拡張してみた

a,b,m,n={0以上の整数}
X,Y={0個以上の0以上の整数}
a:n={n個のa}
a:n+b=a:(n+b)

f()=1
f(0)=f()+f()
f(a+1)=f(a)+f(a)
f(0:n+2)=f(1:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(X,b+1,0:n+1)=f(X,b,1:n+1)
f(X,b+1,0:n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0:n,a):n+1)

f[]()=f(1)
f[](0)=f(f[]():f[]())
f[](a+1)=f(f[](a):f[](a))

f[0:m+1]()=f[1:m](1)
f[0:m+1](0)=f[f[0:m+1]():m](f[0:m+1]():f[0:m+1]())
f[0:m+1](a+1)=f[f[0:m+1](a):m](f[0:m+1](a):f[0:m+1](a))

f[Y,d+1,0:m]()=f[Y,d,1:m](1)
f[Y,d+1,0:m](0)=f[Y,d,f[Y,d+1,0:m]():m](f[Y,d+1,0:m]():f[Y,d+1,0:m]())
f[Y,d+1,0:m](a+1)=f[d,f[Y,d+1,0:m](a)](f[Y,d+1,0:m](a):f[Y,d+1,0:m](a))

f[Y](0:n+2)=f[Y](1:n+1)
f[Y](0:n+1,a+1)=f[Y](f[Y](0:n+1,a):n+1)
f[Y](X,b+1,0:n+1)=f[Y](X,b,1:n+1)
f[Y](X,b+1,0:n,a+1)=f[Y](X,b,f[Y](X,b+1,0:n,a):n+1)

F(a)=f[a:a](a:a)