α-60) + tan(α+60)
ab = 1/t . (-tan3α)
= (t^2-3)/(1-3t^2) = {(t - √3)(t + √3)}/{(1 + √3.t)(1 - √3.t)} = (t - √3)/(1 + √3.t) * (t + √3)/(1 - √3.t) = tan(α-60) tan(α+60)
検算はこっちの方が簡単か.

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 10:01:40.85

>>792
とりあえず前から10番目の人までお入りください
って時の、入れる人達が部分行列だよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 11:03:17.76

>>797
行と列をまばらに選べるよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 11:19:21.96

>>790

ヒントですが、動的計画法を使ってください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 11:22:20.24

>>798
そうなんだよ。
連続してないといけないのか、まばらにとっていいのかで意味違ってくるからエスパー不能なんだよ。
そこは書かないと意味通じないと分かりそうなもんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 11:35:32.58

>>781 (上)

14・13
　xyz空間に4点 P(0, 0, 2), A(0, 2, 0), B(√3, -1, 0), C(-√3, -1, 0) をとる。
　四面体PABCの xx+yy≧1 をみたす部分の体積を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12 東京工大)

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 11:50:51.13

>>783
[16] 有理数と無理数 ☆2ch
　a,bを有理数とする。(2+3√2)a + (1-2√2)b = 7　を満たすとき、
a = [ア], b = [イ] である。

　(2a+b) + (3a-2b)√2 = 7 + 0√2　より
　a=2, b=3

注)
m-n√2 = 0 となる自然数m, n があったとすると mm=2nn
素因数分解すると2のべき指数が偶数、奇数となって矛盾する。
∴ m=n=0,

>>784
[29] つねに成り立つ不等式
　aは定数とする。
　すべての実数xに対して不等式 axx+4x+a>0 が成り立つ
　ようなaの値の範囲は、a > [ア] である。

　a≦0 は不可 (x=0)
　a>0 のとき a(x+2/a)^2 + (aa-4)/a ≧ (a+2)(a-2)/a,
　∴ a-2 >0,

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 12:01:46.60

>>800

O(n^2) のアルゴリズムですので、自ずと分かりますよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 12:12:27.69

>>788
序にもう一つ。
　1/tan(α-60ﾟ) + 1/tanα + 1/tan(α+60ﾟ) = 3/tan(3α),

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 12:45:16.31

>>804 なるほど
tan(α-60) ◇ tan(α) ◇ tan(α+60) = ☆ tan(3α) より
-cot(α-60 -90) ◇ -cot(α -90) ◇ -cot(α+60 -90) = ☆ -cot(3α -90)
cot(α-90 -60) ◇ cot(α-90) ◇ cot(α-90 +60) = ☆ cot(3 (α-90) + 180)
α-90 を α に取り直して
cot(α-60) + cotα + cot(α+60) = 3 cot(3α)
cot(α-60) . cotα . cot(α+60) = - cot(3α)

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 14:24:52.95

>>781 (そのノートの解読はしたくない ), >>801

図を付けたので理解は難しくないかと思います.
微小体積(四角柱 ÷ 2): d(sinθ + tanθ).(1-cosθ)^2
体積: V = 6 ∫ [θ=0～π/3] {微小体積} = (以下略)

y < 0 側のパーツを選んだのは、斜面の式: z/(2) + y/(-1) = 1 のように２変数で済むからです.
y = -cosθ と合わせて稜線の式: z = 2( 1-cosθ ) が簡単に求まります.
計算で ∫ dθ /cosθ が出てきて、初見だと面食らうかもしれません.
∫ dθ cosθ /cosθ^2 = ∫ d(sinθ) /( 1-sinθ^2 ) = (1/2)( log(1+sinθ) - log(1-sinθ) )
こんな感じでいけます.

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 14:41:53.03

>>806
ありがとうございます。
>>781は、
同じ領域が3箇所あるのに3倍していない
積分区間を間違えている（30°加える時にπ/3加えている）のが誤りでした。
この2箇所を直したら解答と一致しました。

円が出てくるから当然xy平面に平行な面で切る！と思ったのですが、
806様も模範解答もz=tでは切っておらず、テクニックを感じました。
難しいですが精進します。ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 16:17:41.63

分からない問題はここに書いてね453
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg

https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 16:38:40.12

aを自然数の定数とする。

以下の不等式を満たす自然数nがただ一つ存在するように実数pを定めたい。
pの取りうる範囲をaで表せ。

2018 < n^2+an+(p/n) < 2019

**806** · 2019/06/29(土) 17:55:29.99

>>806 微小体積のとこ間違えてた.
(横になった)三角柱と三角錐を斜め変形した形になってる.
四角柱 ÷ 2 なんかではない.

この方向の斜め変形は体積が不変(右図)なので...
微小体積: d(sinθ) (1-cosθ)^2 + (1/3). d(tanθ -sinθ). (1-cosθ)^2
= d( (2/3).sinθ + (1/3).tanθ ) (1-cosθ)^2
たぶんこれで合ってるんじゃないかな...

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/06/29(土) 18:45:33.15

前>>776
>>801
直線ABの方程式は、
y=-(√3)x+2――①
原点から直線AB型に引いた垂線の方程式は、
y=x/√3――②
①②より交点は、
-(√3)x+2=x/√3
3x+x=2√3
x=√3/2
②に代入し、y=1/2
(√3/2,1/2)
これはx^2+y^2=1上の点であり、図形の対称性より、
x^2+y^2=1は正三角形ABCの内接円とわかる。
正四面体PABCから、
円柱x^2+y^2＜1をくりぬくと、とがった三点、
(0,1,1)､(√3/2,-1/2,1)､(-√3/2,-1/2,1)が浮かび上がる。
z軸からA方向とB方向にそれぞれケーキ入刀のように求める立体の1/3を切り出すなら、正四面体は三角錐だから3つあわせて三角柱の体積と同じ。
すなわち三角柱の体積から円柱の体積を引く。
2･√3･1-π1^2･1=2√3-π
=2･1.7320508-3.14159258
=0.3225……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/06/29(土) 18:52:13.28

前>>811πの値、訂正。
>>801
直線ABの方程式は、
y=-(√3)x+2――①
原点から直線AB型に引いた垂線の方程式は、
y=x/√3――②
①②より交点は、
-(√3)x+2=x/√3
3x+x=2√3
x=√3/2
②に代入し、y=1/2
(√3/2,1/2)
これはx^2+y^2=1上の点であり、図形の対称性より、
x^2+y^2=1は正三角形ABCの内接円とわかる。
正四面体PABCから、
円柱x^2+y^2＜1をくりぬくと、とがった三点、
(0,1,1)､(√3/2,-1/2,1)､(-√3/2,-1/2,1)が浮かび上がる。
z軸からA方向とB方向にそれぞれケーキ入刀のように求める立体の1/3を切り出すなら、正四面体は三角錐だから3つあわせて三角柱の体積と同じ。
すなわち三角柱の体積から円柱の体積を引く。
2･√3･1-π1^2･1=2√3-π
=2･1.7320508-3.14159265
=0.3225……

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 20:28:22.43

4325×2415＝

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/06/29(土) 21:21:28.10

前>>812違うかもしれない。
z=t(0≦z≦1)で立体の1/6の部分を切ってt=0～1を足しあつめて、あとで6倍する。
z=tによる切り口の座標は、
(0,2-t,t)､
(0,1,t)、
あと一点は、
y=-√3x+2-tをx^2+y^2=1に代入し、
({√3(2-t)-√(4t-t^2)}/4,{2-t+√3(4t-t^2)}/4)
三角形から扇形を引けば、z=tによる切り口の面積は出る。
三角形の面積は、
(1/2)(2-t){√3(2-t)-√(4t-t^2)}/4
={√3(2-t)^2-√(2-t)^2(4t-t^2)}/8
切りとる扇形の面積を知るには中心角θか円弧の長さ2π･(θ/2π)=θが必要。
tで表せないか。
tanθ={√3(2-t)-√(4t-t^2)}/{2-t+√3(4t-t^2)}
z=tによる切り口の面積は、
{√3(2-t)^2-√(2-t)^2(4t-t^2)}/8-π･(θ/2π)
{√3(2-t)^2-√(2-t)^2(4t-t^2)}/8-θ/2
求める立体の体積は、

6∫[t=0～1]{√3(2-t)^2-(2-t)√(4t-t^2)}/8-θ/2dt
=

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/06/29(土) 23:20:03.80

前>>814方針変更。
>>801
正四面体PABCから、
正四面体PABCのz=1より上の部分を取り除き、
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱を引き、
円柱のうち引きすぎた部分を足す。
正四面体PABC=(1/6)･3･2√2･2
=2√3
正四面体PABCのz=1より上の部分=2√3･(1/8)
=√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱=π
円柱のうち引きすぎた部分=(π/3-√3/4)･1･(1/2)･3
=(4π-3√3)/8
求める立体の体積=2√3-√3/4-π+(4π-3√3)/8
=(16√3-2√3-3√3-8π+4π)/8
=(11√3-4π)/8
=0.810773534……

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 23:25:40.30

>>815
バカすぎる
こんな問題の計算くらい一発で合わせろ

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 00:12:03.82

二項分布の確率母関数を求める途中の展開が分かりません
納k=0,n]( nCk * (pz)^k * (1 - p)^(n-k) )
= (pz + q)^n
この間は何を行っているのでしょうか
https://i.imgur.com/uyw4jk6.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 00:29:32.76

2項定理をご存じないということですか

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 00:52:50.05

>>818
ありがとうございます
完全に存在を忘れていました

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 01:23:24.80

2015年以降の高校数学の新過程の統計を学ぶのに最適の参考書を教えて下さい

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 02:15:27.21

f(x)は定数でない多項式とする。
このとき、sin(f(x))が周期関数となるための必要十分条件は、f(x)の次数が1であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 03:38:18.59

cos((f(a)+f(a+p))/2)≠0であるaをとればaの近傍でsin((f(x)-f(x+p))/2)=0により(f(x)-f(x+p))/2は定数。
∴ (f(x)-f(x+p))/2の次数は0以下。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 03:58:14.28

(必要条件)
g(x) := sin(f(x)),　周期: T とする.
f(x) は定数ではないため g(α) ≠ 1 となる点 x=α が存在する.
g’(x) = cos(f(x)) f’(x) これも周期: T のはずである.
| g’(α) | = | g’(α+nT) | = √{ 1-g(α)^2 } * |f ’(a+nT)|
f(x)の次数が 2以上では lim{n→ ∞} |f ’(a+nT)| = ∞ つまり上の等式は成立しない.
よって f(x)の次数は1である.

(十分条件)
f(x) =ax + b (1次式, a≠0) とすると
g(x) := sin(f(x)) = sin(ax + b) = sin(ax ±2π + b) = sin(a*(x+2π/|a|) + b) = g(x+2π/|a|)
g(x) は周期 2π/|a| の関数である

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 12:23:00.83

（必要条件）
f(x) はn次多項式とする。周期：Tとする。
区間[0,T] でのf(x)の値域 D(0,T) は有界である。
　sin(y) = sinθ の根yは無数にあるが {θ, π-θ, 2π+θ, 3π-θ, ････}
D(0,T) 内の根は m個だったとする。
一方、f(x) = y を満たすxは各yにつきn個以下である。
∴ sin(f(x)) = sinθ を満たすx も周期T内にmn個以下である。

因数定理より
　f(x+T) - f(x) = T･Q(x,T)
商Q は(n-1)次多項式である。
n≧2 ならば十分大きいx に対して Q(x,T) > πmn/T
区間[x,x+T] でのyの値域幅 |D(x,x+T)| > πmn
sin(f(x)) = sinθ を満たすxも 2mn個以上ある。(矛盾)

・ビブンのことはビブンでせよ。(高木)

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 13:54:57.81

69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56,
52, 50, 48, 46, 44, 43, 42,
37, 35, 33, 32, 31, 30,
24, 23, 22, 21, 20,
15, 14, 13, 12,
8, 7, 6,
3, 2

規則性は？

2 6 12 20 30 42 56は三角数の位置

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 14:39:26.95

>>809
　2018 < nn + an + (p/n) < 2019,
より
　n(2018 - nn - an) < p < n(2019 - nn - an),

〔例〕
n<45,　a = 2(45-n)　のとき
　n{(45-n)^2 - 7)n < p < n{(45-n)^2 - 6},
　(45 - a/2)(aa/4 - 7) < p < (45 - a/2)(aa/4 - 6),

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/06/30(日) 14:58:15.81

>>816あってるみたいでひと安心しました。「真四角のワンルームを4人で借りてルームシェアしたい。共用部分はないものとして間仕切りを最短にしたい。どうしたらいいか。分岐や曲線は認める」と同じですね。
￣]/＼______前>>815_
＿/＼/zz..,,､､　　 /|
￣＼/zz..彡`-`ﾐっ / |
￣|＼_____U,~⌒ヽ､　|_
］| ∥￣￣￣￣U~~U / /
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 16:17:48.64

>>811 >>812
3稜AP, BP, CPの中点を A ',B ',C ' とする。
点 A '(0,1,1)､ B '(√3/2,-1/2,1)､ C '(-√3/2,-1/2,1) を頂点とする3つの錐体を考えると
　(高さ) = 1,
　(底面積) = △ABC - π = 3√3 - π,
　(体積) = (1/3)(高さ)(底面積) = √3 - (π/3) = 0.684853256

この錐体は xx+yy≦1 の領空を侵犯していて、正解（4√3 - 2π = 0.65017923）よりも大きい。

>>827
　合ってないだろう。全然ちがう。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 16:45:12.30

>>801
まず xx+yy≦1 の内側部分の体積を考え、正3角錐PABCの体積 2√3 から引く。
∠BOC に含まれる扇形部分の体積vを3倍すればよい。
その各点の極座標を (r,θ) とすると 0≦r≦1, -60ﾟ≦θ≦60ﾟ
各点における高さは h(r,θ) = 2(1+y) = 2(1-r･cosθ)
　v = ∫[0,1] ∫[-60ﾟ,60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr = 2(π-√3)/3,
　V = (PABC) - 3v = 2√3 - 2(π-√3) = 4√3 - 2π = 0.6４5017923　　　(←訂正)

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 17:22:11.84

>>827
答えは4√3-2π
もう一度計算し直して合わせてみろww

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 18:30:58.86

>>806, >>810 でやった俺の解法も計算が合わない.
確かに値: 4√3 - 2π = 0.645... が正しいです (念のため数値計算でも確かめた)

立式では無視した赤い領域は高次の微小量だから積分には効かないはずで
V = 6 ∫ [θ=0～π/3] {微小体積} = 6 ∫ [θ=0～π/3] d( (2/3).sinθ + (1/3).tanθ ) (1-cosθ)^2
= (9/2)*√3 - 2π/3 - 2*log(7+4√3 ) = 0.4320... ≠ 0.645... (合わない...)
検算したので立式後の計算は間違いないと思います.
こちらの解法はどこでミスしているのでしょうか？誰か教えてください.

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 18:40:22.42

>>591
これのA(2次正則行列)をa,b,c,d
さらにx=(x, y)
とおいたときの解法お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 23:10:02.30

この問題の解説お願いします><

https://i.imgur.com/RePPmwi.jpg

**831** · 2019/07/01(月) 01:31:32.11

ミスってた箇所が分かった.
d(sinθ) のとこは dθ/cosθ とすべきだった. d(tanθ) = dθ/(cosθ)^2 はそのままでよい.
微小体積: { (2/3). dθ /c + (1/3). dθ/c^2 }. (1-c)^2 [c :=cosθ ]
　　　　　 = (1/3). (2c+1)(1-2c+cc) /cc = (1/3).{ 1/c^2 -3 +2c }
V = 6 ∫ [θ=0～π/3] {微小体積} = 2 tan(π/3) - 6.(π/3) + 4sin(π/3) = 4√3 - 2π
正しい答えが得られた.
こうやって間違わなければ, かなりエレガントな解法ではないだろうか (自画自賛)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/01(月) 02:11:06.24

https://i.imgur.com/ejIqvPp.png

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/01(月) 02:40:13.55

m,M,a,b,c,dは整数で、それぞれ以下を満たすとする。
1<=m<=M
0<=a<=b<=c<=d<=mかつa+b+c+d=M

m,Mを定数とするとき、条件を満たすa,b,c,dの組は何組あるか？

↑どなたかこれお願いします…
考え方も書いてくれるとありがたいです。
よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/01(月) 03:38:46.74

Aは3桁の整数である。A=100m+10n+lとして、m,n,lは全て1桁の奇数とする。
A(A+1)の全ての桁が偶数になる時、Aを求めよ。
ただし、m≠n≠lとする。

娘のテスト問題にあったのですが、総当たり以外で解く方法が思い付きません…。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/01(月) 04:57:29.01

>>566　６進数最善説
＞このことを考えると進法の b としては 6 を選ぶのが正しいと思う。
＞なぜなら適度な文字数ですべての数を表せ、
＞小さい素数 2, 3, 5, 7 での可除性が簡単に判定できる唯一の数が 6 なのである。
http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/papers/proc/NumberTheory_DynSys_rev3.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/01(月) 08:04:49.91

日常で使う小さな数の桁数が増えるのはよくない
日常では小さな数使う場合がほとんどなんだからな

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/01(月) 08:18:07.60

10進数で7の倍数を判定する方法

①元の数を1の位(A)とそれ以上(B)に分ける
②Aの2倍とBとの差が7の倍数なら元の数は7の倍数
③上の②の数が大きすぎる場合は①～②を繰り返す

上の②を「AとBとの和が9の倍数なら元の数は9の倍数」に変えると9の倍数の判定方法になることを考えると、さほど難しくもないのでは

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/01(月) 09:31:26.08

>>835
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551021871/677

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/01(月) 15:46:09.60

S[n] = 4*Σ[k = 1 to n] {(-1)^(k-1)}/(2k-1)
T[n] = (6/π)*Σ[k = 1 to n] (1/k^2)
とおくとき、次の極限が0でない実数に収束するような有理数pを求めよ。

lim[n→∞] (n^p)*(S[n] - T[n])

これが難しくて一手目に何をすべきか分かりません。
関数でないので、展開して高次を切り捨てる方法も使えませんし、評価の仕方が分かりません。
ご教示ください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/01(月) 21:05:29.40

>>840 7の倍数判定方法
10a + b ≡ 0 (mod 7) ⇔ -2*(10a + b) ≡ 0 (mod 7)
-2*(10a + b) ≡ -20a -2b ≡ a -2b ≡ 0 (mod 7)
なるほど... 。　3の倍数９の倍数とかはよく見かけるけど、これは初めて知った。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/01(月) 23:49:26.76

>>842
勘でオイラーマクローリン

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 03:07:10.76

>>830前>>827方針転換。
平面z=tで切った正四面体PABCの面積をt=0から1まで積分してみる。
高さ2-tの正三角形よりちょっとだけ広い黒い矢じり形を3つ。
黒い三角形から白い円を引いて引きすぎた3つの切れ端を足す。
底面ABCの面積は3√3、それが黒い三角形になるための倍率すなわち相似比は、
(2-t)/2
黒い三角形の面積は、
(3√3){(2-t)/2}^2
白い円の面積を引いて、
(3√3){(2-t)/2}^2-1
引きすぎた3つの切れ端の三日月形の面積は、
直線y=-√3x+2-tをx^2+y^2=1に代入し、
(√{4√3-3+(4-2√3)t-t^2}/2,±√{7-4√3-(4-2√3)t+t^2}/4)
半径1の扇形から面積(2-t/2)√{1-(2-t/2)^2}の三角形を引いて三日月形を出せないかと考える。
あるいは3つある扇形の1つがわかるかもしれない。x軸に水平なやつなら。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 09:21:16.77

>>842
π - T[n] = (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] (1/kk)
　≒ (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] 4/(4kk-1)
　= (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] {2/(2k-1) - 2/(2k+1)}
　= 2(6/π)/(2n+1),

π - S[n] = 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)}/(2k-1)
　= 2(-1)^n /(2n+1) + 2Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} {1/(2k-1) - 1/(2k+1)}
　= 2(-1)^n /(2n+1) + 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} /{(2k-1)(2k+1)}
　= 2(-1)^n /(2n+1) + 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} /(4kk-1)
　≒ 2(-1)^n /(2n+1),

S[n] - T[n] ≒ 2{(6/π) - (-1)^n}/(2n+1),

たしかに難しい....

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 09:49:12.46

>>833

log_2(x) + log_2(y) + log_2(z) = 1 + log_2(x+y+z)　を満たす自然数の組 (x,y,z) で、
x≦y≦z であるものをすべて求めよ。

(略解)
　xyz = 2(x+y+z),
　(x,y,z) = (1,3,8)　(1,4,5)　(2,2,4)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 11:07:12.72

ある四角形Aの各辺の中点を頂点とする四角形Bの面積がAの1/2であることの証明をお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 11:23:29.00

対角線引くとわかる

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 11:45:31.23

A(i)－A(i+1) の中点を B(i) とする。

△B1A1B4 = (1/4)△A2A1A4,
△B2A2B1 = (1/4)△A1A2A3,
△B3A3B2 = (1/4)△A2A3A4,
△B4A4B3 = (1/4)△A3A4A1,
辺々たすと
S(A) - S(B) = (△A2A1A4 + △A2A3A4)/4 + (△A1A2A3 + △A3A4A1)/4
　= S(A)/4 + S(A)/4
　= S(A)/2,
∴　S(B) = S(A)/2,

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 11:51:17.44

>>835
　初等幾何ぢゃなくてもいいなら
平行線 AD、BC の間隔を１とする。
A (cot(48ﾟ), 1)
B (0, 0)
C (cot(48ﾟ)+cot(54ﾟ), 0)
D (cot(30ﾟ), 1)

cot(48ﾟ) = √{2 + (5+2√5) -2(√3)√(5+2√5)}
cot(54ﾟ) = tan(36ﾟ) = √(5-2√5)
cot(30ﾟ) = tan(60ﾟ) = √3,
より
　cot(30ﾟ) - cot(48ﾟ) - cot(54ﾟ)
= √{2 + (5-2√5) -2(√3)√(5-2√5)}
= cot(84ﾟ)

∠BCD = 96ﾟ
∠ACD = 42ﾟ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 13:17:35.89

前>>845式はできた。
6∫[0～1]{∫[√(t-t^2/4)～√3/2](1-t-√(1-x^2)dx+∫[√3/2～√3-t√3/2](1-t-x/√3)dx}dt
sinθ=√(t-t^2/4),cosθ=1-t/2とおくと、白い三日月が出たほうがいいな、と思えてくる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 15:01:13.13

前>>852
正四面体PABCをz=tで切った断面は、開口部の中心角を2θとして、
3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θ
0≦t≦1のとき0≦θ≦π/3
円柱でくりぬいて残ったガワの体積は、
∬3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θdθdt[θ=0～π/3][t=0～1]

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 15:07:16.95

いつまでやってんだこいつ
30分あれば十分な問題だろ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 15:42:06.48

整級数P(z; 1)=納n=0,∞](1/2 C n)(z - 1)^n
の|z|=1の収束円周上の点を中心とするテイラー展開式ってどうなるのでしょうか

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 16:13:03.69

前>>853
正四面体PABCをz=tで切った断面は、開口部の中心角を2θとして、
3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θ
0≦t≦1のとき0≦θ≦π/3
円柱でくりぬいて残ったガワの体積は、
∬3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θdθdt[θ=0～π/3][t=0～1]
t=2(1-cosθ)
∫3√3{2-(1-cosθ)}^2-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
∫3√3(1+cosθ)^2-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=∫3√3(1+2cosθ+cos^2θ)-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=∫3√3(θ+2sinθ+θ/2+sin2θ/4)-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=3√3{π/3+2sin(π/3)+(π/3)/2+sin2(π/3)/4)-1+3(π/3)-3sin2(π/3)}
=3√3(π/3+√3+π/6+1/2)-1+π-3√3/2
=3√3(π/2+√3+1/2)-1+π-3√3/2
=3√3π/2+9+3√3/2-1+π-3√3/2
=(1+3√3/2)π+8
計算間違えたかな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 18:11:31.76

>>856 もっと単純に行きましょうよ....
円筒を引いて取りすぎた部分の体積(三日月って言ってたやつかな？) なら
↓こんな方針で求められます.

半径1高さ1の円筒を斜め切断した立体の体積 V を求めたい.
底辺の切断位置を a , cos(α) = a として c = cosθ と略記する
V(a) = ∫ [θ= -α ～ +α] dθ { (1/2).(a/cc) + (1/3).(1/c - a/cc) } (c-a)^2 . 1/(1-a)
= ∫ [θ= -α ～ +α] dθ (a + 2c)(cc -2ac +aa) /6cc. 1/(1-a)
= ∫ [θ= -α ～ +α] dθ ( 2c -3a +aaa/cc ) /6 . 1/(1-a)
= { 2.sinα -3a.α +aaa.tanα } / {3(1-a)}
= { (2+aa)√(1-aa) - 3a.acos(a) } / {3(1-a)}

これは 0 ≦ a ≦ 1 での証明ですが、-1 ≦ a < 0 でもそのまま同じ式が使えます. (証明は略す)
例えば V(-1) = π/2 が、きっちり半分体積になってるのは図形の対称性からも明らか.

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 18:48:34.13

>>853
結局ホントの最終学歴ってなんなん？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 19:21:32.59

￣]/＼______前>>856
＿/＼/　　,,､､　　/|
￣＼/　　彡-_-ﾐ　/ |
￣|＼_____U,⌒U､/| |__
］| ∥￣￣￣U~~U | / /
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
間をおいてもうちょい考える。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 20:12:58.32

2の2019乗を5で割った余り
合同式を利用してお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 20:37:29.69

2^2 = 4 ≡ -1 (mod 5)

2^(2*1009 + 1) = (2^2)^1009 * 2 ≡ (-1)^1009 * 2 = -2 ≡ 3 (mod 5)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 21:35:50.39

前>>859
高さ1の単位円柱(体積π)の中心角120°の切頭三日月形柱が三日月形柱(体積はわかる)の1/2なのか2/3なのか、正四面体PABCの中と外でいくらに分けられるのか。答えから推定する。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 23:08:22.33

円柱は縦に切るのがコツ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 23:24:32.48

前>>862やっと解けた。
正四面体PABC=1/3･3√3･2
=2√3
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(2/3)
=3√3/2-2π/3
=0.503681109……

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 23:46:54.43

突然πが出てきて何事wwwww

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 00:14:38.71

>>842 >>846

π - T[n] = (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] 1/kk
　= 2(6/π){1/(2n+1) - 1/[3･(2n+1)^3] + 7/[15･(2n+1)^5] - 31/[21･(2n+1)^7] + ････}

π - S[n] = 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} /(2k-1)
　= (-1)^n {1/n - 1/(4･n^3) + 5/(16･n^5) - 61/(64･n^7) + ････ }

う～む、難しい･･･

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 01:05:55.95

だからオイラーマクローリンで1/nで展開できるって。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 01:22:57.14

>>853 >>856
　z = t　　　　(← 無意味?)
　相似比 (2-t)/2,
　△の面積 (3√3){(2-t)/2}^2,
　開口部の三角形の面積は　cosθsinθ = (1/4)(2-t)√{t(4-t)},
　それ以外の扇形の面積は、中心角の半分で、π/3 - θ = π/3 - arccos((2-t)/2),
　矢じり形３つの面積は
　　(3√3){(2-t)/2}^2 - 3cosθsinθ - π+ 3θ
　= (3√3){(2-t)/2}^2 - (3/4)(2-t)√{t(4-t)} - π + 3arccos((2-t)/2),
これを 0<t<1 で積分して 4√3 - 2π

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 02:04:49.59

前>>864
>>865πについて解説します。
正四面体PABC(体積2√3)から、
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱(3√3/4)を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
ここまでだと正四面体内部をナイフで切り出したみたいな状態なわけです。
ここからさらにメロンの中の果肉をスプーンでこ削げ落とすみたいに切り出さないと。
πは高さ1の円柱です。
3√3/4は高さ1の正三角柱です。
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(2/3) ←2/3というのは三日月形柱の内側を切り出したからです。
三日月形柱を、正四面体PABCの斜めの側面が、内側と外側に2:1に分けるんです。
中心角が120°なんで三日月形というか蒲鉾形です。
=3√3/2-2π/3
=0.503681109……

この(2/3)の比率に気づくのに時間がかかりました。
xy平面もz=1平面も三日月形柱の上底と下底は合同な蒲鉾形です。正四面体PABCの側面で斜めに切ったとき、下向きには一点に収束していく形ですが、上向きには直線に収束していく、すなわち両端の二点に。
これで2:1の比率になることが実感できました。
>>868z=t平面で切って積分するやり方が硬い(強力な)方法かもしれないと思ったんですが、より直感的で幾何学的な、メロンの切り出しのような方法に変更しました。
z=tで切るやり方で同じ値を出すとは、やっぱり0.6……が正解なのか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 02:12:53.41

いや実感ではなくて証明をして下さい。
何故1:2になるの？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 02:43:08.15

前>>869でも蒲鉾は斜めに切るほうがいいって……
＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/
＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/
＿/＿/＿/＿/＿ﾁｭ_/＿/
＿/_ц~_/＿∩∩∩ξ､/
∥￣￣∥∥( (-(`)　)/
∥＼／∥∥(`っ,U⌒ヽ/
＿/＿/＿/_ι_(＿＿＿)
＿/＿/＿/＿υυ_UU＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 03:04:22.29

切断面を斜めや真横にスパッと切ると断面に円、楕円が生じて面倒。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 03:33:26.27

今やってみたら>>842解存在しないんじゃね？
p<1だと0になってp≧1だと振動するやん。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 07:55:39.16

>>869
2:1 が云々とあるのは蒲鉾斜め切りが蒲鉾錐になってると思って「底面 * 高さ * (1/3)」を使いました？
水平横断面が全て相似形で頂点からの距離に比例してサイズが変わる (○○錐の特徴) 場合は...
∫ [z=0～h] dz S (z/h)^2 = S.h.(1/3) のように 1/3 ファクターが現れます。
今回のはそうではありません。例えば水平横断面は相似形ではありません。

>>857 で導出した斜め切断の式使えば
V(1/2) = { (2+1/4)√(1-1/4) - (3/2). acos(1/2) } / {3(1-1/2)} = (3/4).√3 - π/3

{四面体 - (1/2).四面体} - {円筒} + {円筒で削りすぎた分}
= (1- 1/8). 2√3 - π + 3. { (3/4).√3 - π/3 } = 4√3 - 2π
これが答えです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:09:14.88

a, b を実数とし、 a < b とする。閉区間 [a, b] は R と濃度が等しいことを以下のヒントを利用して示せ。

ヒント： A ⊂ (a, b) を可算無限集合とすれば、 A ～ A ∪ {a, b} は比較的簡単に示すことができる。これから (a, b) ～ [a, b] を導け。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:10:13.38

「A ～ A ∪ {a, b} は比較的簡単に示すことができる」

と書かれていますが、自明ではないのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:41:27.26

右辺は要素が増えてるのに濃度が等しくなってますね
自明ではないです

{1}と{1,2,3}明らかに濃度が違いますね

今回はなぜ濃度が等しくなるのでしょうね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:45:23.62

可算無限集合の定義ですが、 N と濃度が等しいときに、可算無限集合と定義しています。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:45:59.83

あ、「無限」という字が入っているので、書くまでもないことですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:47:57.36

A = {a_0, a_1, a_2, … }

a_0 → a
a_1 → b
a_2 → a_0
…
a_k → a_{k-2}
…

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 10:19:09.41

領域D_0の内部に正則点a_0をとり，a_0を中心としたテイラー展開式をf_0(z)とする．
f_0(z)の収束円D_1が完全にD_0に含まれている場合，D_1の境界の円周はD_0の境界の曲線に内接することを示せ．

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 10:49:45.24

D_0={|z|<1}で定義された関数1/(z-2)の収束円は|z|=2。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 11:23:29.76

それがどうかしましたか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 11:46:29.92

>>881の反例

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 12:05:21.53

>>881
領域D_0で f(z) が正則（D_0に特異点がない）という条件が抜けてまつよ。

>>884
　f(z) = 1/(z-2)
　D_0 = {z| |z|<1 }
　a_0 = 0,
とすると
　f_0(z) = -1/2 - z/4 - zz/8 - ････
収束円 D_1 = {z| |z|=2 }
この場合は「収束円D_1 が完全に D_0 に含まれている」を満足しません。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 12:27:39.13

前>>874
>>871円筒で削りすぎたのは三日月形柱(蒲鉾)の1/3じゃないのか？
(円筒-正三角柱)(1/3)
=(π-3√3/4)(1/3)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 12:29:03.80

>>D_0は|z|<1。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 12:38:23.42

収束円　D_1 = {z| |z-a0|=R }
収束半径　R = {a_0 から f(z)の特異点までの距離(の最小値)}

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 12:51:42.79

D_0には領域という指定しかない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 13:44:12.03

>>886
削りすぎたのは斜め切り蒲鉾が３つです。 (緑色)
V(1/2) = (3/4).√3 - π/3
これが斜め切り蒲鉾１つの体積です。高さ１で中心から 1/2 だけズレたとこからの斜め切りです。

なので足す時には３倍しています。+3. { (3/4).√3 - π/3 }

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 14:25:30.61

絵に感心した

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 14:39:26.32

田中一之・鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』を読んでいます。

カントル・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理の証明に使う補題1.12（p.57）の証明ですが、
致命的な誤りを発見しました。

このような基本的な命題の証明で誤るというのが信じられません。

しかも、厳密性がもっとも重んじられるロジックや集合論の本においてです。

この著者らは一体何を考えているのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 14:43:21.15

>>881
>>885 の言うように「領域D_0で f(z) が正則」を付け加えると...

f(z) = (1/2πi) ∫_{C} dζ f(ζ) / (ζ - z) この公式が使えます。 (公式の証明はコーシーの積分定理を使う)

「収束円(半径R)が領域境界に接していない」なら
R< R' なる値をとって、中心 a 半径 R' の周回ルート C ＆その内側が D0 に含まれるようにできます。

|z-a| < R' となる任意点 z に対して、
f(z) = (1/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) / ( (ζ-a) - (z-a) )
= (1/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) Σ (ζ-a)^{-k-1} (z-a)^{k} 　( |z-a|/|ζ-a| =|z-a|/R ' < 1 より級数は収束する)
= Σ g_k /k! (z-a)^k 　( 展開係数: g_k = (k!/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) (ζ-a)^{-k-1} は z に依存しません)
これは収束半径が R' 以上である事を意味します。
よって「収束円(半径R)が領域境界に接していない」という前提は誤りです。