現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む60

2019/02/03(日) 17:27:33.23

この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾；）
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 19:14:39.47

>>84
数学板のLR1000000000回見直してその上でお前が去れゴミ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 19:16:18.86

スレ主に忖度公理を満たすよう強要されたわw

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 19:36:39.99

都合の悪い事実から目を背けていたら次の三年間も同じことの繰り返しですよ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 19:41:51.40

>>92
同じことを繰り返してんのは(繰り返させてんのは)お前の方だろゴミ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 19:47:58.25

ん？都合の悪い事実から目を背けるよう強要したつもりは無いが？

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 20:04:27.14

>>94
都合の悪い事実(数学板は数学をするところではない∵LR)から目を背けてるのはお前だゴミ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 20:25:16.90

ん、東大で佐々田槇子と同学年だったが何か？

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 20:29:51.50

なるほど
数学板が数学をするところではないから時枝不成立などと非数学的なことを言ってたのだな？

2019/02/04(月) 20:39:28.73

>>96
>佐々田槇子

佐々田先生は、えらく秀才みたいだね～（＾＾；
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/teacher/sasada.html
佐々田　槙子 (Sasada Makiko)
　>個人ホームページ
講　　　座数理解析学大講座　准教授
研究分野確率解析，数理物理学
研究テーマ
流体力学極限，格子気体モデル，振動子鎖，スペクトルギャップ
研究概要
統計物理学に由来する確率論の問題について研究を行っている．特に，確率過程で与えられるミクロな系から，ある種のスケール変換と極限操作を用いてその系のマクロなふるまいを厳密に導出する手法の研究に取り組んでいる．

https://www.nikkei.com/article/DGXMZO29812370V20C18A4X90000/
東大の佐々田槙子准教授、数学は楽しいと発信（藤井寛子）
2018/4/25 10:15日本経済新聞　電子版

お湯に水を混ぜるとぬるくなる。中にいる大量の水分子はバラバラに動いているのに、なぜか全体では秩序だった動きになる。東京大学准教授の佐々田槙子（33）は、ミクロの世界とマクロの世界のつながりを、数学的に証明して功績をあげてきた。研究のかたわら、数学に対する誤解や偏見を解きたいと、女子をターゲットにさまざまな活動をしている。

湯に水、コーヒーにミルク、何度混ぜても必ず同じ結果になる。水分子ひとつひとつがばらばらに動くミクロな世界と、目に見えるマクロな世界がどうつながっているのか。サイコロと考え方は同じだという。
サイコロは次に何が出るかはわからない。何万回、何億回と振ればそれぞれの目が6分の1の確率で出る、と確実に予想できる。水も同じで、大量にあれば相殺されて平均的なマクロな世界が生まれる。

佐々田は無秩序なミクロな世界に確率モデルを使い、秩序あるマクロな世界を方程式で示してきた。匂いのあるものを閉じ込めた箱を開ければ、分子同士は好き勝手動いているのにもかかわらず、一様に匂いが拡散する。ミクロな世界を仮定すれば、複雑な動きが平均され、再現性の高い法則に乗る。「なぜマクロな世界では同じなのか不思議だった」と佐々田は話す。

つづく

2019/02/04(月) 20:40:19.88

>>98

つづき

小さい頃からパズルや迷路が好きで、高校では数学と物理が得意だった。東大に進学後、選考を選ぶ際に工学部とも迷ったが、「すっきりしている」ところに引かれて数学科に進んだ。物理では、実験をすれば誤差が生まれる。数学は紙とペンがあればでき、どのようなステップを踏んでも最終的には同じ結論に行き着く。

博士課程在籍時には、パリのドフィーヌ大学と東大を行き来した。東大の研究会に来ていたステファノ・オラ教授に誘われたのがきっかけだ。海外での人脈が広がった。数学は1人で考え込むもの、と思われがちだが、1人の頭では限界がある。人と意見交換することで新しいアイデアが生まれるため、人と会うことを大事にしているという。

大学時代、数学科に進んだ女性は佐々田1人だった。上の学年も下の学年も男性しかいなかった。1人で昼ご飯を食べ、さみしい思いをした。

高校時代、数学が好きな人は少なからずいた。「数学なんてやってどうすんの」「女が数学なんて」。親や先生に言われ、数学の道を諦めた人もいるのではないだろうか。数学に関わる女性に対して、情報がなさ過ぎるから、世間ではネガティブなイメージが先行するのではと考えた。
「数学の楽しい機会を失ってもったいない。偏見を変えたい」。当時在籍していた慶応大学の坂内健一教授協力のもと、2013年からホームページで情報発信を始めた。

「数学の女性研究者でも、普通の女性はたくさんいる」と強調する。16年にはサイトを一新。女性を意識してデザインした。「数理女子」では女性研究者の生活や数学と日常生活の関わり、就職などさまざまなことについて発信している。

また、年に数回小中学生と親を対象にワークショップも開催する。サイコロや絵を使って、法則性などを見つける。問題を解くことが数学ではないという。何もないところから自由に発想して、自分で決めたルールに従って論理的なステップを踏んで結論を導き出す。「数学の面白さを世に伝えていき、この世界に進む女性が増えればうれしい」。=敬称略

(引用終り)

2019/02/04(月) 20:43:11.65

>>97
あなたが、数学科なのかどうか、あるいは確率過程論に詳しいかどうか分らないが
もしそうなら
時枝記事は、成立不成立にかかわらず、確率過程論と対比してこそ、その面白さが分るというところまでは、同意できるでしょ？

2019/02/04(月) 20:45:01.40

>>100 リンク訂正

>>97
↓
>>96

キチガイにリンクつけてしもた（＾＾；

2019/02/04(月) 20:47:04.98

>>100
>時枝記事は、成立不成立にかかわらず、確率過程論と対比してこそ、その面白さが分るというところまでは、同意できるでしょ？

まあ、数学科生で、確率過程論を履修すれば、ここまでは同意できるだろう
同意できないとしたら、確率過程論”すっからかん”ということですよね（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 21:03:05.24

>>100
＞時枝記事は、成立不成立にかかわらず、確率過程論と対比してこそ、その面白さが分るというところまでは、同意できるでしょ？
何を大げさに言ってんだこのバカはｗ
お前のは当てずっぽうとの対比じゃねーかｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 21:29:57.98

>>100
お前のは数字が10個だったら1/10とかそれだけじゃんｗ
確率過程論でもなんでもないｗ

2019/02/04(月) 21:41:39.36

>>89
わろた～！ザブトン１枚！（＾＾
>>91
わろた～！ザブトン１枚！（＾＾;

2019/02/04(月) 21:45:39.65

>>87
おいおい、おれの東大生イメージを壊さないでくれよ～（＾＾
落ちこぼれは、2017年5月からこのに粘着しているぜ

東大生なら、こんなところでくすぶらずに、リアル界で彼女つくってデートしているよ
あいつは、乃木坂のYouTubeを一人寂しく見ているだけ

東大ならFランとか絶叫せんでしょ（＾＾
そんな東大生みたことないぜ（＾＾；

2019/02/04(月) 21:56:45.98

>>90
これは、キチガイを取締る役代表の方ですかね？
キチガイ取締りパトロール、ご苦労さまです（＾＾；
煮ても焼いても食えないね、サイコやろうは

2019/02/04(月) 21:59:08.56

>>95
>都合の悪い事実(数学板は数学をするところではない∵LR)から目を背けてるのはお前だゴミ

全くだよ、同意です
テンプレ>>7
「大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
　このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；」ってことですよ

かつ、彼は数学は隠れ蓑です。彼は、自分が数学が出来ると錯覚しているものの、
実際には”数学落ちこぼれ”で、それをを直視せざるを得ない厳しい現実を突きつけられている
そのストレス発散に、優越感を感じる場所を探しているというのが、本当のところだろうね（＾＾

で、哀れなことに
時枝記事の”ふしぎな戦略”不成立が理解できないんだよね（＾＾
時枝記事の”ふしぎな戦略”成立を信じているので、自分が優位と錯覚しているんだ！彼はまさにピエロだよね（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 22:13:21.73

>>107
キチガイでもなんでもいいから>>67に答えてごらん
できないならそう言いな

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 22:15:05.88

キチガイで済んだら数学要らないｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 22:31:23.13

いらないから帰ってどうぞ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 22:49:00.62

答えられないなら素直にそう言えばいいのに何でそんなに頑ななの？

2019/02/04(月) 23:44:50.98

流すよ（＾＾

2019/02/04(月) 23:45:17.02

これ（下記）、考えてみると、深いね～（＾＾；
円分体から、ずっと先へ、高木、谷山志村、ラングランズとかへ繋がっていくね
大学１、２年は、この問題をしっかり解いておくと、役に立つと思うよ
で、ちょっと書いておくよ（＾＾

＜再録＞
前スレ 58より https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547388554/795
795 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/01/25(金) 20:04:22.96 ID:9ZTI/ojo [3/3]
おっちゃん（とスレ主）への練習問題
Qを有理数体とする。
Q(a)はQにaを添加して得られる体を表す。
nは3以上の奇数とする。
問1
cos(π/n)∈Q(sin(π/n))　を示せ。
（高校数学の範囲で解ける。多少工夫は必要。）
問2
sin(π/n)はQ(cos(π/n))には含まれないことを示せ。
cos(π/n)=√(1-{sin(π/n)}^2), sin(π/n)=√(1-{cos(π/n)}^2)
という関係があるので、最初のルートは外れるが、2番目のルートは外れないことになる。
（但し、ルートを外すという方向で考えても解けない。）
(引用終り)

カンニングしました(下記)（＾＾；
おっちゃん、やる気ないみたいだから、ちょっと書いておきます
問題紹介ありがとう

＜解答もありますが、その引用は、省いています（＾＾；＞
http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
数学雑記
2017-08-05
体論の期末試験(再現)
(抜粋)
問1
(1) Q(2cos2π/7)/QがGalois拡大であることを示し、そのGalois群を求めよ
(2) 2cos2π/7のQ上最小多項式を求めよ
問2 pを奇素数とする。
(1)Q(cos2π/p)/QがGalois拡大であることを示し、その拡大次数を求めよ。
(2)sin2π/p=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用し、[Q(sin2π/p):Q]を求めよ。
(引用終り)

つづく

2019/02/04(月) 23:45:40.73

>>114

つづき

スレ59 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/809
809 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/02/03(日) 05:09:06.36 ID:wDePzez3
>>381に書いたけどもう一度書くと
Qを有理数体、Rを実数体とする。
オイラーの公式: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).
xをsin(x)≠0である任意の実数とする。
（すなわちxはπの整数倍でない任意の実数。）
K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。
2次拡大であることはいいでしょう？
(i*sin(x))^2=cos(x)^2-1∈K でまた
Kは実の体で、虚数 i*sin(x)は含まれてないからL/Kは真の拡大だ。
2次ということは、2が素数であることから中間体が存在しないということ。
従って、sin(x)がLに含まれるなら、そもそもKに含まれていなければならない。
sin(x)がLに含まれないとき、Q(sin(x))/KはL/Kとは別の2次拡大だ。
次の命題が成立することが分かる。

命題　sin(x)∈K ⇔ i∈L.

この命題を>>42の問2に適用すると、結局、証明はiがQ(ζ)
（ζは1の原始n乗根）に含まれないことの証明に帰することが分かる。
（ e^(iπ/n)は1の原始2n乗根だが、それは-ζとして
実現できるから、体としてはn乗根の体と同じ。）

これはほとんど自明のようだが、キッチリ証明するためには
大学の数学が必要。
(引用終り)

つづく

2019/02/04(月) 23:46:13.86

つづき

これね、いいわ（＾＾
ガロアスレらしいよね、このテーマは！（＾＾；

e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)
1/e^(ix)=cos(x)-i*sin(x)
だから、
奇素数pで、1のベキ根
ζp=e^(2πi/p)=cos(2π/p)+i*sin(2π)
ζp+1/ζp=2cos(2π/p)
ζp-1/ζp=2i*sin(2π/p)

Qの拡大体で、円分体 Q(ζp)として
cos(2π/p)∈ Q(ζp)
i*sin(2π/p)∈ Q(ζp)

さらに
cos(π/p)∈ Q(ζ2p)
i*sin(π/p)∈ Q(ζ2p)

円分体で、これが基本なんだよね
続きは、また後で（＾＾

つづく

2019/02/04(月) 23:46:36.82

つづき

（ご参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(抜粋)
アーベル拡大体の埋め込み
詳細は「クロネッカー・ウェーバーの定理」を参照
クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)
K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数 m ＞＝ 3 が存在して、
K ⊂ {Q} (ζ_{m}) 。
例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。
クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

つづく

2019/02/04(月) 23:47:48.11

>>117
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%AC%AC12%E5%95%8F%E9%A1%8C
(抜粋)
クロネッカーの青春の夢 (Kronecker's Jugendtraum) またはヒルベルトの第12問題（ヒルベルトのだい12もんだい、英: Hilbert's twelfth problem; ヒルベルトの23の問題より）は、「代数体のアーベル拡大は、もとの体に適当な解析函数の特殊値を添加してできる拡大体に含まれなければならない」という代数体のアーベル拡大を具体的に構成する方法を問う問題である。

有理数体にたいしては、そのアーベル拡大は円分体にふくまれるというクロネッカー・ウェーバーの定理が知られており、円分体は1のべき根により生成されるという具体的な構成法があたえられる。

虚数乗法の古典的な理論は「クロネッカーの青春の夢」として知られており、上の問題において代数体として虚二次体を選んだ場合の解答である。クロネッカーは、気に入った青春の夢 liebster Jugendtraum として、虚数乗法の考えを次のように書き表した。

問題の内容と経緯
類体論はダフィット・ヒルベルト自身と、エミル・アルティンと20世紀前半の他の人々により開拓された。
特に、高木貞治は、絶対アーベル拡大体が存在することを証明した。高木の存在定理を参照。

つづく

2019/02/04(月) 23:48:25.22

>>118

つづき

その後の進展
エーリッヒ・ヘッケ（英語版） (Erich Hecke) は、論文 Hecke (1912)中で、実二次体のアーベル拡大を研究するためにヒルベルト・モジュラー形式（英語版）を使用した。

1960年頃より、志村五郎と谷山豊により一般のCM体に対する結果が得られた。CM体のアーベル拡大を記述するために、アーベル多様体の虚数乗法を用いるというのが彼らの結果である。一般には、このことはCM体のアーベル拡大を導く。
アーベル多様体のテイト加群（英語版）によりえられるガロア表現について調べるということが、アーベル拡大を調べることになる。テイト加群は l 進コホモロジーのひとつの例で、これらの表現が深く研究されている。

ロバート・ラングランズは、1973年に Jugendtraum の現代バージョンである志村多様体のハッセ・ヴェイユのゼータ函数を扱うべきであると論じた。30年以上にも渡り、彼は、より広い問題を扱うラングランズ・プログラムという壮大なプログラムを想定したが、ヒルベルトの発した問題を取り込むことについては、未だに重大な問題として残っている。

これとは対照的に、別の発展では、直接、数体の特別に興味深い単元の見つけることを扱うスターク予想 (ハロルド・スターク（英語版）による) がある。この予想は、L-函数の議論の発展にも大きな影響をもつ予想であり、また、具体的な数値結果をもたらす可能性も持っている。

(引用終り)

つづく

2019/02/04(月) 23:48:46.12

>>119

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%9C%A8%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
類体論の高木の存在定理(Takagi existence theorem)とは、代数体 K に対してその有限次アーベル拡大と K の一般化されたイデアル類群の間に 1 対 1 の対応が存在するという定理である。
この定理を存在定理と呼ぶ理由は、証明の最も困難な部分が K のアーベル拡大体の存在を示す部分にあるからである。

歴史
存在定理は高木貞治(Teiji Takagi)により、第一次世界大戦の幾年かの間に日本で証明した。1920年の国際数学者会議で提案し、1920年代の類体論の古典的理論の発展に主導的な役割を果たした。ヒルベルトの要請で、論文は1925年にMathematische Annalenで出版された。
(引用終り)
以上

2019/02/04(月) 23:59:07.19

>>99
＞ 16年にはサイトを一新。女性を意識してデザインした。「数理女子」では女性研究者の生活や数学と日常生活の関わり、就職などさまざまなことについて発信している。

「数理女子」は、記憶ある
過去スレで取り上げたよ
なんどか（＾＾；
http://www.suri-joshi.jp/
(抜粋)
数理女子のページへようこそ！
数学が大好きなあなたも、
これから数学を好きになるかもしれないあなたも、
おしゃれに幸せに数学を楽しみましょう。
数学の魅力をたくさんの女子へ
We hope you enjoy MATH.

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 00:00:15.00

>>113
流すのは答えられないからであり、答えられないということは成立を否定しようが無いということである。
素直に認めればいいのに。

2019/02/05(火) 00:03:14.88

>>116 タイポ訂正（＾＾

ζp=e^(2πi/p)=cos(2π/p)+i*sin(2π)
　↓
ζp=e^(2πi/p)=cos(2π/p)+i*sin(2π/p)

2019/02/05(火) 00:05:16.22

流すのは、せめて重川や逆瀬川くらいは最低読んだ人で無いと、時枝は無理だと
というか、落ちこぼれは、からっきし、確率過程論が分っていないねと
話しにならんぜ（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 00:17:53.14

確率過程論を分かってるなら、初等確率論である>>67くらい分かるよね？
>>67程度の初等確率論が分からないんじゃ確率過程論もただのハッタリかな？　っぷ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 00:27:18.17

>>124
そんなに自信があるなら確率過程論を使って不成立を証明すればいいのにｗ

＞確率過程論が分っていないねと話しにならんぜ（＾＾；
で逃げるのは結局
「俺には証明はできないけど、俺の話をどうか汲み取って下さい」
と懇願してるのと同じことじゃんｗ　つまり分かってないんだよｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 03:27:36.63

おっちゃんです。
>>87
>スレ主やおっちゃんが一流大卒と聞いたらすごく驚くけど
私はMARCHより上で早慶や旧帝より少し下の大学出身といえるのかね。
ただ、出身校はいわない。

>>88
>東大入試の難問で現実逃避しても無意味
別に現実逃避はしていない。東大とあったから昔を振り返っただけ。

>あんたは中学の証明問題でもぶっちゃけ怪しいだろw
自慢出来る話でも何でもないけど、公立の進学校出身。あとは空気を読めば分かるよな。
私立難関高の入試の証明問題は、解けるかどうか分からない。
あの種の問題は難しいところがある。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 03:33:24.63

まあ、東大の人には芸能界のアイドルに興味を持っているオタクっぽい人がいるということは分かった。
私にはアイドルのことは殆ど分からないんだが。

2019/02/05(火) 06:44:10.86

>>128
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>まあ、東大の人には芸能界のアイドルに興味を持っているオタクっぽい人がいるということは分かった。

それ、一般論として
”東大の人の中には芸能界のアイドルに興味を持っているオタクっぽい人がいるだろうとは、いえる。”なら正しい

しかし、それがサイコの落ちこぼれのことなら
”東大を”自称する落ちこぼれ”が、芸能界のアイドルに興味を持っているオタクっぽい、数学科出身の”不遇な人”だということが、分かった。”が、正しいな（＾＾；

2019/02/05(火) 07:05:37.45

下記引用の時枝で
1　,2　,3　,・・・,n　,・・・→∞
　↓（単位分数に変換します）
1/1,1/2,1/3,・・・,1/n,・・・→1/∞

これで、Bn=(0,ε) | ε=1/(n-1) のε近傍系の概念が使える
ここで、もし、nが具体的な”固定”された自然数に止まるならば、ε近傍系として機能しないことはあきらか
”∀nを考えるべし”だ

つまりは、アキレスと亀と同じで、ある具体的なn1があったとしても、
それに止まらずn1 ＜ n2なるn2を考えなければ、ε近傍系は機能しない

これが、時枝記事の決定番号の正体ですよ～（＾＾

ある具体的なn1よりも、n1 ＜ n2なるn2の方が、常に出現頻度が高いのだよと
そういう状況で、決定番号の大小比較で確率計算ができるのか？確率空間をちゃんと書いて見ろよ、おい！ｗ（＾＾

スレ59 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/837-838
(抜粋)
時枝を考えるのに
1　,2　,3　,・・・,n　,・・・→∞
　↓（単位分数に変換します）
1/1,1/2,1/3,・・・,1/n,・・・→1/∞
が結構気に入っているんだが（＾＾

下記のε近傍系にならって、開区間の族 Bn=(0,ε) | ε=1/(n-1) を考える
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/19 時枝記事より
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D%E7%B3%BB
近傍系
例
距離空間の任意の点 x に対して、x を中心とする半径 1/n の開球体の列
{B}(x)={B_{1/n}(x);n∈ {N} ^{*}
は可算な基本近傍系をなす。ゆえに、任意の距離空間は第一可算である。
(引用終り)

一致するしっぽは、Bn=(0,ε) | ε=1/(n-1) の中に入る。
開区間の族であり、同値類はε→∞ の極限を考える必要がある
ところで、{1/1,1/2,1/3,・・・,1/n,・・・→1/∞} ⊂ (0,1] と、数列は半開区間(0,1]の中に表現できる。

同値類でε→∞ の極限を考えるということは、
Bnはどんどん縮小し、
半開区間(0,1] の箱で、ほとんど当たらないということを意味する
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 07:06:41.74

>>115
結局、その命題から次のことが分かる。
Zを整数環とする。(1/2)Zに含まれない任意の
有理数に対してその既約分数表示をm/nとすると

nが奇数のとき
Q(sin(mπ/n))/Q(cos(mπ/n)) は2次拡大。

nが2で割れるが4で割れないとき
Q(cos(mπ/n))/Q(sin(mπ/n)) が2次拡大。

nが4で割れるとき
Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)).

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 07:08:37.91

αが無理数のとき
Q(sin(απ))とQ(cos(απ))の間に面白い関係が見つかるか？
一つの面白いクラスとしては
ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解について
cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c
で定まるαがある。
逆に
{cos(απ),sin(απ)}⊂Q のとき
ピタゴラス方程式の解が得られる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 07:16:45.73

円分体の理論は相対アーベル拡大の理論として一般化され類体論となったのだが
それで円分体固有の性質がすべて説明されたわけではなかった。
岩澤健吉は20世紀の中盤になって円分体の研究を進め
岩澤理論という驚異的な構造を見い出した。
最近では一元体の理論と関係するなど、円分体にはまだ残されているものがあるかもしれない。

2019/02/05(火) 07:44:21.15

>>131-133
ありがとう

これ、被っているかも知れないが
>>116
つづき

数学雑記さん（>>114）は、sin2π/p=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用し
ζ4pを使っている
ζ4p=e^(2πi/4p)=cos(2π/4p)+i*sin(2π/4p)
ζ4p=e^(πi/2p)=cos(π/2p)+i*sin(π/2p)

なので、
cos(π/2p)∈ Q(ζ4p)
i*sin(π/2p)∈ Q(ζ4p)
(直ちに、-{sin(π/2p)}^2∈ Q(ζ4p) ｜蛇足だが実数化した)

で、倍角公式で
cos2θ＝cos^2θ-sin^2θ、sin2θ＝2sinθcosθ
を使うと

cos(π/p)∈ Q(ζ4p)
sin(π/p)∈ Q(ζ4p)
が分る
（cos(π/p)∈ Q(ζ4p)の方は、cos(π/p)∈ Q(ζ2p)から自明ですけどね）

で、Q(sin(π/p))⊂ Q(ζ4p) が示せた
これをベースに、>>114の
問1 cos(π/p)∈Q(sin(π/p))　
問2 sin(π/p)はQ(cos(π/p))には含まれない
については、 Q(ζ4p)、Q(ζ2p)、Q(sin(π/p))とQ(cos(π/p))の関係を見て行けば良い
つまり、円分体の理論が即つかえる
それを、具体的に実行しているのが、
数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
なのですね（＾＾

細かくは、また後で

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
三角関数の公式の一覧

つづく

2019/02/05(火) 07:46:04.00

>>134
つづき

（関係ないけどご参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E4%B9%97%E6%B3%95
(抜粋)
虚数乗法とは、通常よりも大きな対称性をもつ楕円曲線の理論のことをいう。別のいいかたをすれば、周期格子（英語版）がガウス整数の格子であったり、アイゼンシュタイン整数の格子であったりするような、余剰な対称性を持つ楕円函数の理論である。楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体についても同様に大きな対称性をもつ場合があり、これらを扱うのが虚数乗法論である。

特殊関数の理論として、そのような楕円函数や多変数複素解析函数のアーベル函数は、大きな対称性をもつことからその関数が多くの等式をみたすことがいえる。特別な点では具体的に計算可能な特殊値を持つ。また虚数乗法は代数的整数論の中心的なテーマであり、円分体の理論をより広く拡張する事を可能にする。

虚数乗法は、虚二次体の類体における相互法則、主イデアル定理、分岐の様子を、楕円函数や楕円曲線のことばで具体的に書き表すことを可能とする。ダフィット・ヒルベルト(David Hilbert)は、楕円曲線の虚数乗法論は数学のみならず、すべての科学の中の最も美しい分野であると言っている。 [1]

クロネッカーとアーベル拡大
レオポルト・クロネッカーは、楕円曲線の位数有限の点での楕円函数の値が虚二次体のすべてのアーベル拡大を生成するに十分であるというアイデアを提唱した。これは特別な場合にはアイゼンシュタインやガウス(Carl Friedrich Gauss)によりすでに研究されていた。
これがクロネッカーの青春の夢（ヒルベルトの第12問題）であり、上記のヒルベルトの指摘したことである。志村の相互法則を通して、有理数体のアーベル拡大が 1のべき根の方法で構成できることを示し、類体論をより明白なものとしている。

実際、K を類体 H をもつ虚二次体として、E を H 上に定義された K の整数によって虚数乗法を持つ楕円曲線とする。このとき K の最大アーベル拡大は、H 上の E のあるヴァイエルシュトラスのモデルの有限位数の点の x-座標により生成される。[3]

クロネッカーのアイデアには多くの一般化が考えられる。しかしながら、ラングランズ哲学の主要な方向性とはすこし異なるもので、今のところ決定的なステートメントは知られていない。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 08:14:20.19

>>132
この種の問題の一部は、もう既に解決している。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 08:16:59.76

>>130
＞ある具体的なn1よりも、n1 ＜ n2なるn2の方が、常に出現頻度が高いのだよと
だからなに？
決定番号が自然数なら時枝解法は成立する。
不成立を主張するなら自然数でないことを言わないといけない。
それがまったく言えていない。よってゼロ点。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 08:33:04.79

「確率過程論が分かってない」と喚くから、てっきり確率過程論を使った証明が出て来るかと思ってたんだが、
>>130のどこが確率過程論なの？ｗ　ただの落書きじゃんｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 08:43:40.25

>>138
お前のそれは便所の落書き以下だけどな

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 08:46:03.94

便所の落書きでも何でもいいからどこで確率過程論を使っているのか教えてｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 08:49:16.43

まあ確率過程論云々の前にスレ主が示さなければいけないのは決定番号は自然数でないことなんだがｗ
なぜなら決定番号が自然数でありさえすれば下記は成立するから。
＞さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
＞例えばkが選ばれたとせよ.
＞s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
よって>>130はゼロ点である。落第けってーいｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 09:00:01.12

>>130
＞そういう状況で、決定番号の大小比較で確率計算ができるのか？
大小比較ができない決定番号ってどんな番号？具体例を挙げてみて

2019/02/05(火) 11:00:07.26

うんこレス流すよ（＾＾

2019/02/05(火) 11:02:17.08

>>133
>岩澤健吉は20世紀の中盤になって円分体の研究を進め
>岩澤理論という驚異的な構造を見い出した。

行きつけの書店で、ふと見かけたのが、
下記の「重点解説岩澤理論」で、雑誌となっているが、ムックみたいな本なんだ
それで、その書店は、数学の専門書皆無の一般向けなので、「あれ？」と思ったのだが、手に取って、斜め読みしてきた（＾＾

記憶に残っているのは、L関数の当りくらいだが・・（＾＾；
”ああ、これが、かの有名な岩澤理論か”と、眺めました～（＾＾
私にはむずいが、分かりやすく書かれている印象でしたね

https://www.amazon.co.jp/dp/B07MKGMWVK/ref=sr_1_1?ie=UTF8&;qid=1549331499&sr=8-1&keywords=%E5%B2%A9%E6%BE%A4%E7%90%86%E8%AB%96
重点解説岩澤理論 2019年 01 月号 [雑誌]: 数理科学別冊雑誌 ? 2019/1/26 出版社: サイエンス社

2019/02/05(火) 11:03:38.17

>>144 追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%BE%A4%E7%90%86%E8%AB%96
(抜粋)
数論における岩澤理論（いわさわりろん、Iwasawa theory）は、岩澤健吉が円分体の理論の一部として創始した、（無限次元拡大の）ガロア群の、イデアル類群における表現論である。

目次
1 Zp-拡大
2 円分拡大の数論
3 岩澤主予想
4 逸話

Zp-拡大
岩澤が端緒としたのは、代数的数論において Zp 拡大と呼ばれる、そのガロア群が p-進整数環の加法群 Zp と同型となるような体の塔（拡大列）の存在性である。
このガロア群は理論中しばしば Γ と書かれ、（アーベル群ではあるが）乗法的に記される。このような群は、（そのガロア群が本質的に射有限群であるような）無限次元代数拡大のガロア群の部分群として得られる。
この群 Γ それ自身は、ある素数 p を固定したときの、加法群 Z/pnZ (n = 1, 2, ...) たちが自然な射影によって成す逆系の逆極限（Z の射有限完備化）である。これはまた、ポントリャーギン双対を考えれば、任意の p の冪に対する 1 の冪根全体が成す円周群の離散部分群の双対として得られるコンパクト群が Γ であるとも述べられる。

円分拡大の数論
最初の重要な例は、1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。Kn を 1 の原始 pn+1乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 Kn (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。
(引用終わり)

2019/02/05(火) 11:04:27.50

>>145
追加の追加PDF下記

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/kokyuroku.html
京大数理解析研講究録
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/1998.html
RIMS Kokyuroku published in 1998
No. 1023-1073
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1026.html
No.1026 代数的整数論とその周辺
Algebraic Number Theory and Related Topics
研究集会報告集　
1997/10/27～1997/10/31
伊原康隆
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1026-4.pdf
4. 岩澤理論入門(代数的整数論とその周辺) 東京大学中島匠一 1998

2019/02/05(火) 11:50:17.17

>>134 追加

スレ59 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/760-761
を、ご参照

数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
が、解答の中でやっているのが

ヒント、”sin2π/p ＝（cos{2π/p-π/2}) ＝cos{2π(4-p)}/4p” に注意してなんだけど
ζ4p^(4-p)+ζ4p^-(4-p)で、”sin2π/p=cos{2π(4-p)}/4p”を使っているのですね
分かりやすく書くと
ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/p
ってことなのですが

で、左辺の{ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p)}を使って、
Q(sin2π/p)を考えようというのが
数学雑記さんの解答で書かれていることですね

gcd(4p,k)=1とか、gcd(4p,4-p)=1とかは、
{ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p)}を使って拡大体を構成するときの、注意点だったと思った

拡大体を、ベクトル空間とみて、基底を定める。そのときに、原始元がすぐ見つかるといい
{ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p)}が、原始元であれば、うれしいと（＾＾
（下記をご参照）

細かいところが、再現できないのが、残念ですが（＾＾
（もうちょっと、カンニングすれば、思い出せそうですが・・）
院試でも受けようという人は、ここは再現できないといけませんよね（＾＾；

http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/
物理のかぎしっぽ
拡大体
(抜粋)
体 F の拡大体 E は， F 上のベクトル空間になっています．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E6%8B%A1%E5%A4%A7
有限拡大
(抜粋)
数学、より正確にはガロワ理論に際して代数学において、有限拡大 (仏: extension finie) は次数有限の体の拡大である、すなわち、体 K の拡大可換体であって、K-ベクトル空間として次元が有限のものである。そのような拡大はつねに代数的である。

動機付け
線型代数学と同様、ガロワ理論は有限次元の方が無限次元よりもはるかに簡単である。原始元の定理は例えばすべての代数体、すなわち有理数体 Q のすべての有限拡大は単拡大であることを保証する。

つづく

2019/02/05(火) 11:51:11.04

>>147
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E5%85%83%E5%AE%9A%E7%90%86
原始元定理
(抜粋)
体論において、原始元定理 (primitive element theorem) あるいは原始元に関するアルティンの定理 (Artin's theorem on primitive elements) は原始元 (primitive element) をもつ有限次体拡大すなわち単拡大を特徴づける結果である。定理は有限次拡大が単拡大であることと中間体が有限個しかないことが同値であるというものである。とくに、有限次分離拡大は単拡大である。

存在の主張
定理の解釈は 1930 年頃エミール・アルティンの理論の定式化で変わった。ガロワの時代から、原始元の役割は分解体をただ1つの元で生成されるものとして表現することだった。そのような元のこの（任意の）選択は Artin の扱いにおいて避けられる[1]。同時に、そのような元の構成の考慮は退く：定理は存在定理になる。

すると以下のアルティンの定理は古典的な原始元定理に取って代わる。
(引用終わり)
以上

2019/02/05(火) 13:31:29.71

>>148 補足
>定理の解釈は 1930 年頃エミール・アルティンの理論の定式化で変わった。

倉田本の最後の方だったかに、
この話（”定理の解釈は 1930 年頃エミール・アルティンの理論の定式化で変わった”）に触れているところがあったな

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
関連文献
・倉田令二朗『ガロアを読む　第Ⅰ論文研究』日本評論社、2011年7月（原著1987年7月）。ISBN 978-4-535-78158-0。 - 2011年に復刊した。

http://math.artet.net/?eid=1422098
TETRA'S MATH 数学と数学教育
ガロア理論のどこまで納得していて、何に煮詰まっていて、これからどうしたいのか（2）
[2017年6月27日／記事の一部を削除・修正しました]
2013.11.13 Wednesday
(抜粋)
いま手元に倉田令二朗さんの『ガロアを読む---第1論文研究』があります。1ページめからすでにびっくりなのですが（「多項式」というセクションタイトルで、ニュートン-ライプニッツ以来の果てしない困難を回避するところから話が始まるその雰囲気にちょっとびっくりした）、私にとってはやはり、最後の最後のページ（p.214）が印象的でした。
1987年に倉田令二朗さんがいうところの、古典研究の困難と、2つの断絶。

　さらにわが国での数学状況，エートスはさまざまな古典との断絶がある．たとえばブルバキズムでは過去の数学は原則として現代数学に包摂されるという判断があり，この見地から書かれる教科書が多い．たとえばガロアの理論はそれがもともと方程式論であったことすら理解不可能であるようなやり方で体の一般論の基本定理の一つとしてえがかれる．
　第二の断絶は高校数学と18，19世紀の数学ないしは現代数学との断絶である．

　そして最後の2行はこうなっています↓

　なお「古典」という場合，私はゲーデル，コーエン（そして故あって）グロタンディエクもふくめている．
　さらに、序論の「謝辞」に、またまた亀井哲治郎さん（当時、『数学セミナー』の編集長）のお名前を発見。
(引用終わり)

つづく

2019/02/05(火) 13:32:22.83

>>149
つづき

（あんまり関係ないけど、ご参考（＾＾）
http://www.saiensu.co.jp/?page=book_details&;ISBN=ISBNsgc-27
http://www.saiensu.co.jp/preview/2018-978-4-7819-9951-7/SDB42_sample.pdf
（見本）
SGCライブラリ 27
臨時別冊・数理科学2003年9月
「ガロア理論」～その標準的な入門～
中野　伸(学習院大学教授)　著
定価：1,933円（本体1,790円+税）
発行：サイエンス社
発行日：2003-09-22

2019/02/05(火) 13:33:55.63

>>144 タイポ訂正（流しついでに）

記憶に残っているのは、L関数の当りくらいだが・・（＾＾；
　↓
記憶に残っているのは、L関数の辺りくらいだが・・（＾＾；

2019/02/05(火) 13:41:20.76

>>147 タイポ訂正（これも流しついでに（＾＾）

ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/p
　↓
ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/4p=2sinπ/2p

Q(sin2π/p)を考えようというのが
　↓
Q(sinπ/p)を考えようというのが

2019/02/05(火) 13:42:35.47

>>152
余談だが
タイポも試験だと、減点だから、気を付けようね（＾＾；

2019/02/05(火) 14:03:36.62

>>148
余談だが
「原始元定理」というのは、英語wikipediaからの直訳語かな？

私の見た範囲のいくつかの教科書では
うろ覚えだが、
”単項拡大”みたいに書いてあったと思ったが（＾＾；
で、最小多項式につながる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F_(%E4%BD%93%E8%AB%96)
最小多項式 (体論)
(抜粋)
数学の分野である体論において、最小多項式（さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial）は体の拡大 E/F と拡大体 E の元に対して定義される。
元の最小多項式は、存在すれば、x を変数とする F 上の多項式環 F[x] の元である。
E の元 α が与えられたとき、Jα を f(α) = 0 なる F[x] のすべての多項式 f(x) の集合とする。元 α は Jα の各多項式の根あるいは零点と呼ばれる。
集合 Jα は F[x] のイデアルであるからそのように名づけられている。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 16:29:49.62

それじゃ、おっちゃんもう寝る。

2019/02/05(火) 18:16:13.46

>>155
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 19:14:05.46

>>130
>もし、nが具体的な”固定”された自然数に止まるならば、
>ε近傍系として機能しないことはあきらか

何いってんのかわからんな

数列s~1～s~100が固定だから、
決定番号d(s~1)～d(s~100)も固定される

>”∀nを考えるべし”だ
>つまりは、アキレスと亀と同じで、
>ある具体的なn1があったとしても、
>それに止まらずn1 ＜ n2なるn2を考えなければ、
>ε近傍系は機能しない

何いってんのかわからんな

決定番号d(s~1)～d(s~100)も固定される
その決定番号d(s~k)と比較されるのは
d(s~1),…,d(s~[k-1]),d(s~[k+1]),…d(s~100)
の99個の自然数だけだがな

>ある具体的なn1よりも、n1 ＜ n2なるn2の方が、常に出現頻度が高いのだよと
>そういう状況で、決定番号の大小比較で確率計算ができるのか？

まず、他の列の決定番号より大きな決定番号をもつ
列s~lはたかだか1つ存在する。
d(s~l)＞d(s~i)　（iはlを除く1から100までの数）

で、1～100の中からランダムに数を選んで
それがたまたまｌである確率は1/100

ただそれだけの話

>確率空間をちゃんと書いて見ろよ、おい！

Ω={1,…,100}だといってるがなぜ読まないのかね？

>一致するしっぽは、Bn=(0,ε) | ε=1/(n-1) の中に入る。
>開区間の族であり、同値類はε→∞ の極限を考える必要がある

必要ないけど

>同値類でε→∞ の極限を考えるということは、
>Bnはどんどん縮小し、半開区間(0,1] の箱で、
>ほとんど当たらないということを意味する

何がどう当たらないのかわからんな

妄想だろう

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 19:15:13.78

>問1 cos(π/n)∈Q(sin(π/n))　

cos((n-1)π/n)=-cos(π/n)
でnが奇数ならn-1=2mと表せて
cosの2m倍角公式がsinだけで書ける
ことを使えばいいんじゃね？

>問2 sin(π/n)はQ(cos(π/n))には含まれない

逆はちと難しいな
sinの2m倍角公式がcosだけでは書けない
といえばいいんだろうけど

2019/02/05(火) 21:18:35.33

>>158
>cosの2m倍角公式がsinだけで書ける
>ことを使えばいいんじゃね？

おお、なるほどね～（＾＾
cos((n-1)π/n)=cos(2mπ/n)
π/n：＝θとして
cos(2mθ)= 1-2(sin(mθ))^2 =1-2Sm((sinθ)^2)
ここに、Smは、下記のm 次の spread 多項式か

なるほどね（＾＾；
うまいね～（＾＾
ザブトン１枚！

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
三角関数の公式の一覧
(抜粋)
倍角・三倍角・半角の公式
cos2θ ＝ 1-2(sinθ)^2
倍角公式
Sn は n 次の spread 多項式
(sin(nθ))^2 =Sn((sinθ)^2)

2019/02/05(火) 22:06:47.90

>>152　タイポ訂正の訂正

ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/p
　↓
ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/4p=2sinπ/2p

Q(sin2π/p)を考えようというのが
　↓
Q(sinπ/p)を考えようというのが

これもとい。訂正の方が間違っていた（＾＾；

いやー、おっちゃんのこと言えんな～（＾＾；
下記と混同していたな
スレ59 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/801
(抜粋)
Q(cos2π/p)とQ(sin2π/p)と問題で
sin2π/p=cos{2π/p-π/2}=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用
　↓
この類推で
原問のQ(cosπ/p)とQ(sinπ/p)では
sinπ/p=cos{2π/2p-π/2}=cos{2π(2-p)}/4pであることを利用

とでもして、
ζ4p^(2-p) + 1/ζ4p^(2-p)＝2cos{2π(2-p)}/4p＝2sinπ/p
なので
ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)k
を作って、
OG(sinπ/p)
を作るのでしょうか？

だからOG(sinπ/p)の元を調べて、
2sinπ/p = ζ4p^(2-p) + 1/ζ4p^(2-p)
は、OG(cosπ/p) の外だと言えればいい
(引用終り)

と、自分で書いたのに、ボケとるよなー、おれって・・（＾＾；

で、ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)kが、拡大Q（sinπ/p）の原始元になっていれば、嬉しい
で、繰り返しになるが
数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
が、解答の中でやっているように

ζ4p + 1/ζ4p を作ることができれば、これは2cos 2π/(4p)=2cosπ/(2p)
なので、倍角公式で、cosπ/p が出せる

gcd(4p,k)=1とか、gcd(4p,4-p)=1とかに似た話しはどっかで読んだ気がするのだが
{ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)k}を何度も掛けていく（べき乗を作る）と思った・・（＾＾；
ここらの式変形はガウスのDAにあったかもね・・。もし、あったらガウスはほんと天才やね（＾＾
（彼は、19歳でDAをほとんど書き上げたというからね・・）
まあ、もうちょっと、調べてみましょう

確かに、ここらは（円分体は）、いろんな数論の出発点やね・・
知っといて損はない。というか、知っておく方が絶対良いよね

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 22:08:45.08

>>143
じゃあスレ主が流れるなｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 22:12:51.56

自分が答えられないとうんこレスですか、まさにキチガイだね

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 22:15:05.70

そんなキチガイだから3年かかって時枝一つ理解できないんだよｗ
キチガイには数学は無理だから諦めなｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 22:16:43.19

>>153
安心しな
お前はいつもゼロ点だから減点しようが無い

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 22:23:04.02

何言ってるかわからない答案を連発しといて、誤記減点に気をつけなだってｗ
スレ主ってホント馬鹿だねｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 22:39:21.97

キチガイ怒りの5連投
なお内容は煽りのみで数学的なものは一切含まれない模様
早急に死ね

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 22:51:47.73

>>166
キチガイ登場ｗ
数学的問い>>67をスルーしといて、言ってることがメチャクチャだなｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 22:56:26.64

キチガイは数学的問いを見て見ぬふりする悪癖があるｗ
よって再掲するｗ　どうぞスルーして下さい。何度でもコピペしてあげますからｗ

＞さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
＞例えばkが選ばれたとせよ.
＞s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
↑は、決定番号が自然数である限り否定しようがない。
もし否定したいなら決定番号が自然数とは限らないことを示さなければならない。
はいどうぞ～　がんばって示してね～

2019/02/06(水) 07:12:08.07

>>166
これは、キチガイを取締る役代表の方ですね
（おやじギャグを解説しても白けるが、会社の”代表取締役”のパロなのです、ハイ（＾＾；）

キチガイ取締りパトロール、ご苦労さまです（＾＾
煮ても焼いても食えないね、サイコやろうは

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/06(水) 07:18:17.17

さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.

2019/02/06(水) 07:34:23.12

>>160 追加

ようやく、問題の構造が分った～！（＾＾

下記「Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。」で
最大実部分体 or 実円分体が、キーワードやね
これで、検索すると、いろいろヒットするね

それは、ともかく
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)

という構造なんやね
で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)と⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾

で、sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない）
だと、それを示せば良いのだ

なお、Q(sinπ/p)＝Q(ζ4p + 1/ζ4p)なのでしょうね、多分

Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)は、>>158-159で終わったが
”sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない）”の細部の証明が、まだ示せないスレ主でした（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(抜粋)
性質
・Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。
(引用終り)
以上

2019/02/06(水) 07:36:04.17

>>171 タイポ訂正（流しと強調を兼ねて（＾＾）

で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)と⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾
　↓
で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)とQ(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾

2019/02/06(水) 07:53:14.46

>>171
円分体は、やっといた方がいいみたい（＾＾；
http://ikagawashii-hitorigoto.blogspot.com/2017/
い加川しいhitorigoto 加川貴章
(抜粋)
20171212
ノイキルヒの本を読むゼミ。円分体での素数の分解がよくわかったところで、次は平方剰余の相互法則を円分体を用いて証明する、という話。うん、円分体に持ち込むと上下がひっくり返せる理由がよくわかる。で来週から局所化の話で、1次元スキームとか出てくるところ。ここは小生苦手にしているので、じっくり勉強させてもらいたい所

2017125
ノイキルヒのゼミから。円分体で素数がどう素イデアル分解されるかなど。わざわざ Z[ζ] が整数環だから、任意の素数の分解は円周等分多項式の分解でわかる、ということでその道筋で示していた。
そんなもん不分岐なのの分解だったらフロベニウス置換の性質を用いれば一発じゃないか、と思ったんだが、代数体でなく一般のデデキント整域で議論を進めているから、(分解群)/(惰性群)が巡回群であることが使えない。
だから円周等分多項式で見なくてはいけない。そうするとえらく難しい。でそこで予習切れ。うーん、ノイキルヒの本は難しいな

20171114
ノイキルヒのゼミ。で今は Q(ζn) の整数環が Z[ζn] であることの証明だったが、n が素数の冪の場合で沈没したらしく、「一般の場合は来週にします」とのことだった。
で40分くらいで終了。円分体の整数環の決定って、何でこんなに難しいんだろう？そもそも [Q(ζn)：Q]＝φ(n) であることも、一般の場合は実に難しい。ちゃんと証明読んでない人も多いんではないかと想像するが、いかがだろうか？
小生？ちゃんと読みましたよ、何種類か。でもその中で特に腑に落ちる証明があったわけではない。これからも学生に色々本を読ませながら、腑に落ちる証明探しの旅を続けよう。

2017117
ノイキルヒの本を読むゼミ。相変わらず進まない。まあヒルベルト理論は難しいし、仕方ないのだ。来週は円分体の話なんで、いくらか分かりやすくなるんじゃないだろうか。ちょっと期待

つづく

2019/02/06(水) 07:54:00.53

>>173

つづき

2017825
当たり前のように見えることが本当に当たり前か？という問に関して考え始める。計算を色々やってみて、出来た、と思ったらまだ出来ていない、でコンピューターで計算して計算ミスはないことなど確認と、この繰り返し。夕刻にやっとやっぱり当たり前の結果しか成り立たないことがわかった。途中円分体を考えたり、最大実部分体の正規底を考えたりと、結構大事だったが、良かった。すっきり

2017726
それにしても円分体は面白い。時間があれば Washington の本をじっくり読みたいところだが、
(引用終り)

https://researchmap.jp/read0059180/
researchmap
(抜粋)
研究者氏名
加川　貴章
カガワ　タカアキ
URL
http://www.ritsumei.ac.jp/se/%7Ekagawa/
所属
立命館大学
部署
理工学部数理科学科
職名
教授
学位
理学博士(早稲田大学)
その他の所属
立命館大学

学歴
- 1991年
早稲田大学理工学部数学
- 1997年
早稲田大学大学院理工学研究科数学
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/06(水) 09:01:36.44

さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.

2019/02/06(水) 12:03:20.17

>>171 補足

ほんと蛇足だが
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)⊂Q(ζ4p)
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)

で、下記の円分体の性質から
4p＝4*pと因数分解できて
Q(ζ4p)は、Q(ζ4)とQ(ζp)との合成体と見ることができる
ここから、攻める手もありそうですな～（＾＾；

すぐに何か浮かぶわけではないのが、鈍才のつらいところです（＾＾
ガウスのように始めよ、すぐガウスでないことに気づく・・のだが・・ｗｗ（＾＾

ζ4＝cos2π/4 + i*sin2π/4 =cosπ/2 + i*sinπ/2 =i
か・・

これ、多分>>115より
"K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。"
と繋がっているんだろうね・・

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(抜粋)
性質
・3 以上の整数 m に対して、円分体 Q (ζm) の拡大次数 [ Q (ζm): Q ]は、φ (m)である。
　但し、φ (n)はオイラー関数である。
・任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
・3 以上の整数 m に対して、 m=p_1^{e_1・・・ p_{r}^{e_{r} ( p_1,・・・ ,\ p_{r} は、相異なる素数、 e_1,・・・ ,e_{r} >= 1) と素因数分解すると、
Q (ζm) は、 Q (ζ{p_1^{e_1}}),・・・ ,Q (ζ{p_{r}^{e_{r}}) の合成体であり、
Gal ( Q (ζm)/ Q )～＝ ( {Z} /m {Z} )^x～＝ ( {Z} /p_1^{e_1} {Z} )^x　X ・・・ X ( {Z} /p_{r}^{e_{r}} {Z} )^x
が成立する。
　また、円分体 Q (ζm)} で分岐する有理素数[1]は、 p_1,・・・ , p_{r} に限る。
(引用終わり)

2019/02/06(水) 13:36:21.54

>>176 蛇足

これも蛇足だが
ζ2＝cos2π/2 + i*sin2π/2 =cosπ + i*sinπ =-1

なので、
Q(ζ2p)＝Q(ζp)・・・(1)
かな？

で、
Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)・・・(2)
（iとζpとを添加した体）
と見ることができて

Q(ζ2p)⊂Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)
ζ2p - 1/ζ2p ＝-2i*sinπ/p
だったから
sinπ/p ∈ Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)
は、すぐに得られるね

だから、どうしたと言われそうだがね

で、問題は、
(>>114)
命題2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
をどう示すかなのだが

こういう場合に、背理法が使えればいいのだが
sinπ/p ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p) を仮定して、
うまく矛盾が導かれるかどうか
（当然矛盾はしているのだが・・）

鈍才の私には、なかなか閃きません（＾＾；

2019/02/06(水) 15:59:08.09

>>177 追加
ちょっと閃いたね～ｗ（＾＾

命題2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
（略証）
背理法を使う
sinπ/p ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
が成り立つとする

ζp-1/ζp =2i*sinπ/p∈ Q(ζp)
だから

i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
となる

そうすると
Q(ζp) ＝ Q(i,ζp) ＝Q(ζ4p)となる＊）
これは、矛盾である
QED

＊）注：Q(ζp) ＝ Q(i,ζp) ＝Q(ζ4p)の矛盾を示すところで
円分体の大定理(>>176)を使うというのが、結構大げさなんだけどね（＾＾；
まあ、昔受験時代に読んだ、「大学への数学」でよく言われたのが
「牛刀を用いてニワトリを割く」という言葉なんだけど
（当時は、大学で扱う大定理の系として、問題を解くみたいな使い方だったと思ったが）
まあ、この問題では、円分体の理論との結びつきという意味で、一番見通しがいいかもね

円分体の大定理の証明？それは私の手に余るので、加川貴章先生（>>173-174）へどうぞ
まあ、どこか探せば、PDFが落ちていると思うし、教科書とかにも載ってそうです
（高木の整数論とかにないかな（これは持ってないんだが）？（＾＾；）

http://www.kokin.rr-livelife.net/koto/koto_ki/koto_ki_4.html
ことわざ図書館
(抜粋)
牛刀をもって鶏を割くぎゅうとうをもってにわとりをさく
「鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん」ともいう。
小事を処理するのに、大掛かりな手段を用いることのたとえ。

2019/02/06(水) 16:02:27.93

>>178 補足

この背理法は、多分
これ、>>115より
"K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。"
と同じ話だろうね

”背理法”と呪文を唱えると
証明っぽくなるよね（＾＾

2019/02/06(水) 16:05:20.07

>>178
>円分体の大定理の証明？それは私の手に余るので、加川貴章先生（>>173-174）へどうぞ

加川ゼミでこれやると、「証明は？」と言われて、
黒板ハリツケの刑で、私は立ち往生ですね（＾＾

2019/02/06(水) 16:20:31.97

>>178
>i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
>となる

昔、高校数学で、割り算のとき
「必ず分母 ≠0　を言え」と、口酸っぱく言われたね（＾＾；
分母 ≠0 と分母＝0 の場合で、
場合分けを、落とし穴として引っかけで、
証明の出題をしている場合が多いのだとかね

一言書いてあるだけで、印象が違うとかも言われた
まあ、sinπ/p ≠0 は良いでしょうね（＾＾

2019/02/06(水) 16:23:25.67

>>178 タイポ訂正（流しを兼ねて）

i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
　↓
i = （i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)

ケアレスミスが多いな
注意しましょうね（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/06(水) 20:59:15.43

決定番号が自然数であることがまったく言えていないのでケアレスミスを気にしても仕方が無い。
ゼロ点で落第。

2019/02/06(水) 21:00:04.37

>>174
＞それにしても円分体は面白い。時間があれば Washington の本をじっくり読みたいところだが、

下記の”[10] L. C. Washington, Introduction to cyclotomic elds, 2-nd edition, GTM 87, Springer (1997).”だろうかね（＾＾
https://www.cck.dendai.ac.jp/math/~t-hara/ss2014/
第22回 (2014年度) 整数論サマースクール『非可換岩澤理論』 2014.8.28?2014.9.1
世話係
原隆 (東京電機大学)
水澤靖 (名古屋工業大学)
https://www.cck.dendai.ac.jp/math/~t-hara/ss2014/abstracts.html
講演内容
https://www.cck.dendai.ac.jp/math/~t-hara/ss2014/pdf/fujii.pdf
講演レジュメ
可換拡大の岩澤理論の代数的側面について藤井俊 (金沢工業大学)
本講演では、まず導入として岩澤理論の起源である Zp 拡大の一般論を解説し、後の講演で用いられる概念、用語の紹介を行う。

次いで、非可換岩澤理論で扱われる「分岐付岩澤加群」が、どのような文脈で岩澤理論に現れるのかについて解説をする。

本稿の構成は,
・2 章: Zp 拡大の一般論
・3 章: 円分Zp 拡大上のKummer 理論, イデアル類群と分岐付岩澤加群
となっている. 2 章はWashington の本[10] の13 章の内容の解説である. 3 章は, 岩澤先生
の論文[7] の前半部分の(簡易な) 解説である. 論文[7] では, Kummer 理論のすべての部分を
扱っているが, 本稿ではプラス部分に限定をして話を進める.
[10] L. C. Washington, Introduction to cyclotomic elds, 2-nd edition, GTM 87, Springer (1997).

On algebraic aspects of Iwasawa theory for abelian extensions

Satoshi Fujii (Kanazawa Institute of Technology)

In this lecture I will first explain general theory on Zp-extensions of algebraic number fields, which is the origin of Iwasawa theory. Then I introduce several concepts and terminologies concerning it which shall be used throughout this lecture series.

Under these preparations I would like to introduce the notion of the “Iwasawa module with ramification,” and explain how this notion appears in the classical Iwasawa theor

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/06(水) 21:15:37.63

さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.

2019/02/06(水) 21:17:09.49

>>178
＞「牛刀を用いてニワトリを割く」という言葉なんだけど

下記にあるような、円分体のガロア対応をベースに
Q(ζp) 、 Q(i,ζp) 、Q(ζ4p)のガロア群を作って
「矛盾」を示すのもありかね

牛刀ではあるけれども、大学数学とは、むしろ、”牛刀使い”が、賞讃されるような気がする
というか、Q(ζp) 、 Q(i,ζp) 、Q(ζ4p)などは、あくまで学習のための具体例の一つであって
”牛刀の使い方と切れ味”を試すための学習例にすぎないのだと
（私は、まだまだそこへ行っていませんがね（＾＾；）

http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/17/104038
美的数学のすすめ
2015-04-17
円分体のガロア対応
(抜粋)
　ガロア対応を円分体に応用すると、ガウス周期と、ガロア群の部分群との関係が分かります。ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、ガロア理論と実質的に同様のことを理解していたといわれています。
ガウスは、19歳のある朝、正17角形が作図可能であることに気が付きましたが、その着想を円分体論として公表したのが1801年、ガウスが24歳のときでした。（ガウス整数論（Disquisitiones Arithmeticae））

　ガロアが誕生したのは1811年、1832年に決闘で亡くなるまでにガロアはガウスの円分体論を当然知っていました。ガロアは、このガウスの円分体論を強く意識して（「ガロワ理論下」デイヴィッド・A. コックス、338ページ）、ガロア理論の着想を得たと考えられています。

円分体論とはこれだけのことか？
　ここまで見てきた対応は、ガロア理論の応用です。このガロア理論は、これだけでも十分に驚くべき内容です。ガロア理論は全ての体について成り立つものですが、上のようにきれいな形でガロア対応を記述できるものはそう多くありません。その意味で、上の結果だけでも十分です。
　しかし、円分体論はガロア理論に吸収されてしまうのでしょうか？そうではありません。上のガロア対応にはガロア理論を超えたさらに驚くべき内容が隠されています。それを考えるには、円分多項式がmodpでどのように因数分解されるのか考える必要があります。

　次回は、円分多項式がmodpでどのように因数分解されるか考えてみます。
(引用終り)

2019/02/06(水) 21:22:30.01

>>186

関連追加
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/08/090255
美的数学のすすめ
2015-04-08
円分体のガロア群
円分体ガロア理論
(抜粋)
　今回は、円分多項式の分解体であるQ(ζn)のガロア群GaL(Q(ζn)/Q)を考えます。

　ガロア理論の初歩については下記をご覧ください。

円分多項式の性質

　このようにGal(Q(ζn)/Q)がアーベル群（可換群）であることが分かりました。類体論の対称は、ガロア群がアーベル群となる体の拡大ですが、円分体はその典型例です。

円分体のガロア群が決定できましたので、次回、円分体の部分体をこのガロア群の部分群から決定してみます。
(引用終り)

2019/02/06(水) 21:29:31.98

>>187

関連追加
tsujimotterのノートブックは、
以前にも引用させてもらったと思う
これは、大学１～２年は、ざっと読んでおくと良いと思うよ（＾＾

http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/class-field-theory-of-cyclotomic-field
tsujimotterのノートブック
2017-01-01
円分体の類体論の復習

以上の記事では，整数論にガロア理論を適用させ，素イデアルの分解法則を見出す「ヒルベルトの理論」の枠組みを紹介し，その系として円分体の分解法則を導きました。

上の記事から半年以上経っているので，円分体の類体論を復習しつつ，言い足りなかったことを少し補足したいと思います。

復習するテーマは大きく分けて以下の２つです。
・ガロア拡大における分解法則とフロベニウス
・円分体の素イデアル分解法則

この記事のすぐあとに，続きの記事を書きたいと思っています。今回の記事はそのための準備です。例によって，少々レベルが高い記事になりますが，よかったら合わせて読んでみてください。

復習１：ガロア拡大における分解法則とフロベニウス

補足１：フロベニウス自己同型とアーベル拡大

補足２：アルティン写像と相互法則

復習２：円分体の素イデアル分解法則

まとめ
今回は「円分体の分解法則」だけ紹介しましたが，この流れを踏まえることで「二次体の場合の分解法則」も得ることができます。実はその話がしたくてこの記事を書きました。

一般に，これらは「Q上の類体論」と呼ばれるものですが，これが円分体の分解法則の延長で得られるのです。この辺が円分体が雛形と言われる所以でしょう。

次の記事では，ぜひ円分体のパワーを味わってください！

2019/02/06(水) 23:39:27.57

>>186
>ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、ガロア理論と実質的に同様のことを理解していたといわれています。
>ガウスは、19歳のある朝、正17角形が作図可能であることに気が付きましたが、その着想を円分体論として公表したのが1801年、ガウスが24歳のときでした。（ガウス整数論（Disquisitiones Arithmeticae））

まあ、下記の「響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司著) 2016 年12 月５日」などをご参照
これ、ちょっと面白いよ（＾＾
http://hooktail.sub.jp/
物理のかぎしっぽ
http://hooktail.org/misc/index.php?%B4%F3%B9%C6
寄稿
数学
上野孝司氏による『君の為の数学原論』シリーズ †
http://hooktail.sub.jp/contributions/galoire32160913tu.pdf
響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司著) 2016 年12 月５日
（ガロアのf 項周期について、図解するなど詳しくしました）

群の抽象性と散在性―シローの定理と位数12の群(上野孝司著)
群の抽象性と散在性―シローの定理と位数12の群（第２版）(上野孝司著)
恐るべし、数学技術―ガウス積分とバーゼル問題(上野孝司著)
バーゼル問題一般化にベルヌーイの執念、cot の解析がカギ(上野孝司著)
置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論再考(上野孝司著)
置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論再考（第２版）(上野孝司著)
Ｎ次元超球の体積はヤコビアン、曲面積は平行四辺形(上野孝司著)
加群構造定理が源流―アーベル基本定理とジョルダン標準形(上野孝司著)
金融工学 ‐ オプション価格は熱方程式、ブラック・ショールズモデル(上野孝司著)
解析か代数か - 物理数学の第一歩、ルジャンドルの多項式(上野孝司著)
あっと驚く証明―ケイレイ－ハミルトンの定理、行列式の応用(上野孝司著)
金融工学：ポートフォリオのリスク評価は共分散ー資産選択理論(上野孝司著)
環論と存在性―複素数とはなんだろうか(上野孝司著)
ローラン展開と留数解析―複素解析概論(上野孝司著)
驚くべき中国式剰余定理(上野孝司著)
多変数解析への誘い―デカルトの葉線と陰関数定理(上野孝司著)（シリーズ完結）

2019/02/07(木) 00:04:28.51

>>189 追加

ガウス教の教祖と言われる高瀬正仁先生の
下記
「円周の等分に関するガウスの理論」なども
ガウスは、円分体のガロア対応を知っていた説に立っています
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo04/4_4takase.pdf
高瀬正仁　クロネッカーの数論の解明 II　　　アーベル方程式の構成問題への道 1994
(抜粋)
[目次]
はじめに
1. 円周の等分に関するガウスの理論
2. 代数方程式論におけるアーベルの基本理念
(引用終り)

https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo04/
第4回数学史シンポジウム(1993.10.23?24)　　所報 8　1994
・黒川信重　L関数の歴史
・三宅克哉　代数的数論--Zolotareffの場合
・笠原乾吉　アーベルと特異モジュラー方程式
・高瀬正仁　クロネッカーの数論の解明 II　　　アーベル方程式の構成問題への道
・鹿野健　いたる所微分不可能な連続関数の話題
・足立恒雄　純粋数学のあけぼの --- 古代ギリシャにおける數学と哲学の交流
・斎藤憲　古代ギリシャに比例の定義
・清水達雄　零の発見のイスラム諸文学
・杉浦光夫　シュバレーの群論 II
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/
数学史シンポジウム報告集
19世紀数学史, 第1回数学史シンポジウム(1990.11.17)　　所報 1　1991
近現代数学史, 第2回数学史シンポジウム(1991.11.9?10)　　所報 4　1992
第3回数学史シンポジウム(1992.10.24?25)　　所報 6　1993
第4回数学史シンポジウム(1993.10.23?24)　　所報 8　1994
第5回数学史シンポジウム(1994.10.22?23)　　所報 11　1995
20世紀数学シンポジウム, 第6回数学史シンポジウム(1995.11.9?12)
第7回数学史シンポジウム(1996.10.26?27)　　所報 13　1997
第8回数学史シンポジウム(1997.10.25?26)　　所報 16　1998
第9回数学史シンポジウム(1998.10.24?25)　　所報 17　1999
（文字数オーバーで省略します）
第25回数学史シンポジウム(2014.10.11?12)　　所報 36　2015
第26回数学史シンポジウム(2015.10.10?11)　　所報 37　2016
第27回数学史シンポジウム(2016.10.8?9)　　所報 38　2017
第28回数学史シンポジウム(2017.10.14?15)　　所報 39　2018
(引用終り)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60

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