P100 §4. The Axiom of Foundation AXIOM 2. Foundation. ∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ￢∃z(z∈x ∧ z∈y))).
Equivalently, if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0), or every non-empty set has an ∈-minimal element, or, if we extend the definition of well-founded to proper classes (see §5), ∈ is well-founded on V. (引用終り)
”if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0)”について http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室－システム情報数理学II研究室－ 尾畑伸明：集合・写像・数の体系 数学リテラシーとして http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf 第3章 集合の演算 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23) P34 x ∈ A ∩ B ←→ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (3.2) (引用終り)
なので z∈x ∧ z∈y → z ∈ x ∩ y ￢∃z(z∈x ∧ z∈y) → z＝0 つまり x ∩ y = 0 よって AXIOM 2. Foundation. ∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ￢∃z(z∈x ∧ z∈y))). ↓ if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0) こっちの表現で記されているものが多い 多分、上の”AXIOM 2. Foundation”では、x,y,zと３つ出てくるが、こっちの表現だとx,yの２つで、よりシンプルってことだろうね でも、x,y,zと３つ使う表現も、それはそれで意味あるんだろうね（キューネン先生が書いているんだから（＾＾ ）
P101 Foundation does rule out certain pathologies. For example, we remarked in §2 that there is no x ∈ WF such that x ∈ x, so Foundation implies that ￢∃x (x ∈ x) (or, apply the axiom directly to show ∃y ∈ {x} (y ∩ {x} = 0), so x ∩ {x} = 0, or x not∈ x). Likewise, there cannot be an x, y with x ∈ y ∧ Y ∈ X (or, apply the axiom directly to {x, y}). (引用終り)
”there cannot be an x, y with x ∈ y ∧ Y ∈ X (or, apply the axiom directly to {x, y})” について
the axiom directly to {x, y}なので、c＝{x, y}とおくと AXIOM 2. Foundation より ∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ￢∃z(z∈x ∧ z∈y))) ↓ C(∃y(y∈C)→∃y(y∈C ∧ ￢∃z(z∈C ∧ z∈y))) ここで、zとしてxを取る。x∈C (={x, y}) かつ、仮定よりx ∈ y よって ∃x(x∈C ∧ x∈y) ↓ ∃z(z∈C ∧ z∈y)が成立して、 AXIOM 2. Foundationに矛盾する。
ここ、尾畑伸明先生（下記）に詳しい解説があったね（＾＾ http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室－システム情報数理学II研究室－ 尾畑伸明：集合・写像・数の体系 数学リテラシーとして http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf 第3章 集合の演算 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23) P45 (S9) 基礎の公理 空でない集合 A には, すべての y ∈ A に対して y not∈ x を満たす x ∈ A が存在する.4) ∀A(A ≠ Φ → ∃x ∈ A∀y ∈ A(y not∈ x)) 4)順序集合における用語を流用して, このような x を ∈ に関する A の極小元という.
以上の公理から導かれる簡単な性質をいくつか述べておこう.
補 題 3.14 x ∈ y と y ∈ x を同時に満たす集合 x, y は存在しない. 証 明 まず, 2 つの集合 x, y に対して, 対の公理によって A = {x, y} も集合である. もし x ∈ y と y ∈ x が同時に成り立てば, A に基礎の公理を適用して, x または y が極小元になる. 前者であれば x not∈ x と y not∈ x が同時に成り立ち, 後者であれば x not∈ y と y not∈ y が同時に成り立つことになるが, いずれも仮定に反する. したがって, x ∈ y と y ∈ x は両立しない.
定 理 3.15 集合 x, y に対して次が成り立つ. (1) x ∈ x を満たす集合は存在しない. (2) x ∈ y, x = y, y ∈ x のうち高々1 つだけ成り立つ. (3) {x} ⊂ x を満たす集合 x は存在しない. したがって, x = {x} を満たす集合も存在しない. 証 明 (1) 補題 3.14 において x = y とおけば, x ∈ x を満たす集合は存在しないことがわかる. (2) (1) と補題 3.14 を合わせればよい. (3) {x} ⊂ x から x ∈ x が得られて (1) に矛盾する.
