>>109

つづき

http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200402.html#20040207-2
2004年2月7日 順序

http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200403.html#20040320-1
2004年3月20日 順序数の定義
(抜粋)
前回 まで自然数と自然数全体からなる集合を定義しました。ここで自然数に順序と 演算を定義して、それらの「常識的な」性質を証明する必要があるのですが、 あんまり面白くないのにあたりまえの結果しか出ないので、細かいことは省略 して順序の定義のみを行います。

a,b∈N に対して関係 a∈b は順序関係となる。 通常この関係を a<b と記述する。
もちろん a∈b が順序の公理を満たすことを証明する必要があるのですが、 ここでは省略です。また特に重要な点として、
N 上の順序関係 ∈ は整列順序である。
が成立します。これも証明が必要な事実ですがここでは省略します。さていよ いよ順序数の定義ですが、これは次のように行われます。
集合 X が順序数とは次の二つの性質を満たすこと。
(1) X は ∈ に関して整列順序集合
(2) a∈b∈X のとき a∈X(この性質をもつ X を推移的という)

(2) の条件は b∈X のとき b⊆X ということです。

つづく