現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む61
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた） 微分幾何は有名ですが、積分幾何、測度幾何は有名ではないですがなんでですか?
弱微分という概念があるので積分できれば微分でき一般化とおもうのですが。 「自分の悪を正当化してしまうサイコパス」（＾＾
http://kurukuru89.hatenablog.com/entry/2017/07/31/132353
kurukuru89’s blog
自分の悪を正当化してしまうサイコパス
(抜粋)
サイコパスになってしまう人もいます。相手の感情を読むのが苦手だったり、自己尊大であったりした傾向が多少あって周りの人間とトラブルを起こしても、早いころから理性によってそれを正当化してしまうのです。 >>800
どうも。スレ主です。
微分幾何学は、”一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある”というから、それ一つの理由だろう
弱微分は、”弱解の定義につながる。それは、微分方程式や関数解析学の諸問題を解決する上で有用となる”とあるし、”より一般的な定義については、分布（distribution）を参照されたい”ともある
いまだと、Distribution_(mathematics)の中で扱われるかもね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
微分幾何学
(抜粋)
微分方程式の研究から自然に発生したこれらの分野は互いに密接に関連しており、特に一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある。これらは可微分多様体についての幾何学を構成しているが、力学系の視点からも直接に研究される。
https://en.wikipedia.org/wiki/Distribution_(mathematics)
目次
1 微分幾何学の道具立て
2 微分位相幾何学
3 内在的な定式化と外在的な定式化
4 微分幾何学の分野
4.1 リーマン幾何学
4.2 擬リーマン幾何学
4.3 フィンスラー幾何学
4.4 シンプレクティック幾何学
4.5 複素幾何学、ケーラー幾何学
4.6 CR幾何学
4.7 葉層の理論
4.8 接触幾何学
5 関連項目
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B1%E5%BE%AE%E5%88%86
弱微分
(抜粋)
数学の分野における弱微分（じゃくびぶん、英: weak derivative）とは、通常の意味での関数の微分（強微分）の概念を、微分可能とは限らないが積分可能である関数（ルベーグ空間に属する関数）に対して一般化したものである。より一般的な定義については、分布（distribution）を参照されたい。
目次
1 定義
2 例
3 性質
4 拡張
拡張
弱微分の概念はソボレフ空間における弱解の定義につながる。それは、微分方程式や関数解析学の諸問題を解決する上で有用となる。 時枝が成立たない理由を纏めておくと
１．（>>29より） すでに述べたが、同値類である元と代表とを比較して、なにか確たることが言えるような標準外の論法を使っているところ
２．（>>83より）Sergiu Hart氏のPDF P2のRemark.で、有限の場合を（落語における）”オチ”として最後に言及している
つまり、数列の長さで箱の数ｎとして、ｎ有限なら従来の確率論通りで当たらない
ここで、ｎ→∞の極限を考えれば、可算無限個の箱でも、結論は同じだ
（>>504もご参照）
３．（>>756-757より）時枝記事では、「どんな実数を入れるかはまったく自由，・・すべての箱にπを入れてもよい.もちろんでたらめだって構わない.」
とあるので、箱の数を確率変数の族 X1，X2，・・・ ととれば、現代確率過程論で扱えて、それは従来の確率計算通りで、99/100と矛盾する
（>>509もご参照）
４．（>>770より）時枝記事で、例えば、サイコロの数で数列を作り、1〜6の整数がランダムに入るとすると
決定番号が、決定番号 k+m+1の場合に対して、あるnをとって、決定番号 k+m+n+1を考えると
代表候補の数列の場合の数は{6^(k+m)}{6^n}通りで、つまり{6^n}倍多い
n→∞の極限を考えると、決定番号 k+m+1になる代表が取れたのは、宝くじの１等以上の、現実にはあり得ない奇跡
そういう奇跡の中の99/100でしかない
つづく >>803
つづき
なお、
時枝成立派のよりどころは、下記のように潰した
・「固定」なる妄想は、>>756-757に示したように、”確率変数”の「変数」という用語を誤解したものだった
”確率変数”の定義をきちんと理解することなく、「固定」で時枝が正統化できると主張していた
それが、”確率変数”に対する誤解であることを、>>756-757に示した
・また、時枝のミスリードで、「選択公理を使って、ビタリ類似の非可測集合を経由するから”ふしぎな戦略”」という記述がある
”非可測集合”による確率論を考えたがゆえ、「固定」なる妄想に辿り着いたのだ
しかし、>>783に示したように、選択公理なしで、同値類100個の存在と決定番号のみを簡単に示すことができる
だから、時枝の成否と選択公理は、直接の関係がない
また、>>576に示したように、Sergiu Hart氏のPDFの”without using the Axiom of Choice” ”game2”では
選択公理なし（不使用）だから、非可測集合など存在しえないのだった
ということです（＾＾
以上 >>799
＞数学板のルール
これのソースは？いつになっても出てこないけど >>805
常識はわざわざ明示しない
残念だったね非常識サル君ｗ >>803
＞時枝成立派のよりどころは、下記のように潰した
スレ主の妄想だな
まず、>>756-757は時枝記事とは無関係のスレ主の勝手な設定
時枝記事では箱の中身の分布には全く言及してない
あたりまえだ 定数なんだから
書いてあるのは100個の列から1列をランダムに選ぶということだけ
これでスレ主爆死
選択公理に関していえば、>>783はその都度、同値の数列を選ぶ設定だからNG
重要なのは、毎度同じ代表元が選ばれること そこが分かってないスレ主は
間違いから抜け出せない
これでスレ主再爆死 >>806
答えられないよね
そんなルールないから
スレ主と同レベルの論理だよね >>798 補足の補足
> ３）なので、可算選択公理 ＝ 可算整列可能定理（自然数Nに限らず） ＞ 整列原理（自然数N） ＝ 数学的帰納法の原理（自然数N）（＝は同値）の関係あり
> ４）なので、選択公理 ＝ 整列可能定理（任意の集合） ＞ 整列原理（ある順序集合*）＝ 超限帰納法の原理（ある順序集合*）(* 非可算 )
まあ、こう考えると良いのかも
＜ZFC前提だと＞
・ZFC(含選択公理)→整列可能定理→整列原理（自然数N）＝ 数学的帰納法の原理（自然数N*）(*可算 )
・ZFC(含選択公理)→整列可能定理→整列原理（ある順序集合*）＝ 超限帰納法の原理（ある順序集合*）(* 非可算 )
なので、選択公理無し、かつ可算選択公理も無しだと、数学的帰納法さえ使えなくなる！
だから、基礎論やる人は別として、選択公理は使う前提にしておかないと不便きわまりない！
（>>771より）
戸松先生（下記）
「選択公理とは, このような無限回の操作が可能であることを認める公理であるといえる」
ってこと
選択公理は、単に選択関数だけと思っていると、それは甘い
もし、どこかで、数学的帰納法使っていたら、「せめて、可算選択公理はいるよ」と言われる
（もちろん、超限帰納法についても同様だ） >>809
隊長、ご苦労さまです！（＾＾
以前、あのサイコパスが、貴方をおれと同一人物だと、誤認していたね。笑えたよｗ（＾＾ Sergiu Hart氏のPDFでは、Theorem1において時枝記事と全く同じ内容を
扱っており、Proofにおいて時枝記事と全く同じ証明をしている。
つまり、Sergiu Hart氏は時枝記事に賛成の立場である
(時期的には時枝記事より先だが)。
それなのにSergiu Hart氏のPDFを引用して時枝記事に反論するのは、
Sergiu Hart氏の意見を捻じ曲げていることになる。
「Theorem1」「Proof」と書いてある以上、
Sergiu Hart氏は時枝記事の内容を本当に定理だと思っていて、
その定理が本当に証明できると思っている。それ以外に解釈のしようがない。 それにも関わらず
「Game2で落語のオチがついている(Theorem1は なぞなぞ・ジョーク である)」
などとあり得ない解釈の仕方をするのは正気の沙汰ではなく、
Sergiu Hart氏の意見を180度正反対に捻じ曲げている。この
「Sergiu Hart氏の意見を捻じ曲げている」
ということを学術的に言うと、
「文献の引用の仕方が極めて不適切」
ということであり、なんならSergiu Hart氏に対する誹謗中傷とも言える。
なぜなら、本人が主張してない内容を、本人のPDFを引用する形で
勝手に捏造しているからだ。極めて悪質である。
5chの場末のスレッドだからと言って、好き勝手にでたらめ言っていいわけではない。
これ以上同じことを繰り返すようなら、"然るべき対応" をしようかと考えている。 >>803
＞１．（>>29より） すでに述べたが、同値類である元と代表とを比較して、なにか確たることが言えるような標準外の論法を使っているところ
標準外であることが示されていないのでコメントに値しない。
スレ主は妄想を語る癖がある。
＞２．（>>83より）Sergiu Hart氏のPDF P2のRemark.で、有限の場合を（落語における）”オチ”として最後に言及している
＞ つまり、数列の長さで箱の数ｎとして、ｎ有限なら従来の確率論通りで当たらない
＞ ここで、ｎ→∞の極限を考えれば、可算無限個の箱でも、結論は同じだ
＞ （>>504もご参照）
大間違い。
n有限で言えることがｎ→∞の極限でも言えるとは限らない。
実際、有理数列の極限が無理数になることがある。
スレ主は極限が分かっていない。 >>803
＞３．（>>756-757より）時枝記事では、「どんな実数を入れるかはまったく自由，・・すべての箱にπを入れてもよい.もちろんでたらめだって構わない.」
＞ とあるので、箱の数を確率変数の族 X1，X2，・・・ ととれば、現代確率過程論で扱えて、それは従来の確率計算通りで、99/100と矛盾する
＞ （>>509もご参照）
大間違い。
任意の実数は定数である。
スレ主は定数と変数の区別ついていない。
＞４．（>>770より）時枝記事で、例えば、サイコロの数で数列を作り、1〜6の整数がランダムに入るとすると
＞ 決定番号が、決定番号 k+m+1の場合に対して、あるnをとって、決定番号 k+m+n+1を考えると
＞ 代表候補の数列の場合の数は{6^(k+m)}{6^n}通りで、つまり{6^n}倍多い
＞ n→∞の極限を考えると、決定番号 k+m+1になる代表が取れたのは、宝くじの１等以上の、現実にはあり得ない奇跡
＞ そういう奇跡の中の99/100でしかない
大間違い。
決定番号が自然数なら↓は成立する。
「さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ. 例えばkが選ばれたとせよ. s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. 」
スレ主はこのようなごく簡単な文章も理解できない。 >>804
＞・「固定」なる妄想は、>>756-757に示したように、”確率変数”の「変数」という用語を誤解したものだった
＞ ”確率変数”の定義をきちんと理解することなく、「固定」で時枝が正統化できると主張していた
＞ それが、”確率変数”に対する誤解であることを、>>756-757に示した
時枝証明は「固定」なる用語を使っていないので、時枝証明を否定する何の根拠にもなっていない。
スレ主は言いがかりをつける癖がある。
＞・また、時枝のミスリードで、「選択公理を使って、ビタリ類似の非可測集合を経由するから”ふしぎな戦略”」という記述がある
＞ ”非可測集合”による確率論を考えたがゆえ、「固定」なる妄想に辿り着いたのだ
時枝証明は「固定」なる用語を使っていないので、時枝証明を否定する何の根拠にもなっていない。
スレ主は言いがかりをつける癖がある。
＞ しかし、>>783に示したように、選択公理なしで、同値類100個の存在と決定番号のみを簡単に示すことができる
同値類は作る必要は無い。集合に同値関係が与えられればその集合は類別される。
スレ主は同値類が分かっていない。 >>804
＞ しかし、>>783に示したように、選択公理なしで、同値類100個の存在と決定番号のみを簡単に示すことができる
＞ だから、時枝の成否と選択公理は、直接の関係がない
選択公理無しで100列だけの代表を定めるには、100列が属す100個の同値類が特定されている必要がある。
時枝解法では列kの選択は箱を開ける前であり、この時点では100個の同値類を特定できない。当然100個の代表も決められない。
これはくじを引くときに当たりくじが決まっていないようなもの。
このスレ主解法は時枝解法とは異なるから、スレ主の主張「時枝の成否と選択公理は、直接の関係がない」は成立しない。
またスレ主解法で勝率がどうなるのかスレ主は何も示していないからコメントに値しない。
スレ主はこのような独善主張をする癖がある。
＞ また、>>576に示したように、Sergiu Hart氏のPDFの”without using the Axiom of Choice” ”game2”では
＞ 選択公理なし（不使用）だから、非可測集合など存在しえないのだった
スレ主はgame2で選択公理が不要な理由が分かっていない。実際、>>673に未回答のままである。
game2とgame1は似て非なるモノだから、game2を引き合いに出しても無意味。
スレ主は選択公理が分かっていない。 >>810
＞なので、選択公理無し、かつ可算選択公理も無しだと、数学的帰納法さえ使えなくなる！
素朴な疑問
スレ主は数学的帰納法を使う時に選択公理でどこから何を選択するつもりなの？ スレ主の時枝批判が成立たない理由を纏めておくと
１．スレ主は妄想を語る癖がある。
２．スレ主は極限が分かっていない。
３．スレ主は定数と変数の区別ついていない。
４．スレ主はごく簡単な文章も理解できない。
５．スレ主は言いがかりをつける癖がある。
６．スレ主は同値類が分かっていない。
７．スレ主は独善主張をする癖がある。
８．スレ主は選択公理が分かっていない。 >>814
隊長、ご苦労さまです！（＾＾
＞はよやれや口だけ無能
逆瀬川、重川を読めば、分る
読めなければ、無能ｗ（＾＾
http://www.f.waseda.jp/sakas/stochastics/stochastics.pdf/aspText.pdf
「確率過程とその応用」管理人 逆瀬川浩孝 早稲田大学
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
重川一郎 京都大学大学院理学研究科数学教室
2013年度前期 確率論基礎 講義ノート >>819
>＞なので、選択公理無し、かつ可算選択公理も無しだと、数学的帰納法さえ使えなくなる！
>素朴な疑問
>スレ主は数学的帰納法を使う時に選択公理でどこから何を選択するつもりなの？
はい、素朴な疑問にお答えしますｗ
それ、まさに、「確率変数」の定義の意味を理解せず、「変数」と淺読みの誤解をした構図そのものですね
「選択公理」は、必ずしも「選択」しません。 例 Zornの補題
数学的帰納法では、選択公理はそれと同値な命題、整列可能定理に姿を変えて働きます
（>>810より）
・ZFC(含選択公理)→整列可能定理→整列原理（自然数N）＝ 数学的帰納法の原理（自然数N*）(*可算 )
ということです
つまり、自然数Nが整列集合であることを、整列可能定理で証明します
これ（自然数Nが整列集合であること）を、整列原理と呼びます（>>775ご参照）
整列原理は、数学的帰納法の原理と同値です
QED
以上、小学生のピエロへの素朴な疑問の回答でした
”なばかり”数学科出身か
あんたチコちゃんより、劣るね（＾＾；
なお
詳しくは、>>771-776に書いてあるのでご参照
（これ、読めてなかったのか、おい？（＾＾ ） >>813
名誉毀損は成立する。
繰り返し事実を捻じ曲げて公知する態度は悪質である。 >>823
”名誉毀損罪は親告罪であり、告訴がなければ、公訴を提起することができない（232条1項）。”
どうぞ、時枝先生にご連絡下さい。>>40の通りです
それで、あなたも、自分の過ちに気づきますのでね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8D%E8%AA%89%E6%AF%80%E6%90%8D
名誉毀損
親告罪
名誉毀損罪は親告罪であり、告訴がなければ、公訴を提起することができない（232条1項）。 ちなみに告訴は個人だけでなく法人など団体もできます >>822
>自然数Nが整列集合であることを、整列可能定理で証明します
ギャハハハハハハ！！！
こいつ、正真正銘の白痴だなｗ
自然数全体の集合Nは、その定義から整列集合だよ
選択公理を使って整列する必要なんかない
数学的帰納法は、選択公理から証明される定理じゃねえよ
バァァァァァカ！！！ >>827
バカはおまえ
サイコパス ピエロよ
憐れだね ID:nVFG1cqyはスレ主確定
「自然数Nが整列集合であることを、整列可能定理で証明します」
とか馬鹿丸出し発言ｗｗｗｗｗｗｗ
おまえ正真正銘の白痴だろ
ギャハハハハハハ！！！ >>830
墓穴を大きくしていることに気づかないバカ哀れ >>831
自ら墓穴に入る馬鹿スレ主ｗｗｗｗｗｗｗ
ギャハハハハハハ！！！ スレ主、史上最低の馬鹿発言
「自然数Nが整列集合であることを、整列可能定理で証明します」
ヒャーッハッハッハ！！！
これだけでメシ三杯食えるｗｗｗｗｗｗｗ >>832
こいつ本当に数学科でたんかいw(^^) >>834
お前が数学科出てないことは、スレ主の馬鹿発言に全面賛同した時点で確定
整列可能定理は「いかなる集合にも整列順序がつけられる」という命題
整列集合の存在自体を保証する命題ではない
整列集合は順序数によって構築される
順序数の定義から超限帰納法が導かれるのであって
超限帰納法の成立に選択公理は必要ない
こんな常識も知らんとか白痴かよｗｗｗ >>833
笑えるわ
あのな>>822の根拠文献は、全部示した
それ読めてないねw(^^) >>836
おまえが読み間違ったんだよ馬鹿ｗ
Nが整列集合であるという証明に、整列可能定理なんか使わねえよ馬鹿ｗ 自然数全体Nとは異なり、実数全体Rが整列集合である
という証明には整列可能定理を使う
よく整列順序と全順序だと誤解する馬鹿がいるが
整列順序は如何なる元にも、その次の元があるような
順序であって、全順序だけでは整列順序とはいえない
どうせスレ主の馬鹿は全順序と整列順序の区別もつくまい
とおもって丁寧に説明してやったぞ 感謝しやがれ白痴ｗｗｗ >>835
笑えるわ、>>836な。>>822書いたのは、おれ(^^)
スレ主です＼(^_^)／ >>839
お前が笑われてるんだよ この白痴ｗｗｗ
整列可能定理＝超限帰納法 じゃねえよｗ
整列可能定理で、如何なる集合にも整列順序集合が入るから
その整列順序の超限帰納法が使えるっていうだけのことで
整列可能定理から、超限帰納法が証明できるわけじゃねえよ
そんなことも読み取れないのか この白痴野郎がｗｗｗｗｗｗｗ ちなみに選択公理を前提しない集合論では
実数が整列不能なモデルが存在する
これ豆なｗ >>838
バカだね、>>822には全部根拠文献付けた
無駄な抵抗は、墓穴を
大きくだけ >>842
お前こそ正真正銘の馬鹿だね
おまえがいう根拠とやらをおまえが読み違えただけ
その証拠にどこにも整列可能定理から超限帰納法を導く証明が書いてないだろ
書いてあるわけない 超限帰納法は、整列可能定理とは独立に成立するから
ヒャーッハッハッハ！！！
白痴は数学の文章も正しく読めない
生きる価値も資格もないね
今ここで首掻き切って死ねば？
このブタ野郎ｗｗｗｗｗｗｗ 可算無限の順序数も非可算無限の順序数も、選択公理なしに存在する
したがって数学的帰納法も超限帰納法も、選択公理なしに存在する
一方２＾Nのような集合が整列集合だというには、選択公理が必要
選択公理が無い場合、２＾Nが整列不能の場合もある
（Nは自然数全体の集合）
ID:nVFG1cqyはこんな違いも分からない白痴ｗｗｗｗｗｗｗ 戻ってきました
出先からスマホアクセルしたんだが
キーボードないと面倒だね（＾＾
>>842 訂正
無駄な抵抗は、墓穴を
大きくだけ
↓
無駄な抵抗は、墓穴を
大きくするだけ >>844
サイコパスお得意の論点ずらしが出始めたな（＾＾
だが、逃がさないよ
えーと>>822ね
で、”詳しくは、>>771-776に書いてあるのでご参照
（これ、読めてなかったのか、おい？（＾＾ ）”
と書いたでしょ？
(引用開始)
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/m1b/M1B6.pdf
数学IB No.6 担当: 戸松玲治
8 選択公理
(抜粋)
数学的帰納法によって
x1 < x2 < ・ ・ ・ < xn < ・ ・ ・ (8.1)
なるX 内の無限列(xn)∞ n=1 が取れる.
「論法」の数学的帰納法が示しているのは, 各n に対してxn < xn+1 となるxn+1 があることだ
けである. 問題はすべてのn に対して同時にx1 < x2 < ・ ・ ・ < xn < ・ ・ ・ となる元を取り出せるか, と
いうことにある(これができなければ, 有限時間に生きる我々には議論を終えることができない). 言
い換えるなら, 上記(8.1) を満たすような唯1 つに定まる写像f : N → X (n → xn) が我々にとれる
のであろうか？このように,「無限列を作る」という操作は一見簡単に見えて, 実は難しい.
選択公理とは, このような無限回の操作が可能であることを認める公理であるといえる. 我々には
不可能であるが, 当然のことのように思えるものだから, 公理として認めようというものである. つ
まり選択公理は超絶技巧なのであり, その武器を使用することを許したのである
(引用終り)
これ、読めてる？ｗ（＾＾
おっと、もとのPDFの全文を嫁よ！（＾＾ >>847 補足
（>>763より）
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~tomatsu/cv.html
氏名: 戸松玲治 (とまつれいじ)
(抜粋)
1999年4月 東京大学理学部数学科 進学
2001年3月 同上卒業
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~tomatsu/
戸松玲治 (Reiji TOMATSU)
北海道大学大学院理学研究院数学部門
ですよ、念のため
なお、PDFテキスト「数学IB No.6 担当: 戸松玲治」は、前任の東京理科大での
おそらく、数学科１年後期のテキストだと思った（＾＾ >>847
戸松 玲治 先生 東京理科大 2009 「8 選択公理」は、数学演習IBの問題6のPDFやね（他のPDFも各問題の箇所にある）
多分１年生への講義だろう
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/sched09.html
2009冬
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/m1b/m1b.html
数学演習IB
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/m1b/M1B1.pdf
数学 IB No.1
（これ面白いから引用しておく）
小平邦彦「怠け数学者の記」
私にとって数学の本 (論文も含めて) ほど読みにくいものはない. 数百ページもある数学の本を初めから終わ
りまで読み通すことは至難の業である. 数学の本を開いてみると, まずいくつか定義と公理があって, それから
定理と証明が書いてある. 数学というものは, わかってしまえば何でもない簡単で明瞭な事柄であるから, 定理
だけ読んで何とかわかろうと努力する. 証明を自分で考えてみる. たいていの場合は考えてもわからない. 仕方
がないから本に書いてある証明を読んでみる. しかし一度や二度読んでもなかなかわかったような気がしない.
そこで証明をノートに写してみる. すると今度は証明の気に入らない所が目につく. もっと別な証明がありはし
ないかと考えてみる. それがすぐに見つかればよいが, そうでないと諦めるまでにだいぶ時間がかかる. こんな
調子で一ヵ月もかかってやっと一章の終りに達した頃には, 初めの方を忘れてしまう. 仕方がないからまた初め
から復習する. そうすると今度は章全体の排列が気になり出す. 定理三よりも定理七を先に証明しておく方がよ
いのではないか, などど考える. そこで章全体をまとめ直したノートを作る. これでやっと第一章がわかった気
がして安心するのであるが, それにしてもひどく時間がかかるので困る. 数百ページある本の終章に達するのは
時間的にも不可能に近い. 何か数学書を早く読む方法があったら教えて貰いたいものである.
(引用終り)
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/cv.html
履歴書
(抜粋)
氏名: 戸松玲治
学歴
1999年 東大理学部数学科進学
2001年 東大大学院数理科学研究科 修士課程入学
2003年 東大大学院数理科学研究科 博士課程入学
2008年-2009年 東大 大学院数理科学研究科 特任助教
2009年 4月- 東京理科大 理工学部数学科 講師 >>849
>小平邦彦「怠け数学者の記」
全く正反対の意見も引用しておく
(>>774関連)わんこら式数学の勉強法（＾＾
http://wankora.bl og31.fc2.com/bl og-entry-1295.html
Author:わんこら 京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師
わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用)
(抜粋)
今からわんこらの数学の勉強法を聞いてもらいます。
１、定義、定理、解き方を覚える
２、無理やりページを進める
３、解き方をノートに写す
４、高速で繰り返す
５、適当にやれば次へ！
６、出来ることをやる
○、覚醒モードに入る
２、無理やりページを進める
極端に言えば
毎日3問ずつ完璧にしようとしてはいけない。
同じ問題を30問、毎日ノートに解答を写すのを十日間する！
注意しなければならないのは、解けない、理解出来ない、覚えられないって何時間も何日も悩まないことです。
制限時間を決めてください。
出来るだけ多くの問題を余り悩まず「出来るだけ速く」処理する。
それを何回も繰り返してください。
これはよくオレが失敗しました。
問題を飛ばさずに絶対解けるまで考えるって決めてた。
それで何日も一つの問題を考えてしまった。
夜も寝られず数学の夢にうなされた。
考えすぎない！勇気を持って問題を飛ばす！
これを絶対に忘れないでください。
そして、オレと同じ過ちを繰り返さないでください。
○追記
この勉強法はオレは大学の数学を理論物理の勉強もしながら一年半の勉強で東京大学、京都大学の数学の大学院そして世界ランク3位以内言われている数理解析研究所に全て筆記試験に合格した時の経験が大きいです。
結局全部面接とかで何故か落とされましたが。
その時に毎日大量にわけわからない数式が押し寄せてくる大学での数学を命がけで対処しようとしてわかってきた勉強法と、受験時代に東大模試で数学を2位とった時の勉強法をあわせて書いていて、受験生の話では絶大な効果があるようです。
(引用終り) >>846 蛇足訂正
出先からスマホアクセルしたんだが
↓
出先からスマホ アクセスしたんだが
（本題）
>>850 補足
このURL http://wankora.bl og31.fc2.com/bl og-entry-1295.html
で、blogがNGワードらしい
仕方ないから、半角スペースいれた
まあ、わんこら式数学の勉強法 で検索で飛んで貰えば良いでしょう
個人的には、小平邦彦先生みたいな”まじめ優等生”の読み方は、私にはできません（＾＾
そもそも、頭のできが違うしね（＾＾；
小平邦彦先生が、”一ヵ月もかかってやっと一章の終りに達した頃には, 初めの方を忘れてしまう”なら
私らは、”一ヵ月もかかっても一章の終りに達せず, 完全に挫折”でしょうね（＾＾
私は、わんこら式ほど極端ではないが、とにかく、ざっと目を通す主義ですね
下記の”「7回読み」勉強法”に近いかも（＾＾
https://studyhacker.net/interview/mayu-yamaguchi-studymethod-01
Study Hacker 辻本圭介 更新日 2018年08月16日
最速で確実に結果がついてくる「7回読み」勉強法??東大首席卒・NY州弁護士 山口真由さんインタビュー【第1回】
https://k8k.tokyo/7-times-reading/
山口真由氏の「7回読み勉強法」は非効率だ テンカイ 2018年7月25日 / 2018年8月7日
(抜粋)
「7回読み勉強法」には、いくつか素晴らしい視点が含まれているものの、誰にでも実践できる勉強法だとは言えません。
この記事では、「7回読み勉強法」の内容と、それを提唱した山口真由氏の経歴を踏まえた上で、勉強法としての「7回読み勉強法」の良し悪しについて徹底的に考えたいと思います。
Contents
5.実際に実践してみた
6.7回読み勉強法の悪いところ
・理解度が検証できない
・流暢性の誤謬
・テスト効果が薄い
・読み・復習の無駄
・心が折れやすい
・文章を疑う視点が一切ない
7.7回読み勉強法のいいところ
・認知負荷を下げる下読み
・分からないところで立ち止まらない
8.7回読み勉強法を改造してみた 根拠文献を付けたと主張するスレ主
じゃあ
＞その証拠にどこにも整列可能定理から超限帰納法を導く証明が書いてないだろ（>>843）
にきちんと反論してごらん。
すなわち、「整列可能定理から超限帰納法を導く証明が書かれている文献」を示してごらん。
もし一例でも示せたらスレ主の勝ち、さもなくばスレ主の負け
それで文句無いよな？ ついでに
>>822
＞つまり、自然数Nが整列集合であることを、整列可能定理で証明します
「自然数Nが整列集合であることを、整列可能定理で証明している文献」の例示も頼むね〜♬ >>847
(引用開始)
問題はすべてのn に対して同時にx1 < x2 < ・ ・ ・ < xn < ・ ・ ・ となる元を取り出せるか, と
いうことにある(これができなければ, 有限時間に生きる我々には議論を終えることができない). 言
い換えるなら, 上記(8.1) を満たすような唯1 つに定まる写像f : N → X (n → xn) が我々にとれる
のであろうか？
(引用終り)
”写像f : N → X (n → xn) ”は、選択関数を連想させるように書いたのかもね
おっと、よく読むと 戸松先生PDFのP3に、こんなのが（＾＾
これ、>>822の「素朴な疑問 スレ主は数学的帰納法を使う時に選択公理でどこから何を選択するつもりなの？」の一つの例になっているかも
しかし、最初にこれを示しても、屁理屈サイコパスは、屁理屈こねただろうね（＾＾
(引用開始)
選択公理の意味するところは, 次のような選択関数が存在することである.
定理 8.2 X を空でない集合とすると, 写像 Φ: P(X) ＼ {Φ} → X で,
Φ(A) ∈ A for any A ∈ P(X) ＼ {Φ}
となるものが存在する
この定理 8.2 から, 上記の「論法」を正当化してみる:
X に関する選択関数を Φ とする. すなわち, Φ: P(X) ＼ {Φ} → X であって Φ(A) ∈ A を満たす写像
とする. xn+1 を xn+1 := Φ({y | xn < y}) で定めれば, x1 < x2 < ・ ・ ・ < xn < ・ ・ ・ を満たす (xn)∞n=1
がとれる. (この操作は既に存在が示されている写像 Φ を使うので, 有限に生きる我々であっても
(y = f(x) = x^3 と同じようにすべての値を実際に確かめなくても) ちゃんと元が定まっていることが
わかる)
(引用終り) >>854
余計なことは言わなくていいから>>853、>>853を実行せよ
次に余計なことを言ったら棄権と見做すことを予め警告しておく >>855
>次に余計なことを言ったら棄権と見做すことを予め警告しておく
はいはい、どうぞ、棄権と見做してくださいよ〜！（＾＾
どんどん余計なことを言いますよ〜！（＾＾；
>>774より
わんこら先生
”数学的帰納法が成立することと自然数が整列集合であると言うことは同値であって、どっちを原理にするかの問題
数学的帰納法は、それ自体が自然数の公理であって証明出来る性質のもんではない”
これ認めるの？
下記、”僕の高校の「数理研究同好会」での輪講で今回の内容を講義したところ、「新しい観点だ」と喜んでもらえました”ってあるよ
認めないなら、高校で教えて貰え（＾＾
”「自然数の整列性」は「数学的帰納法の成立」と同値
これらは自然数の定義としてよく使われますが、このことからどちらを採用しても良いわけです。”
https://ameblo.jp/my-yah391/entry-10012659196.html
2006-05-20 06:23:14 数学的萌擬人化
数学的帰納法を証明する
(抜粋)
以下の文章は、こういう人向けです。
「そもそも数学的帰納法ってほんとに成り立つの？」
って人。
とりあえず、数学的帰納法で正しい結果が導かれることを証明したいと思います。その際前提とする性質があります。「自然数の整列性」です。
自然数の整列性・・・「自然数のみを元とする空でない集合には最小の元が存在する」
「整列性」に疑問を持った方々へ
実は「整列性」は「数学的帰納法の成立」と同値、つまり同じ強さを持った条件なのです。これらは自然数の定義としてよく使われますが、このことからどちらを採用しても良いわけです。
ちなみに、僕の高校の「数理研究同好会」での輪講で今回の内容を講義したところ、「新しい観点だ」と喜んでもらえました（＾＾）
(引用終り) >>856
＞はいはい、どうぞ、棄権と見做してくださいよ〜！（＾＾
はい、スレ主の棄権負けｹﾃｰｲ
>>822
＞それ、まさに、「確率変数」の定義の意味を理解せず、「変数」と淺読みの誤解をした構図そのものですね
とドヤ顔で息巻いといて負けｗ
＞あんたチコちゃんより、劣るね（＾＾；
一番劣ってるのはスレ主でしたｗ
＞（これ、読めてなかったのか、おい？（＾＾ ）
読めてなかったのはスレ主でしたｗ >>828
＞サイコパス ピエロよ 憐れだね
憐れなのは真のサイコパスピエロのスレ主でしたｗ
>>829
＞バカ丸だし
バカ丸出しはスレ主でしたｗ
>>831
＞墓穴を大きくしていることに気づかないバカ哀れ
墓穴を大きくしていることに気付かないバカはスレ主でしたｗ
>>834
＞こいつ本当に数学科でたんかいw(^^)
もちろんスレ主の学力では数学科は出れません。というか進級できません。というか入学も怪しいですｗ >>836
＞あのな>>822の根拠文献は、全部示した それ読めてないねw(^^)
読めてないのはスレ主でしたｗ
>>842
＞バカだね、>>822には全部根拠文献付けた
読めてない文献を付けても無意味でしたｗ
＞無駄な抵抗は、墓穴を大きくだけ
無駄な抵抗で墓穴を掘っていたのはスレ主でしたｗ
>>847
＞サイコパスお得意の論点ずらしが出始めたな（＾＾
＞だが、逃がさないよ
逃げたのはスレ主でしたｗ ＞だが、逃がさないよ ｷﾘｯ
からの〜
＞はいはい、どうぞ、棄権と見做してくださいよ〜！（＾＾
で、自らが逃亡ｗ >>856
>「自然数の整列性」は「数学的帰納法の成立」と同値
自然数の整列性は自然数の定義から導かれることで
わざわざ整列可能定理なんか使う必要ないんだがね
やっぱスレ主全然分かってないね あまいな
逃亡するならどうぞｗ（＾＾
そんな簡単に許さないよ
覚えているかい？
確率変数の族の定義が、重川に書いてあると教えてやった
が、全然読めない
で晒し者にした
同じだよ
晒し者にしてやるｗ（＾＾ >>862
＞逃亡するならどうぞｗ（＾＾
＞そんな簡単に許さないよ
いや、逃亡したのアンタだからｗ
アンタ自分で言ったことの文献例を一つも挙げれず逃亡したんだよｗ
お爺ちゃん頭大丈夫か？ｗ
＞確率変数の族の定義が、重川に書いてあると教えてやった
教えてくれと頼んだ覚えは無いｗ
実際、時枝の確率変数は列番号 k だからまったく的外れｗ
ということで残念ながら晒し者はお爺ちゃん、アンタだよｗ >>864
スレ主は自分が負けたことを認められないチキン (テンプレ>>19より)
いやはや、（文系） High level people たち（ ID:jEMrGWmk さん含め）の、数学ディベートもどきは面白いですね（＾＾；
私ら、理系の出典（URL)とコピペベース、ロジック（論証）＆証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル（２ＣＨスタイル？）とは、明白に違いますね
私ら、（文系） High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ（＾＾；
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから
(引用終わり)
サイコパスピエロちゃん
数学の議論は、”正しい証明にたどり着く一つの過程であって、ディベートのように、勝ち負けを決めるものではない”のだよ
数学帰納法と選択公理の関係についても、同様だ！
もし、北大生で、戸松先生に質問できる人がいれば、聞いてみればいい
サイコパスピエロが間違っていることは、すぐ判明する
文献があげられるかどうかの問題ではないんだよ、数学というのはね
で、文献はすでに挙げたもので十分と思うが
もちろん、追加の文献も、見つけてある
が、すぐには出さない
晒しものにするためにねｗ（＾＾ >>865 追加
（>>856より）
わんこら先生
”数学的帰納法が成立することと自然数が整列集合であると言うことは同値であって、どっちを原理にするかの問題
数学的帰納法は、それ自体が自然数の公理であって証明出来る性質のもんではない”
これ認めるの？
下記、”僕の高校の「数理研究同好会」での輪講で今回の内容を講義したところ、「新しい観点だ」と喜んでもらえました”ってあるよ
認めないなら、高校で教えて貰え（＾＾
(引用終わり)
これで尽きている！
可算無限でも、自然数が整列集合＝数学的帰納法 （公理として同値）
非可算無限でも、非可算整列集合＝超限帰納法 （公理として同値）
”整列集合”の存在を保証するのが、選択公理（＝整列可能定理）だと
（>>854の戸松先生の論証ご参照（＾＾ ）
これが分からんとね（＾＾
大笑いだぜｗ 時枝も同じだよ
（>>40ご参照）
大学の確率論、確率過程論の専門家に聞けばいい
どちらが正しいかすぐ分かるよ >>866 訂正
非可算無限でも、非可算整列集合＝超限帰納法 （公理として同値）
は、言い過ぎかな
非可算無限では、非可算整列集合であることと、超限帰納法成立は同値
くらいにしておきます
自然数では、数学的帰納法を公理として採用する立場はある
しかし、基礎論として、超限帰納法を公理とする話はあまりない
（公理として採用できるか、出来ないかは、良く分からないが、上記程度でいいでしょう） >>868 参考追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
定義
ペアノの公理は以下の様に定義される。
自然数は次の5条件を満たす。
1.自然数 0 が存在する。
2.任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
3.0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4.異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5.0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。
(引用終わり)
なお、下記の「整列可能定理、超限帰納法」の記述にも
自然数Nの定義で、Nが整列集合なることと、数学的帰納法が同値であること
また、数学的帰納法の考えを、一般の整列集合に拡張して、超限帰納法にできることが
"Thm.SetTop.2.22.4.(超限帰納法)"と、その証明に示されていますね
まあ、またサイコパスの屁理屈が聞けるだろうから
どんな屁理屈こねるか、楽しみ（＾＾
https://restmath.com/archives/405
restmath.com
大学数学 集合22 整列可能定理、超限帰納法 20180704 >>869 補足
まあ、下記ブログみたく、
ZFCから、ペアノの公理のモデル構成できると思う
数学基礎論としてはね
（私にはできないけどね（＾＾ ）
なぜならば、もしZFCから、ペアノの公理のモデル構成できないとすると
公理系は、「ZFC＋ペアノ」とかになるはずが
しかし、ZFCで必要十分だよと（＾＾
つまりは、ZFC→ペアノ→数学的帰納法
その論証中で、中心的役割を果たすのが、選択公理（＝整列可能定理）だよと
（参考）
https://togetter.com/li/949306
数学と公理的集合論ZFC togettet 2016年3月13日
「ZFCの中で普通の数学をどのように表現するか」
「数学は形式化されなければならないのか」
という感じの話です。
(抜粋)
発端
立命館大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻数理科学コース新M2マン @Rits_math_M2
新歓でちょっとした数学の記事を書くんだけど、「数学がZFCから作られていることを実感してもらうためにZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」とか思ってたの、難しすぎ感あるな。
2016-03-12 23:00:39
3/23スッスッス第II章 @alg_d
プロが数学の長文を書いているという情報を得た
2016-03-13 00:41:43
本編ここから
ぴあのん @piano2683
@Rits_math_3rd でも私達のやっていることは「数学」ですから、議論に使う前提はすべて明示しなければなりません。
素朴集合論の前提を明確にしていなかったせいでRussellやCantorのパラドックスが生まれたことから、この立場には納得していただけるでしょう。
2016-03-13
ぴあのん @piano2683
@Rits_math_3rd そこで生まれたのがZFCを代表とする公理的集合論なのです。これによって集合論（とそれを用いた数学）の前提が明確になり、（ZFCの無矛盾性を認めれば）安心して集合論を用いることができるようになります。
2016-03-13
(引用終わり) >>865
ディベート？何を勘違いしてるんだい
君の間違いを指摘する一方的指導だよ
ついでにいうと君が勝手に間違って晒し者になってるだけ
いつもながら恥ずかしいサルだねぇ >>868
(引用開始)
非可算無限でも、非可算整列集合＝超限帰納法 （公理として同値）
は、言い過ぎかな
非可算無限では、非可算整列集合であることと、超限帰納法成立は同値
くらいにしておきます
自然数では、数学的帰納法を公理として採用する立場はある
しかし、基礎論として、超限帰納法を公理とする話はあまりない
(引用終わり)
いま思うと
１．ペアノは、自然数Nのみの公理づけ
で、歴史的に、数学的帰納法を公理として、自然数について述べた
２．基礎論ZFCは、自然数のみならず、数学全体についての公理系だ
３．公理系の命題としては、できるだけシンプルであるべき
なぜならば、複雑な命題にすると、用語の定義も複雑になり、綺麗じゃない（＾＾
４．その視点で見ると、数学的帰納法とか超限帰納法を公理とすると、それは公理としてはちょっとシンプルさに欠けるということじゃないですかね？
自然数Nの公理としても、整列集合の性質を公理とする方が、シンプルさという基準では、数学的帰納法を公理にするよりベターでしょうね（＾＾ >>866
まだ自分の間違いに気づけてないようだね
自然数が整列集合であることを示すのに選択公理は必要ない
ついでにいうと（可算だろうが非可算だろうが）
順序数が整列集合であることを示すのに選択公理は必要ない
つまり、数学的帰納法も超限帰納法も、その成立に選択公理は必要ない
一般の集合に対して超限帰納法を適用するのに
一般の集合を整列化する整列可能定理（選択公理と同値）が必要なだけ
その証拠に、選択公理から超限帰納法が証明できるという記述は一切ないだろう
君が整列可能定理を勝手に超限帰納法と同値だと誤解してるだけ >>868
>超限帰納法を公理として採用できるか、出来ないかは、良く分からないが
分からないなら黙ってればいいのになんで間違いを語るかな
あのね、可算無限だろうが非可算無限だろうが、順序数は存在するよ
（これを超限順序数という）
で、そのような順序数に対応して超限帰納法が存在する
超限順序数の存在を示すのに、選択公理は必要ない
順序数はそもそも整列集合なんだから、整列化する必要がない
実数全体の集合みたいに、順序数として構成されたわけではない集合については
整列化のために選択公理が必要だっていうだけ
いい加減 気づけよ ドアホ >>870
＞ZFCから、ペアノの公理のモデル構成できると思う
ZFからもできるけどね
ていうかさ、マジメに検索すればこういう記事も見つかるけどね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E3%81%AE%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
「最小の非可算順序数（英: First uncountable ordinal）ω1の存在は、
選択公理によらずに示すことができる（ハルトークス数を参照）。
ω1は極限順序数で、すべての可算な順序数を含む非可算集合である。
ときに Ω とも表記される。その濃度は最小の非可算基数 ℵ1 に等しい。」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%95%B0
「数学の、特に公理的集合論におけるハルトークス数
（ハルトークスすう、英: Hartogs number）とは、
ある種の基数のことを言う。
1915年にフリードリヒ・ハルトークスによって、
ある整列順序付けられた基数が与えられたとき、
それよりも大きい最小の整列順序付けられた
基数が存在することが示されたが、
これには ZF-公理系のみが用いられ、
したがって選択公理は用いられなかった。」 >>870
＞「数学がZFCから作られていることを実感してもらうために
＞ ZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」
2行目よく見ろ、ZFって書いてあるだろ。ZFCじゃないだろ
ペアノの公理を成立させるのに、選択公理必要ないの
いい加減気づけよ ドアホ >>872
>数学的帰納法とか超限帰納法を公理とすると、
>それは公理としてはちょっとシンプルさに欠ける
何わけわかんないこといってんだ？このアホｗ
集合論における公理の設定なんて自由にできる
例えばかの有名なゲーデルはZFに
「すべての集合は構成可能集合である」
という公理を追加すれば、そこから
選択公理も一般連続体仮説も導ける
ことを示した
いっとくが構成可能集合のなかには
当然超限順序数も含まれている
何度でも繰り返し傷口に塩を刷り込んでやるがｗ
超限順序数の構成自体に選択公理は必要ない ついでにいうとZFで
「実数のあらゆる集合がルベーグ可測である」
という命題が成立するモデルがある
このようなモデルでは選択公理が成立しない さらについでだがZFで
「連続体（実数全体の集合）が整列不能」
という命題が成立するモデルがある
もちろんこのモデルでも選択公理は成立しない
（このモデルでも非可算順序数は存在する！） >>876-877
ピエロちゃん、たまにはまともなこともいうんだ（＾＾
それ、良い指摘だね
読んだけど、まあ、”選択公理によらず”は良いのかも
ちょっと気になるのが、
ハルトークス数で、
「ある整列順序付けられた基数が与えられたとき」
ってところだけど？
”ある整列順序付けられた基数”が、可算無限集合で、例えば自然数の集合Nだと
で、自然数の集合N自身は、ZF 公理系の無限公理から出るのか（下記）。順序がどうかだが
戸松先生PDFでは、数学的帰納法と選択公理が、関連していると書いてあったからな
（>>854 >>847 ご参照）
まあ、ともかく、その>>876は面白いね
これ、>>870の立命館 ”Fからペアノの公理のモデルでも構成するか”ってのが、誘因になったかな
ピエロちゃんに、一本取られたね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
ZF 公理系
・無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ ∈ A Λ ∀ x∈ A(x ∩ {x}∈ A)) 。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
(抜粋)
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合） >>881
>まあ、”選択公理によらず”は良いのかも
良いのかも、じゃなく、良いので、自分の誤りは認めようね
>自然数の集合N自身は、ZF 公理系の無限公理から出るのか
出る 無限公理のステートメント読めよ そのままだろ
>一本取られたね
じゃ、もうここで書くなよ 貴様負けたんだから
負け犬は死ねよ 首掻き切ってな 貴様には生きる価値も資格もない 数学以前に国語もロクにできないスレ主は、時枝記事も
「まあ、”100列中99列は当たるから確率99/100”は良いのかも」
「一本取られたね 」
でしれっと敗北宣言して死ね 二度と数学板に書き込むんじゃねえ ゴキブリ >>881
分かった！
数学的帰納法は、正則性公理やね（＾＾
正則性公理→整礎的集合→整礎関係→数学的帰納法（超限帰納法）
という流れだね（下記） （＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
ZF 公理系
・正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
∀ A(A ≠ Φ → ∃ x ∈ A ∀ t ∈ A(t not∈ x)) 。
正則性公理はジョン・フォン・ノイマンによって導入された（1925年）。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀ A(A ≠ Φ → ∃ x ∈ A∀ t ∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y ∈ x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x ∋x_1 ∋x_2 ∋... は存在しない。
・V=WF
つづく >>884
つづき
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
したがって、例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。 WFは通常の集合演算に関して閉じているため、ZF公理系から得られる全ての真なる命題がZF公理系においても真となることが分かる。
このため、WF内で通常の数学を展開できることが知られている。実際、x={x}のような集合の存在はZF公理系からは独立だが、数学を展開する上でこのような集合が現れることはない。
その一方で、正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではないが、ZF公理系と他のいくつかの命題が独立であることを証明する際にその効果を発揮する。
つづく >>885
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88
整礎的集合
(抜粋)
整礎的集合（せいそてきしゅうごう、well-founded set）とは、空集合に和集合演算やべき集合演算などの集合演算を繰り返し施すことにより得られる集合である。
定義
すべての順序数 α に対して、集合 Vα を次のように再帰的に定義する：
1. V_0=Φ
2. V_α +1= P(V_α )
3. α が極限順序数のとき、 V_α =∪ \{V_β ｜ β <α } 。
ある順序数 α に対して x ∈ Vα であるような集合 x を整礎的集合と呼ぶ。
集合の階数
整礎的集合 x に対して、x ∈ Vα + 1 をみたす最小の順序数 α を x の階数（rank）といい、これを rank(x) で表す。
rank(x) = sup {rank(y)+1 | y ∈ x} が成立する。
正則性公理と整礎的集合
正則性公理を用いると、すべての集合が整礎的であることが示される。したがって、すべての集合に階数が定義される。
つづく つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
帰納法と再帰
整礎関係が興味深い重要な理由は、それによって超限帰納法の一種が考えられることにある。すなわち (X, R) が整礎関係で P(x) が X の元に関する何らかの性質であるときに、 P(x) が X の「すべての」元に対して満たされることを示すには、以下を示せば十分である。
x を X の元とするとき、y R x なる全ての y に対して P(y) が真であるならば P(x) は必ず真である。
このような整礎帰納法 (well-founded induction) は、エミー・ネーターにちなんでネーター帰納法 (Noetherian induction) とも呼ばれることがある[4]。
つづく >>886
つづき
例として、整礎関係 (N, S) を考える。ここで N は自然数全体のなす集合で、S は後者函数 x → x + 1 のグラフとする。S 上の帰納法は通常の数学的帰納法であり、S 上の再帰は原始再帰を与える。順序関係 (N, <) からは完全帰納法 (complete induction) と累積帰納法 (course-of-values recursion) が得られる。 (N, <) が整礎関係であるという言明は整列原理としても知られる。
ほかにも重要な整礎帰納法の特別の場合がある。整礎関係として順序数全体のなす類上の通常の順序を考えれば、超限帰納法 (transfinite induction) と呼ばれる手法が得られるし、整礎集合として再帰的に定義されるデータ構造からなる集合をとれば、構造的帰納法 (structural induction) が考えられる。あるいは普遍類上の帰属関係を整礎関係に選べば∈-帰納法として知られる帰納法が定まる（詳細は各項に譲る）。
その他の性質
モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。
整礎性の遺伝
整礎集合の定義でその集合の推移閉包に言及されているので、ある集合が整礎ならば、その集合の各元も整礎であり、各元のそのまた各元も整礎であり、そのまた各元も……と以下同様に続くことになる。これを、整礎集合は遺伝的整礎 (hereditarily well-founded) であるということがある。
つづく >>886
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
(抜粋)
数学において、整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。
ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "=<" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず =< に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, =<) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
同値な定式化
順序集合 X が全順序集合である場合には、以下の条件はどれも互いに同値である。
1.X は整列集合である。つまり、空でない任意の部分集合が最小元を持つ。
2.X の全体で超限帰納法が有効である。
3.X の元からなる任意の狭義単調減少列は必ず有限な長さで停止する（ただし、従属選択公理を仮定する）。
以上 >>865
＞で、文献はすでに挙げたもので十分と思うが
俺は
＞すなわち、「整列可能定理から超限帰納法を導く証明が書かれている文献」を示してごらん。
と
＞「自然数Nが整列集合であることを、整列可能定理で証明している文献」の例示も頼むね〜♬
と言ったんだがｗ
爺さんの挙げた文献にはそんなこと一言も書いてないんだがｗ
頑固爺さん、負け惜しみも大概にしときなｗ >>865
＞晒しものにするためにねｗ（＾＾
未だ分からんかい？
晒し者はアンタだよ、爺さんｗ >>866
＞”数学的帰納法が成立することと自然数が整列集合であると言うことは同値であって、どっちを原理にするかの問題
↑にはどこにも選択公理も整列可能定理も出て来ないんだがｗ
お爺ちゃん頭大丈夫？ >>866
＞”整列集合”の存在を保証するのが、選択公理（＝整列可能定理）だと
＞（>>854の戸松先生の論証ご参照（＾＾ ）
「存在」を「保証」するんでしょ？
「存在が明確なもの」に対しては別に「保証」なんて要らないんだけどｗ
そりゃ「存在するか否か分からないもの」に対しては「保証」は必要だけどさｗ
お爺ちゃん脳みそが老衰してるよｗ しかしスレ主爺さんは皆に只で授業してもらって果報者だね
感謝して習わないと罰が当たるぞｗ
とは言ってもスレ主爺さんにはちとレベルが高過ぎかな？ｗ
爺さん、もっと初歩から習いなよ >>866
＞これが分からんとね（＾＾
＞大笑いだぜｗ
爺さんの言う通りだよ
爺さん、アンタ笑い者だぜｗ >>867
時枝成立を表明した大学教授
スタンフォード大学教授 時枝正
Kusiel-Vorreuter 大学教授 Sergiu Hart
時枝不成立を表明した大学教授
該当者なし >>894
パトロール隊長ご苦労さまです
＞お前らのレスがスレ主の存在を保証してる
まったくねー（＾＾
サイコパスもたまには、良いこというね（＾＾
ピエロちゃん、ありがとうよ >>896
ピエロちゃん、ありがとうよ
>>876-877は、なかなか良いアシストだったよ
おかげで、フォン・ノイマンの正則性公理と数学的帰納法および超限帰納法との関係がわかったわ（＾＾
（>>884-889 ご参照） >>713
>選択公理と帰納法は全然関係ないよ
>そんなｍｍ数学の常識だがね
ID:gxsT2klNさんにも謝っておかないとね
いや、仰る通りでした ｍ（＿ ＿）ｍ
フォン・ノイマンの正則性公理だね
（>>884-889 ご参照） レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
