現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む61
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた） >>847 >>854
戸松先生〜！
選択公理を、数学的帰納法とからめて説明するのは
ミスリードやで〜（＾＾；
すっかり、乗せられたわ〜（＾＾
北大で、新しい「選択公理の解説のPDF」出してや〜（＾＾ 自然数を構成するのに選択公理が必要なら（仮定法）
ZFは自然数すら存在できない公理系ってことになるなｗ
スレ主には丁度いいんじゃない？自然数すら理解できないようだからｗ >>881
＞それ、良い指摘だね
赤っ恥晒しまくっても上から目線は頑なにキープｗ >>881
＞戸松先生PDFでは、数学的帰納法と選択公理が、関連していると書いてあったからな
「関連」って相当意味が広いぞｗ
スレ主みたいなバカはそれがどんな関連なのか自ら検証しようとはせず、勝手に妄想を膨らませて失敗する。
スレ主に数学は無理。 >>903
＞選択公理を、数学的帰納法とからめて説明するのは
＞ミスリードやで〜（＾＾；
誰もミスリードされてない
スレ主とかいう脊椎反射しかできない畜生を除いて 自分が理解できないとミスリード呼ばわりかよｗ
世の中はお前中心に回ってる訳じゃないｗ スレ主は時枝記事の読み違いは認めないのかな？
うまくミスリードされて何年も間違え続けていることに気付いてほしいね 選択公理が分かっていないという指摘を自ら補強したスレ主ｗ
ヴぁか杉ｗ >あまいな
>逃亡するならどうぞｗ（＾＾
>そんな簡単に許さないよ
>晒し者にしてやるｗ（＾＾
か 〜 ら 〜 の 〜
＞それ、良い指摘だね
＞ピエロちゃんに、一本取られたね ﾃﾍｯ いやー スレ主のピエロ踊り なかなか楽しませてもらったｗ
数学はからっきしだけどピエロの才能はあるね、彼ｗ >>865
＞いやはや、（文系） High level people たち（ ID:jEMrGWmk さん含め）の、数学ディベートもどきは面白いですね（＾＾；
＞私ら、理系の出典（URL)とコピペベース、ロジック（論証）＆証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル（２ＣＨスタイル？）とは、明白に違いますね
＞私ら、（文系） High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ（＾＾；
いくら出典（URL)とコピペベースでも、それを理解してなきゃどうなるかという好例ｗ
理解できないのは自分の学力のせいなのに、ミスリード呼ばわりで責任転嫁という恥の上塗り付きｗ >>899
>フォン・ノイマンの正則性公理と数学的帰納法および超限帰納法との関係
またなんかおかしなことをいいだしたね
文章が読めない文盲は困ったものだね ピエロちゃん、必死だな（＾＾
>>876-877は、なかなか良いアシストだったよ
それだけは認めるよ（＾＾
それだけ、ありがとう ピエロちゃんも、数学的帰納法やペアノ公理と、ZFとの関係、あんまり分かってなかったみたいだね（＾＾ >>917
どうも。スレ主です。
どなたか知らないが、レスありがとう
実は、「可算選択公理ってのがプロっぽい」かも知れないが
この手の話しはキライじゃない。結構うるさいんだ（＾＾
高校のときに、ゲーデルの不完全性定理の解説本を読んだりした
ブラウアーの直観主義（排中律を使わない）の話しとかも、読んでたり
もちろん、独学だから、知識に穴が空いているだろうし
基礎論を専攻している人には敵わないと思うけどね
高校からなんで、年季だけは入っているんだ
”選択公理”の話しも、耳タコでね。最初に聞いたのがいつだったか、思い出せない。多分、大学の集合論だったかも・・（＾＾
もちろん、大学の数学の集合論では、”選択公理”なんてほとんど、お話しだけで終わった
で、選択公理についての、なにか本は読んだ気がする。内容は忘れたがね、ネットで落としたＰＤＦとか読むと、「ああ、この話しは、どこかで読んだね」と思い出すこともあるんだよね（＾＾ スレ主は話だけで肝心の選択公理の式を読まないから何も学べない
正則性公理についても同様 同じ間違いを二度繰り替えすとか貴様は白痴か？ >>914
別に難しいことは言っていない
話しは単純で
ペアノの公理で、自然数の集合で
（>>866より）
自然数が整列集合＝数学的帰納法成立 （公理として同値）
とすれば、
ＺＦから、”自然数が、整列集合 or 数学的帰納法成立”が導けなければいけない
ＺＦだけでね
普通の高校や大学の集合論では、「数学的帰納法は、当然です」と、まあ公理にするか、触れずにすますか（触れても触れなくても似たようなものでしょうが）
それはともかくとして、触れてもせいぜいペアノ公理くらいでお茶濁す
で、ＺＦで、「自然数が整列集合＝数学的帰納法」 （公理として同値なので、どちらを導いても良いが）
に直結するＺＦ中の公理が、フォン・ノイマンの正則性公理だよというだけのことです >>919
じゃ、ＺＦで、正則性公理抜きで、ペアノ公理を導いてみなよｗ（＾＾； >>919 追加
因みに、おれは>>901で、正則性公理使えば可能と書いたよｗ（＾＾ 補足
正則性公理で、整礎的までが言えて、さらに自然数Ｎが全順序だと言わないといけないと思うけどね（＾＾ >>922
>因みに、おれは>>901で、正則性公理使えば可能と書いたよｗ（＾＾
自然数が整列集合であることは、正則性公理を使わなくても可能かもしれんね〜ｗ（＾＾
選択公理が、有限の場合には、公理でなく、証明可能な定理だというが如し。（勿論、公理だから、有限の場合に、選択公理は（証明なしで）適用可能だが）
それと同様に、自然数が整列集合であることは、正則性公理なしで証明可能かも知れない
だが、正則公理を認めて、自然数が整礎的であることを前提として、あと、”全順序”だけを証明することにすれば、証明が短く話しは簡単でしょ?（＾＾
まあ、ともかく、正則性公理無しの証明たのむよ！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
(抜粋)
整列順序付けられた集合または整列集合とは、整列順序を備えた集合のことをいう。
ここで、集合 S 上の整列順序関係 とは、S 上の全順序関係 "<=" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず <= に関する最小元をもつものをいう。
あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, <=) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
(引用終り)
関係ないけど、下記ご参考
http://fuchino.ddo.jp/index-j.html
渕野 昌
http://fuchino.ddo.jp/articles/susemi2018-x.pdf
間違いと真理: 解析学と集合論の場合 渕野 昌 神戸大 2018
(抜粋)
このテキストは，数学セミナー 2018 年 9 月号に掲載された，同じタイトルの解説の拡張版です．
目 次
1.ライプニッツは間違っていたのか?
2.初等埋め込みと超準解析
3.完全性定理の超冪での置き換え
4.初等埋め込みと巨大基数
5.ラインハートは間違っていたのか?
参考文献
P5
ZFC の公理のうちの基礎の公理(正則性の公理と呼ばれることもある)
により，集合の全体のクラスはVα, α ∈ On の和と一致する9) ．
注）
8) On で順序数(超限順序数を含む) の全体を表わす．
9) すべての集合からなるクラスはV と表わされることが多いので，ここでの主張はV = ∪_α∈ On (Vα) と書ける．
(引用終り) >>822
で？スレ主は数学的帰納法を使う時に選択公理でどこから何を選択するつもりなの？ >>924
>正則公理を認めて、自然数が整礎的であることを前提として、
>あと、”全順序”だけを証明することにすれば、
>証明が短く話しは簡単でしょ?（＾＾
馬鹿丸出し
自然数の構成が整礎的なのだから、正則性公理は必要ない
0={} 整礎的！
1={}∪{{}}＝{{}} 整礎的！
2={{}}∪{{{}}}={{},{{}}} 整礎的！
・・・
頭オカシイのか？ >>925
>基礎の公理(正則性の公理と呼ばれることもある) により，
>集合の全体のクラスはVα, α ∈ On の和と一致する
自然数が整礎的だというのに、集合全体が整礎的である必要はない
自然数が整列集合であるのに、集合全体が整列可能である必要が無いのと同じ
スレ主、貴様は二度同じ過ちを繰り返した
貴様が論理を全く理解してない証拠だ
貴様に数学は無理 諦めてここから出ていけ！ >>926-927
はい、試験答案としては、０点ですｗ（＾＾
∵なぜならば、問題は、ＺＦ公理系から正則性公理を除いて、どの公理からペアノの５番目の公理が導けるかを問われているから
ＺＦ公理系のどれとどれを使ったかを、明示できていないので、０点ですぅ〜ｗ（＾＾
以下ご参照
（>>774より）
(引用開始)
わんこら日記2009/06/24
要するにこの数学的帰納法の公理と数学的帰納法は同値やねんけど、この数学的帰納法の公理を使うことで
「自然数の整列性
自然数の任意の空でない部分集合は最小元をもつ。」
略
だから数学的帰納法が成立することと自然数が整列集合であると言うことは同値であって、どっちを原理にするかの問題
数学的帰納法は、それ自体が自然数の公理であって証明出来る性質のもんではない
(引用終り)
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
定義
５． 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。
(引用終り)
https://ch.nicovideo.jp/siratama_z/blomaga/ar800298
数学とか
SNNN数について − 3. SNNN数の性質 − 数学的帰納法はなぜ正しいか 2015-06-01
(抜粋)
「数学的帰納法における 1. 及び 2. の条件を満たす自然数全体の集合は無限集合であり, 自然数そのものである」という取り決めを行うことで, 数学的帰納法は正当化されます.
このような取り決めを「公理」と呼ぶことは前回お話しましたが, この公理は「数学的帰納法」の取り決めではなく, 「自然数そのものが満たすべき性質」という位置付けとなっています. この公理を含めた自然数全体の公理群は「ペアノの公理」と呼ばれています. （c.f. ニコニコ大百科 - 自然数）[2]
(引用終り) >>928 追加
(テンプレ>>19より)
いやはや、（文系） High level people たち（ ID:jEMrGWmk さん含め）の、数学ディベートもどきは面白いですね（＾＾；
私ら、理系の出典（URL)とコピペベース、ロジック（論証）＆証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル（２ＣＨスタイル？）とは、明白に違いますね
私ら、（文系） High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ（＾＾；
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから
(引用終わり)
・おれは、あんたの証明は信用できないので、典拠を要求します。証明できるなら、当然すでにだれかがやっていると思うから。典拠をよろしく
がんばれ、サイコパスピエロ〜！ｗ（＾＾ >>928 補足
(>>926より 引用開始)
自然数の構成が整礎的なのだから、正則性公理は必要ない
0={} 整礎的！
1={}∪{{}}＝{{}} 整礎的！
2={{}}∪{{{}}}={{},{{}}} 整礎的！
・・・
(引用終り)
これ、>>928のペアノの公理5を使っているでしょ？ｗ（＾＾
問題は、ペアノの公理5、つまり、数学的帰納法の原理＝自然数の整列性 （公理として同値）
を、ＺＦ公理系から導けって話しですよね。それも、正則性公理を使わずにね！
どうぞｗ（＾＾
おっと、出典さがしてね〜（＾＾
自分で証明しなくていいからｗ（＾＾
がんばれ、サイコパスピエロ〜！ｗ（＾＾ 実数や自然数が内部構造を持つことに不安を感じたり、
不満を持つやつ結構多いよな。
特にトウシロウ。
ただでさえ頭が悪いのに、
数が原子的でないと思考に無駄なストレスがかかってパーが亢進するようだw >>930
＞>>928のペアノの公理5を使っているでしょ？
そりゃ誤解だな
Xが整礎的ならX∪{X}も整礎的だといってるだけ
つまり、ペアノの公理５は、
・{}(=0)が自然数である
・Xが自然数ならX∪{X}(=X+1)が自然数である
という自然数の定義から出てくる
これ基本
わからんならスレ主は白痴 元を持たない唯一の集合、空集合はZFにおいて「原子」みたいなものか。
純粋なZFに原子なんて無いのだが。 >>921
定義されたNがペアノ公理を満たす証明なんて普通にありふれているから、
正則性公理など不要であることを自分自身で確認しなさい。
まあスレ主が確認するまでもなくwikipediaには
＞その一方で、正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではない
って書いてあるけどなｗ 数学的帰納法の原理の証明も分からないバカに数学は無理だから諦めなさい。
もう数学板には書き込まないでね。 >>931-932 >>934-935
それ、数学科生たち納得せんよｗ（＾＾
これ、>>870 で
新歓でちょっとした数学の記事を書くんだけど、「数学がZFCから作られていることを実感してもらうためにZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」とか思ってたの、難しすぎ感あるな。
(引用終わり)
で、正則公理使ったらやれるよと書いんだよね、私は
で、それにいちゃもん付けたのは、あなた（＾＾
（>>774より）
(引用開始)
要するにこの数学的帰納法の公理と数学的帰納法は同値やねんけど、この数学的帰納法の公理を使うことで
「自然数の整列性 自然数の任意の空でない部分集合は最小元をもつ。」
略
数学的帰納法が成立することと自然数が整列集合であると言うことは同値
(引用終り)
これで
（整列集合より）「整列順序とは整礎な全順序関係のことである」
（整礎関係より）「ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである」
を認めれば、
整礎は、正則性公理から出るので、
あとは、自然数が通常の"<=" について、全順序関係になることを示すだけで良い
それは、ZF公理系で可能だろうと
しかし、「自然数の整列性 自然数の任意の空でない部分集合は最小元をもつ」を、正則性公理を使わずに、他のZFだけで言えるのか？
言えるというなら、証明頼むよ（＾＾
みんな、楽しみにしているんだよ
がんばれ、サイコパスピエロ！
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
(抜粋)
集合 S 上の整列順序関係とは、S 上の全順序関係 "<=" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず <= に関する最小元をもつものをいう。
あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。 スレ主には数学に干渉する力、カオステラーの力が有るのだよ。 >>936
＞で、正則公理使ったらやれるよと書いんだよね、私は
数学が分からないスレ主でもwikipedia↓くらい読めるだろ？ｗ
＞その一方で、正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではないが、ZF公理系と他のいくつかの命題が独立であることを証明する際にその効果を発揮する。
これ、スレ主の主張「正則公理使ったら構成できる」と真逆じゃんｗ 未だ分からん?
スレ主の主張「正則性公理を使ったら構成できる」
は明らかに
「正則性公理を使わなかったら構成できない」
を意図しており、ということは「正則性公理はZF公理系を拡張する」はずだよなｗ
それはwikipediaの主張「正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではない」
と真っ向矛盾するｗ
まあ、このようなディベートが不服なら、証明を自分で読めばいいだけ、そこらじゅうに転がってるんだからｗ
読めなかったとしたら自分の学力のせいだから自業自得ｗ お前らがスレ主にわかるように優しく噛み砕いて説明するという方法もあるぞ >>936
＞言えるというなら、証明頼むよ（＾＾
証明はそこら中に転がってるよｗ
別に特殊な論文を取り寄せないといけないなんてことは無いｗ
但しスレ主の学力で読めるかは保証の限りでないｗ そもそも数学、数学的証明というのはスレ主の様な口が達者なだけの分からず屋、詭弁家を黙らせる道具として、古代ギリシアが発明したものなのだがw >>942
お前らが十分に優しく噛み砕けてない可能性が払拭できない以上反例にはならないだろ
>>943
つまり数学はその発明の目的を達成できなかったのか 皆が寄ってたかって3年間も指導したのにスレ主は一歩も理解に近づかなかった。
俺たちは学んだ。「バカも度を越えると矯正しようが無い」ってことを。 >>928
>どの公理からペアノの５番目の公理が導けるか
自然数の定義
定義から出てくることを集合論の公理とは言わない
スレ主はそんなこともわからん白痴か？ スレ主は啓蒙書的なものだけ読んで理解しようとするから間違うｗ
証明そのものを読めばいいんだよ。
まあ学力が追い付かないんだろうが、人の指導を聞く耳持たないスレ主は自力で学力つけるしか無い。全て自業自得。 >>936
>「自然数の整列性 自然数の任意の空でない部分集合は最小元をもつ」
>を、正則性公理を使わずに、他のZFだけで言えるのか？
言える
自然数はその定義から整楚
スレ主が定義を知らずに馬鹿なこと口走ってるだけ
正則性定理は必要ない >>939
>スレ主の主張「正則性公理を使ったら構成できる」
>は明らかに 「正則性公理を使わなかったら構成できない」
>を意図しており
そうだな。だからそれは誤りだといっている
ZFA（ZFから正則性公理を取り除き、正則でない集合の存在を認める公理を追加したもの）
でも自然数は構成できるし、それらが整楚であることも、その整列性も示せる
つまり、「全ての集合が整楚である」という性質は必要ない
スレ主は思考が嫌いだから、不必要に強い性質を使いたがる悪癖がある
しかし、それは数学の健全な発展を阻害する
思考が嫌いなヤツは学問は無理だから、数学板から去れ！ >>944
>>数学、数学的証明というのは
>>口が達者なだけの分からず屋、詭弁家を黙らせる道具として、
>>古代ギリシアが発明したものなのだが
>数学はその発明の目的を達成できなかったのか
スレ主は論理が理解できない人間失格の畜生だから仕方ない
数学的証明を理解できるのは人間だけ 虫ケラのスレ主には到底無理ｗ >>950
虫ケラにレスつけるなんてガイジそのものじゃんお前
なんでそんな無駄なことしてんの？ N := 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分
より、
0 := {}∈N
が言え、
∀n∈N に対して、n∈/{}
だから、Nは整楚である。 >>951
おまえ、スレ主だろｗ
今度は、正則性公理が必要、とか弁護しないのか？ ＞N := 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分
ちなみに「0を含む帰納的集合」の存在は無限公理により保証される。
スレ主は「数学的帰納法成立には無限公理が必要」とでもカマせばよかったんだよｗ
それなら「当たり前だろ？」と言われることはあっても「間違えんなバカ」と言われることは無かったｗ しかし酷いもんだな。
スレ主は数学的帰納法も選択公理も正則性公理も分かっていなかった。
分からないなら黙ってればいいのになんで天下に赤っ恥を晒したがるのか、そこが謎であるｗ >>955
スレ主は
「帰納法が公理でないなら、
集合論の公理から導かれなければならない」
という狂った思い込みがある
実際は自然数やら順序数やらの定義に基づく推論なんで
集合論の公理がどうこうとかいうことではないのだが
スレ主は馬鹿のくせに自分が賢いと自惚れる悪癖があるから
自分の誤りを決して認められない
正真正銘の負け犬なんだな >>933
>空集合はZFにおいて「原子」みたいなもの
確かに
それはそうかもね（＾＾ >>936
これ書いた人が、どんなレベルの人かは、知らないが
”定理 8 (自然数の正則性).ω に属する x について、x not ∈ x。
(注: これは正則性の公理を使えばすぐにわかることであるが、この記事では正則性の公理について説明しないので、代わりに数学的帰納法を用いて証明する。
数学的帰納法が機能すること自体が正則性の公理に依存しているので、本来ならば数学的帰納法を使わずに直接正則性の公理を使うべきである。)”
だってよ （＾＾
https://unaguna.jp/article/archives/15#theorem_basis_n
U-naguna
(抜粋)
集合論の言葉による自然数の表現
定理 8 (自然数の正則性).ω に属する x について、x not ∈ x。
(注: これは正則性の公理を使えばすぐにわかることであるが、この記事では正則性の公理について説明しないので、代わりに数学的帰納法を用いて証明する。
数学的帰納法が機能すること自体が正則性の公理に依存しているので、本来ならば数学的帰納法を使わずに直接正則性の公理を使うべきである。)
(証明)
x について数学的帰納法を用いる。
まず 0 not ∈ 0 は明らか。
次に x not ∈ x とする。このとき x∪{x}∈x∪{x} とすると矛盾することを示す。
この仮定より
x∪{x}∈x か x∪{x}=x
のいずれかが成立する。
前者の場合は自然数の推移性と x∈x∪{x} より x∈x となって数学的帰納法の仮定に矛盾する。
後者の場合は x∈x∪{x} より x∈x となってやはり数学的帰納法の仮定に矛盾する。
いずれにしても矛盾するので x∪{x} not ∈ x∪{x}。
(引用終わり)
つづく >>959
つづき
自然数が、全順序関係を持つことを証明しているのだが
背理法「正則性の公理に矛盾」って書いてあるよ（＾＾
https://unaguna.jp/article/archives/27
U-naguna
(抜粋)
13.全順序関係
定義 2 (自然数の大小関係).
定理 3.上で定義した関係 R は全順序関係である。
(証明) 全順序関係の定義に則って確かめる。まず a=<a を示す。a=a より、a=<a。
次に a=<b, b=<c から a=<c を導く。a=<b より a∈b と a=b のいずれかが成立し、b=<c より c∈d と c=d のいずれかが成立する。もし a=b, b=c であれば a=c であるので a=<c。
もし a=b, b∈c であれば a∈c であるので a=<c。もし a∈b, b=c であれば a∈c であるので a=<c。
もし a∈b, b∈c であれば自然数の推移性より a∈c であるので a=<c。
次に a=<b, b=<a から a=b を背理法で導く。
a≠b とすると a=<b, b=<a より a∈b, b∈a
(注: この時点で正則性の公理に矛盾しているがこの記事シリーズでは正則性の公理を詳しく説明していないので、正則性の公理に依存する別の定理を使う)。
このとき自然数の推移性より a∈a であるが、これは自然数の正則性に矛盾する。したがって a=b。
最後に a=<b, b=<a のいずれかが成立することを a についての数学的帰納法で示す。
まず命題より 0∈b と 0=b のいずれかが成立するので 0=<b。
次に固定された a について a=<b, b=<a のいずれかが成立すると仮定する。
このとき a=b, b∈a, a∈b のいずれかが成立している。もし a=b なら a∈a∪{a} より b∈a∪{a} であるので b=<a∪{a}。
もし b∈a なら a∈a∪{a} と自然数の推移性より b∈a∪{a} であるので b=<a∪{a}。もし a∈b であるなら、命題より a∪{a}=<b。
以上よりいずれにしても a∪{a}=<b, b=<a∪{a} のいずれかが成立する。
(引用終わり)
以上 >>960 追加
下記の証明で
「実数Rの部分集合として下に有界です」のところは、（任意の部分集合に対する）正則性公理を使っていると思うがどう？（＾＾
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1194834851
(抜粋)
anj********さん2012/9/2903:18:07 yahoo 知恵袋
あなたは自然数の集合Nが整列集合であることを証明できますか？
ベストアンサーに選ばれた回答
tok********さん 2012/10/512:00:09
はい。実際に証明してみます。
まず整列集合の定義から。
整列集合Sとは、整列順序、
すなわちS上の全順序関係 「＜'」 であって、Sの空でない任意の部分集合が必ず＜'に関する最小元をもつもの、
を備えた集合のことをいいます。
つまり、自然数の集合Nに整列順序＜'を定義できればいいわけです。
自然数の場合、通常の順序「=<」が整列順序となります。
以下でこれを証明します。
まず「=<」が全順序、すなわち任意の自然数a,bに対し、
a=<bまたはb=<aが必ず成り立ち、両方が成り立つならばa=b、
であるということは明らかです。
次に、Nの空でない任意の部分集合Xが必ず=<に関する最小元をもつ
ということを示します。
Xは0未満の元を持たないので、
実数Rの部分集合として下に有界です。
従って実数の性質から、Xは実数R上に下限infXが存在します。
さて、infXを中心とした開区間(infX-1/2,infX+1/2)を考えると、
この区間の内部に自然数は高々1個しか存在しません。
また、下限の定義より、この区間内にXの元が存在します。
よって、(infX-1/2,infX+1/2)∩X={x}を満たすx∈Xがあります。
infX≠xならば、上の開区間上にx以外のXの元があることになり矛盾。
よってinfX=xとなり、xはXの最小元。
ゆえに任意のNの部分集合Xに最小元が存在することが示せました。
以上でNが=<を整列順序とする整列集合であることが証明できました。
(引用終わり) >>960 補足
>最後に a=<b, b=<a のいずれかが成立することを a についての数学的帰納法で示す。
「数学的帰納法で示す」ってところも、アウトだね
∵数学的帰納法と自然数が整列集合であることは、公理として同値だからね（＾＾； >>956
パトロール隊長、どうもありがとう
そいつは、キチガイ サイコパスだから、適当にあしらっておきな
まともに相手する必要なし！（＾＾； >>960 補足
念のため、全順序の定義下記な
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
(抜粋)
目次
1 定義
1.1 前順序・半順序・全順序
定義
全順序集合、半順序集合、およびこれらよりさらに弱い概念である前順序集合の定義を述べる為にまず以下の性質を考える。
ここで P は集合であり、「=<」を P 上で定義された二項関係とする。
・反射律：P の任意の元 a に対し、a =< a が成り立つ。
・推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a =< b かつ b =< c ならば a =< c が成り立つ。
・反対称律：P の任意の元 a, b に対し、a =< b かつ b =< a ならば a = b が成り立つ。
・全順序律：P の任意の元 a, b に対し、a =< b または b =< a が成り立つ。
「=<」が全順序律を満たさない場合、「a =< b」でも「b =< a」でもないケースがある。このようなケースにあるとき a と b は比較不能 (incomparable) であるという。
前順序・半順序・全順序
P を集合とし、=< を P 上で定義された二項関係 とする。
・=< が反射律と推移律を満たすとき、=< を P 上の前順序（英語版）という。
・=< が前順序でありさらに反対称律を満たすとき、=< を P 上の半順序という。
・=< が半順序でありさらに全順序律を満たすとき、=< を P 上の全順序という。
=< が前順序であるとき (P, =<) を前順序集合という。
同様に =< が半順序なら (P, =<) は半順序集合、全順序なら (P, =<) は全順序集合という。
また集合 P は (P, =<) の台集合 (underlying set) あるいは台 (support) と呼ばれる。
紛れがなければ =< を省略し、P の事を（いずれかの意味で）順序集合という。
(引用終わり) 全くもうスレ主は理解出来ないから、要約が出来ない。
丸写しの引用しか出来ないんだろうな。 >>959
＞数学的帰納法が機能すること自体が正則性の公理に依存しているので、
＞本来ならば数学的帰納法を使わずに直接正則性の公理を使うべきである。
これ誤り
数学的帰納法が成立することは、自然数が整礎であることに依存している
これは正則性の公理より真に弱い条件である >>965
スレ主はそもそも論理が分かってない
だから丸ごと引用の馬鹿丸出しなことしかできない
中身は彼自身全然理解できてないんだろう
数学する意味がない スレ主の人生は無意味 >>968
ぐだぐだ言っても、証明無ければ、それ数学じゃないよね
落ちこぼれさん（＾＾；
ピエロちゃん、あんたの負けだなｗ（＾＾ >>969
間違い連発のお前が「あんたの負けだな ｷﾘｯ」ってｗ
お前面の皮の厚さなら超一流だなｗ >>969
証明の必要がないと認識できない時点で
スレ主には数学を学ぶ能力がない
死ね 畜生 スレ主は馬鹿のくせに自惚れが強い
生きる価値もない畜生 死ね >>972
それお前ｗ バレてないと思ってた？ｗ
自分の悪癖が他人にもあると疑う気持ちは分からないでもないが っぷ >>972
他人はお前ほど卑劣な嘘つきじゃない
死ね サイコパス！ スレ主は以前自分で自分をアホバカと言ってたよな？
なのになんでそんなに上から目線なん？
バカならバカなりに教えを乞うたらええやん
仕方ないやん、バカなんだから >>977
＞なんでそんなに上から目線なん？
スレ主は自惚れがないと生きていけないチキンなんだろ
負け犬の証拠 勝者は自惚れない >>972
スレ主が自演してるのなんて皆とっくに気付いてるんだよｗ
気付いてて心の中でｸｽｸｽ笑ってるだけｗ
なのに自分から言ってどうするｗ ホントバカだねｗ >>914
よくぞ、フォン・ノイマンの正則性公理につっかかってくれましたね（＾＾
今度は完全にこちらが一本取ったぜ（＾＾；
(>>920-921より)
じゃ、ＺＦで、正則性公理抜きで、ペアノ公理を導いてみなよｗ（＾＾；
(引用終り)
証明まだぁ〜ｗ（＾＾
（>>929より）
・おれは、あんたの証明は信用できないので、典拠を要求します。証明できるなら、当然すでにだれかがやっていると思うから。典拠をよろしく
(引用終り)
がんばれ、サイコパスピエロ〜！ｗ（＾＾
サイコパスのいじりネタができたな〜（＾＾ 次スレもしばらく、ＺＦＣネタで遊べそうだな〜ｗ（＾＾ みんな、新スレへ
ここは、適当に埋めますから
おっと、サイコパスは残って、ＺＦからペアノ公理を導く証明を考えなさい（＾＾ >>980
>今度は完全にこちらが一本取ったぜ
馬鹿丸出し
>ＺＦからペアノ公理を導く証明
自然数の定義から「ペアノの公理」は導かれる
ＺＦは自然数論と違って、自然数以外の対象もあるから
自然数論における「ペアノの公理」がそのまま
集合論の公理になるわけではない 馬鹿はそこに気づけない スレ主はZFではNが正則でないモデルがあると思ってるのか
アホか？ｗ Nのモデルを
…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
となるように作ろう！ >>988
バカが嘘と正しいと喚いてるな
フチノ氏もいってるように
α∈β≣α＜β
向きを逆にすればいいとか
馬鹿丸出しなこといってんじゃねえ
この白痴が！ >>989
この件についてはお前さんもスレ主と同類。
てか、この馬鹿さはスレ主の自演かw
Nの順序が順序数のそれと一致する必要は微塵も無い。
通常はその方が便利で自然だからそうしてるだけだ。
ノイマンの構成は自然数を順序数の特殊な物ωとして扱うわけだが。 >>990
＞Nの順序が順序数のそれと一致する必要は微塵も無い。
わかってないね
∈をつかって順序を定義したとしても
正則性公理は必要ない、といってるんだよ 場外バトルか
こっちの方が、新スレよりレベル高そう（＾＾； それ未だに俺をスレ主と混同して自演認定してるガイジにも言ってやれよ スレ主の自演癖は目に余る
バレてないと思ってるのがイタイ このスレッドは１０００を超えました。
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