>>719
示さなければいけないのは
∀n∊N (-1≦a[n]≦1)
ですから，nを任意に与えられた自然数としたときに
-1≦a[n]≦1
が成り立つといわないといけません．
関数の値域の話は
-1≦a[n]≦1 ⇒ -1≦a[n+1]≦1
を言っているだけです．