小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 55
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小中学生の数学大好き少年少女！
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文字の使い方等は>>2を参照のこと。
※あくまで小中学生のためのスレなので範囲外のものについては別スレに。
皆様のご協力よろしくお願いします。
前スレ
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483872494/ 前>>845考え方(心の声)を行間に書いてみます。
>>843
4/5=0.8
5/6=0.833……
(分子と分母が1個差やなぁ)
(4/5=24/30と5/6=25/30のあいだに2個差で入るやつあるやろ)
9/11=0.8181……
(あったあった)
∴(最小の分母は)11 >>848
a/b < x < c/dなら (a+b)/(c+d)という規則性が推測できるね。 不等式ｘ＋ａ≧５においてｘ≧３とおく
このときａのとりうる(ア)を求めよ
次のうち正しいものを選び丸を付けなさい
(ア)に入る言葉は「値」、解はａ＝２
(ア)に入る言葉は「範囲」、解はａ≧２
問題が正しくない、理由…
答えを教えて下さい >>853
> 不等式ｘ＋ａ≧５においてｘ≧３とおく
そもそもこの文章の意味が不明 確かにｘ＋ａ≧５をｘ≧３とおいたら意味不明です
問題が手元にないのであやふやなのですが
不等式ｘ＋ａ≧５においてｘ≧３であるとき
ａのとりうる(ア)を求めよ
だったかな 〔問題〕
AB = 8, AC = 72/7, ∠A = 2∠C のとき、⊿ABCの外接円の半径Rを求めよ。
中学数学の範囲で解けるでしょうか。
（三平方の定理、円周角の定理、トレミーの定理は使えます） ひどい方程式になっちゃって計算はwolframさんにやってもらったら4√(7/3)になった
なにかうまい方法あるのかなあ 前>>851
>>856
2R=8/sinC=72/7sin(180°-3C)
=72/7(sin180°cos3C-cos 180°sin3C)
=72/7｛0×cos3C-(-1)sin3C｝
=72/7sin3C
=72/7(3sinC-4sin^3C)
9=7(3-4sin^2C)
28sin^2C=12
sinC=√(3/7)
∴R=4/sinC=4√7/√3=4√21/3 >>858
中学数学で解けるかと言ってるのに三角比使うのもどうかと思うが、
さすがにsin(180°-3C)を加法定理で計算してしまうのは恥ずかしいぞ。 >>856
一応中学範囲でできるけど、ややこしいので概要だけ。三辺の長さが分かっている三角形の外接円の半径の出し方は知っているものとし、BCの求め方まででご勘弁を。
角Cの二等分線とABの交点をDとする。三角形ABCと三角形CBDが相似になり、ABをxとするとBCは(7/9)xになる。
CからABに下ろした垂線の足をEとすると、AEC、DEC、BECの３つの直角三角形ができるので、BEをyとしてCEの長さを三種類で表すとxとy連立方程式ができるのでxの値が求まる。これでABCの3辺が分かるので、後は定石通り。 Aの2等分線と外接円の交点をDとする
ABDCは3辺が等しい等脚台形になる
外心をO，BからACにおろした垂線の足をHとして
ABH，OAC，OBDに三平方を使えば出る OAC，OBDではなくてそれらを を半分にした三角形だった >>860
あ、角Aと角Cを逆に考えちゃった。すみません、忘れて下さい。 >>861
同じ方法でやったが手計算出来る気がしない
その後、ABCDを座標に落として計算する方法を考えた
Bを(-4,0)、Dを(4,0)とすると、Cは第一象限にありx座標が36/7でDからの距離が8なのでy座標も求まる
CDの垂直二等分線の方程式も求まるのでそれとy軸との交点である外接円の中心の座標も求まる
あとは三平方で半径が求まる >>864
とりあえず AB=14 となるように相似拡大した図形で考える
そのときの外接円の半径を R とする
M，N をそれぞれ線分AC，BD の中点とする
OM=x とする
これで手計算でもできるだろう R の前に x を求める R^2 を2通りにあらわす
ちなみに ON=BH-OM なので ON も x で表せる >>867
ああそうか
rで方程式を立てちゃってすげえ式になって詰まってた
でも、その計算も相当大変そうだね https://i.imgur.com/m2QLmKd.jpg
34=9+13+x+z
75=13+20+y+z
126=72+x+y+z
自分なりに式立ててみたけど答え出ないw よろしくお願いいたします。
ttp://get.secret.jp/pt/file/1598439270.png
この図についての問題です。
問題文は、「辺ＡＢと辺ＣＤは平行。三角形ＡＥＢの面積は20平方センチ、
三角形ＣＤＥは45平方センチだとすると、三角形ＡＣＥの面積は？」です。
三角形ＡＢＥとＤＣＥは相似で、面積の比が4:9だというのは分かったけど、
辺ＡＢと辺ＣＤなど、各辺の比は分からないし、とてもＡＣＥのことまで
考えがいきません。
どう考えていくのがよいのでしょうか？ >>872
＞三角形ＡＢＥとＤＣＥは相似で、面積の比が4:9だというのは分かったけど、
＞辺ＡＢと辺ＣＤなど、各辺の比は分からない
いやいや、相似な図形の面積の比が4:9なんだから辺ＡＢと辺ＣＤの比はすぐ分かるでしょ >>872
BE:EC=2:3で高さは同じだから面積は30平方センチ ご回答ありがとうございました。しかし理解できません。
>>873
＞相似な図形の面積の比が4:9なんだから辺ＡＢと辺ＣＤの比はすぐ分かるでしょ
わからないんです。
>>874
＞BE:EC=2:3
どうしてそんなことがわかるんでしょうか？ >>876
お手数ですが、かみ砕いて、言葉でご説明ねがえませんでしょうか？
「相似の三角形で、面積の比が○：△の場合、辺の比は√○：√△となる」
↑
これをスッキリと理解したいです。 前>>858
>>870
126=72+x+y+zから
34=9+13+x+z,75=13+20+y+zをそれぞれ辺々引くと、
92=50+y,51=39+x
∴x=51-39=12
y=92-50=42
z=54-12-42=0 前>>878
>>872
△ABEと△DCEにおいてAB//DCより錯角が等しいから∠ABE=∠DCE
対頂角が等しいから∠BEA=∠CED
2角が等しいから△ABE∽△DCE
面積比が△ABE:△DCE=20:45=4:9だから相似比は2:3
BE:CE=2:3
△ABEと△ACEの面積比も2:3だから、
x=20×3/2=30(平方センチ) >>877
辺の比の方から考えれば分かる
相似ってことは底辺がa倍なら高さもa倍ってことになるから面積はa^2倍になる
逆に面積がa^2倍なら相似の比の値はaってことになる ある数字ａを５で割ると商がｂで余りが１であった
ａを式で表せ
ａ／５＝ｂ＋１
ａ＝５ｂ＋５ じゃあかんの？
正解は ａ＝５ｂ＋１ らしい >>881
それだとaを5で割ったら商がb+1で余りが0ってことになる 相似比と面積比って公式みたいに覚えさせられた記憶があるけど、
相似比 a : b の三角形は高さの比も a : b になるから、
この比が a のほうの三角形の底辺を x, 高さを h として、
比が b のほうの三角形の底辺を x', 高さを h' とすると、面積比は
xh/2 : x'h'/2 = xh : x'h' = a^2 : b^2
とちゃんと証明できるんだよね
中学の頃は真面目に勉強してなかったせいか、証明を教わった記憶がない >>881
整数 a を整数 b (>0) で割ったときの商を q, 余りを r とすると、
a = bq + r
0 ≦ r < b
となる
これは定義だから覚えるしかない
a ÷ b を筆算の形に書いてみればわかると思う >>885
「除法の原理」が成り立つことは定理だけど、商と余りの定義は>>884の通りでしょ？
(商 × 除数) + 剰余 = 被除数
を文字を使って書いただけ >>886
自分で書いてるとおり、定理じゃん。
「～となる」なんて定義はない。定義とは「～と定める」
まあ、書き方の問題だが、「～で一意に決まるrを余りと定める」なら定義と言える。 >>887
ああ、書き方は確かに良くなかったね
小中学校スレでは難しいかと思って
正確には以下のようになる
与えられた整数 a および正の整数 b に対し、
a = bq + r かつ 0 ≦ r < b
を満たす整数 q および整数 r が一意的に存在する。
（除法の原理）
このとき、 q を「 a を b で割った商」といい、
r を「 a を b で割った余り」という。
存在の証明は、ガウス記号 [] を使って q = [a/b], r = a - bq とすれば良い。
一意性の証明は容易にできる。 たぶん、a÷5=b余り1をa÷5=b+1だと思っちゃったんだな
余りの1は整数範囲では5で割ることは出来ずに残っている
つまり、割られる数が1残っているってこと
だから「余り」という表現を使わずに数式にすると、(a-1)÷5=bとかa÷5=b+1/5とかになる
これを計算すればいずれもa=5b+1になる
慣れていれば、aを5で割って商がbで余りが1ってことはaはbの5倍より1多いってことだから問題文から直接a=5b+1が作れる 前>>879
>>881
a=5b+1
∵aを5で割ると商がbで余りが1だから。
a/5=b+1/5
左辺のaを5で割るんだから割って出た商bはそのままとしても、余りの1は5で割らな、等号で結ぶんだもん。余りの1はaに対して5で割って割り切れなんだ余りだもんで。a/5に対してじゃない、aに対して1余るんだから。 一次関数の利用を解説！グラフの書き方や解き方を知り入試に活かそう！
https://www.studyplus.jp/359?page=2
「直線y=-3x+2について、xの変域が-3≦x≦5のとき、yの変域を求めなさい。」
上記の問題の解説画像が下記です。
http://s.kota2.net/1598592102.png
上記サイトでは、切片が0でない場合、グラフの直線は原点 0 は通らず、y切片を通ると解説されています。
しかし、上記サイトの画像では、グラフが原点 0 を通っています。
Googleの電卓ツールで y=-3x+2 のグラフを描画したところが下記の画像です。
http://s.kota2.net/1598593031.png
これは studyplus.jp の解説が間違っているのでしょうか。それとも変域の問題は何か特殊な条件があって原点 0 を通るのでしょうか。
みなさんのお知恵をお貸しください。よろしくお願いいたします。 >>892
解説の図は傾きがマイナスであることのみを取り上げ、他は故意にものすごく雑に描いている可能性もある
ただ、そういう場合に原点を通る直線を描くのはちょっと考えにくく、「誤り」と見てもいいんじゃないかと思う
原点を通るわけないことはy=-3x+2に代入すれば分かるでしょ
少しは自信持ちなよ >>893
ご回答ありがとうございます、了解いたしました。
算数・数学は小学生、中学生のころから苦手科目でして、なかなか自信を持てずにいます。
解説サイトが間違えるわけがない、自分が間違っているんだと思ってしまい・・・。
もう少し自分に自信を持てるよう、これからも算数・数学の勉学に励みます。
この度はありがとうございました。 >>892
y の変域が知りたいだけだから y 切片はどうでもいいとか、
グラフ中の 0 は x 座標 0 で y 座標は 0 とは限らないとか、
それっぽい擁護を考えることはできるが、
まあ普通に考えてミスだろ
すぐ上にある解説の画像と比べると雑すぎる
x = 0 のとき y = 2 なんだから しかも解説も何が言いたいのかよくわからんな
>xが最も小さいときにyは最も大きく、xが最も大きいときにyは最も小さくなります。
→これはその通り
>図を書かないと、変域の左右を入れ替えて書いてしまうミスをしてしまうことがあります。
→意味不明
もしかして 11≦y≦-13 とでも答える子がいるのだろうか
もしそうだとしたら不等号が理解できていないことになるから、図を描く以前の問題 >>894
解説サイトって細かいとこ間違ってること、たまにあるよ。「うそをうそと…」ではないが、「あ、間違ってら」くらい見抜けないとサイトやyoutubeはこわいよね。 >>900
123
456
789
の1269とか >>904
選択肢に無いw
図形のセンスの無いやつだなw >>898
総当りでプログラムにカウントさせた。
円周角の定理を使用。
bac <- function(B,A,C){
if(is.complex(B)|is.complex(A)|is.complex(C)){
a=c(Re(A),Im(A)); b=c(Re(B),Im(B)); c=c(Re(C),Im(C))
}else{a=A;b=B;c=C}
ab=b-a
ac=c-a
dot=sum(ab*ac)
bac=acos(dot/sqrt(sum(ab^2))/sqrt(sum(ac^2)))
return(bac)
}
oncircle <- function(A,B,C,D){
bac(A,C,B)==bac(A,D,B)
}
gr=expand.grid(1:3,1:3)
node=mapply(function(x,y) x+1i*y,gr[,1],gr[,2])
onCircle <- function(x){
oncircle(node[x[1]],node[x[2]],node[x[3]],node[x[4]])}
sum(combn(9,4,onCircle))
実行すると
sum(combn(9,4,onCircle))
[1] 12
> >>907
何かが間違ってるな
少なくとも14個あるのは間違いないんじゃないか？
正方形(小） 4
正方形(中） 1
正方形(大) 1
長方形 4
等脚台形 4
イナはこれ以外になにを数えているんだろうか >>907
多分、
bac(A,C,B)==bac(A,D,B)
での丸め誤差を考慮していないからだろうな。 import Data.Complex
onCircle (a,b,c,d) = (<0.01) $ abs $ imagPart $ ((d-a)/(c-a))/((d-b)/(c-b))
ps = [x:+y | x<-[0..2],y<-[0..2]]
cands = [(ps!!a,ps!!b,ps!!c,ps!!d) |
a<-[0..8],b<-[a+1..8],c<-[b+1..8],d<-[c+1..8]
]
main = print $ length $ [p|p<-cands, onCircle
---
14 丸め誤差と別のバクを修正した結果
> sum(combn(9,4,onCircle))
[1] 14
図示すると
https://i.imgur.com/RI9IQQw.png 高校生だけじゃなく小中学生にもプログラミングどやりしに来たかコイツ >898の点の数を４×４の16個にしたら、184個になったけどあっているかな？ >>913
さて、点の数を25個にしたら何個になるでしょうか？
手計算で計算してみ！ 円周角の一致でなくて半径と中心が一致することで同一円と判定するようにアルゴリズムを変更
N=7
gr=expand.grid(1:N,1:N)
(node=mapply(function(x,y) x+1i*y,gr[,1],gr[,2]))
tric <- function(A,B,C){ # 複素点３点を通る円の中心と半径を返す
a1=Re(A) ; a2=Im(A)
b1=Re(B) ; b2=Im(B)
c1=Re(C) ; c2=Im(C)
p = (a1^2*(-b2) + a1^2*c2 - a2^2*b2 + a2^2*c2 + a2*b1^2 + a2*b2^2 - a2*c1^2 - a2*c2^2 - b1^2*c2 - b2^2*c2 + b2*c1^2 + b2*c2^2)/(2*(-a1*b2 + a1*c2 + a2*b1 - a2*c1 - b1*c2 + b2*c1))
q = -(a1^2*(-b1) + a1^2*c1 + a1*b1^2 + a1*b2^2 - a1*c1^2 - a1*c2^2 - a2^2*b1 + a2^2*c1 - b1^2*c1 + b1*c1^2 + b1*c2^2 - b2^2*c1)/(2*(-a1*b2 + a1*c2 + a2*b1 - a2*c1 - b1*c2 + b2*c1))
Ce=p+1i*q
r=abs(Ce-A)
c(Center=Ce,Radius=r)
}
onCir <- function(x){ # 中心と半径が一致するかを返す
all(tric(node[x[1]],node[x[2]],node[x[3]])==
tric(node[x[1]],node[x[2]],node[x[4]]))
}
sum(combn(N^2,4,onCir),na.rm=TRUE)
７×７個だと
> sum(combn(N^2,4,onCir),na.rm=TRUE)
[1] 5704 10×10だと
> sum(combn(N^2,4,onCir),na.rm=TRUE)
[1] 48513
とう結果になった。
マウント猿は手計算で指折り数えるはずｗ >>917
お前、本っ当に底意地汚い奴だな
オリンピックの100m走にバイクで出場するバカが居たら、お前みたいな奴なんだろうな
道具道具言う割にはマセマティカも無いとか、道具使う前に道具知らないとか自殺かよ そういう競争したがるのがマウント猿。
>915の手書き計算まだぁ？ 前>>904
>>908ありがとう。久々に一人勝ちした気分だよ。 >>921
>917であってるか？
手書き計算終わった？？ 「中学数学の図形の問題です」
AB = 8, BC = 12, ∠B = 60°, ∠C = 40° のとき、
三角形ABCに外接している円の半径を求めよ。
中学数学の範囲での解説をよろしくお願いいたします。
http://suseum.jp/gq/question/3187 題意より
AB ： BC = 8 ： 12 = 1 ： 1.5 ････ (1)
題意より
∠A = 180°- ∠B - ∠C = 180°- 60°- 40°= 80°
sin(C) ： sin(A) = sin(40ﾟ) ： sin(80ﾟ)
= 1 ： 2cos(40ﾟ)
= 1 ： 1.532088888 ････ (2)
(1)(2) より、正弦定理が不成立。(矛盾)
中学数学の範囲でこの矛盾を示すのは難しいですね。
中には騙される人もいるのでは？ ∠Aの二等分線とBCの交点をDとすると△ABC∽△DBAとなり、BD=16/3、CD=20/3
△ACDは二等辺三角形であるのでAD=20/3
AからBCに下ろした垂線の脚をHとして△ADHで三平方の定理を適用して計算すると成立せず誤りだとわかる 小学生に割り算を教える場合
1÷1/3は
円（ケーキ等）で言うなら円を1/3等分した場合いくつに分けられるかだから答え3と教えられる
それなら1÷2/3はどうに教えればいいのかがわからない １３２人目の素数さん
132は素数じゃないのになんでこの名前なんだろ？ 132番目の素数が773=なな(し)さんだから
“し”についてつっこむのは禁止されている >>926
無理やり意味をつければいいってもんじゃないよ
自然な解釈がないなら形式的に教えればいい
割り算の定義に戻って
1÷(2/3) は (2/3)×□ = 1 となる数□
で十分だと思う 前>>920
>>923
∠Aの二等分線とBCの交点をDとすると、
△ABD∽△CBAだから、
8:12=BD:8
BD=16/3
AD=CD=12-16/3=32/3
△ABCの外接円の半径をRとすると、
正弦定理より2R=16/sin60°=16×2/√3
∴R=16/√3=16√3/3 前>>930
>>931
こんなものに意味なんかない。
あるのは長さと角度だけ。
偉大な先人たちは魂を磨くことで、三角形の辺の長さや角度に意味を感じたんだろう、知らんけど。 >>932
そうじゃなくてw
問題が不成立なんだよ。それをどうやって中学生にも分かるように説明するかって話をしてんだよ。
やっぱあんた図形まるでダメだね。 トリップまでつけてるからてっきり数強キャラなのかと思ったら、この人バカなことしか言ってないよねw
もともとそういうキャラ？ 前>>932
問題に問題があんだろ？
解いた俺を責めんのはお門違いだぜ。 >>926
1÷2/3=(1÷1/3)÷2で説明はどう？ >>938
割り算は結合法則を満たさないからその説明はまずいのでは？
その等式を説明できない 前>>937
>>926
円を2/3等分したとき1個半。
∴1÷2/3=3/2=1.5 >>926
そもそも1/3等分ってなに？
等分ってのは自然数でしかできないでしょ。
それに、3等分したら3つ、4等分なら4つなんだから、1/3等分したら3つというのもおかしい。 >>943
1/3ずつに分けたらって言いたかったんだろう 前>>942
1/3等分も2/3等分も最初は違和感あるけど1/108豆腐ほどじゃない。 円錐の体積の底面積を３／２倍、高さを４倍にしたら元の体積の何倍になるか？と言う問題で
1/3×ｓ×ｈに数値を掛けて 1/3×3/2ｓ×4ｈ→２ｓｈ だから２倍でOK？ >>946
それだと元の体積は (1/3)×ｓ×ｈ じゃないの？ 2315
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 球面上で
AB = 8, BC = 12, ∠B = 60°, ∠C = 40° という三角形ABCが存在するならその球の半径と∠A及びCAの長さを求めよ
という問題なら答があるだろうか？ レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
