次に、M＜m を満たす整数M,mに対して

g(x)≧Σ[n＝M〜m−1]x^{4^n}(1−x^{4^n}),
g(x)＝(Σ[n＝−∞〜M−1]＋Σ[n＝M〜m−1]＋Σ[n＝m〜∞])x^{4^n}(1−x^{4^n})
≦1−x^{4^M}＋Σ[n＝M〜m−1]x^{4^n}(1−x^{4^n})＋x^{4^m}

であるから、

g(1/3)≧Σ[n＝M〜m−1](1/3)^{4^n}(1−(1/3)^{4^n}),
g(1/2)≦1−(1/2)^{4^M}＋Σ[n＝M〜m−1](1/2)^{4^n}(1−(1/2)^{4^n})＋(1/2)^{4^m}.

となる。特にM＝−4, m＝2として

g(1/3)≧Σ[n＝−4〜1](1/3)^{4^n}(1−(1/3)^{4^n})＝：β,
g(1/2)≦1−(1/2)^{4^{−4}}＋Σ[n＝−4〜1](1/2)^{4^n}(1−(1/2)^{4^n})＋(1/2)^{4^2}＝：α

となる。α,βともに有限項の計算でしかないが、人間の手で計算するのは無理があるので、
wolfram alpha で数値計算する。すると、

β＝0.499849960745428543744377819829608038347726011327545975385
α＝0.499054407972774107790531301512118479363010992347234146756

となるので、g(1/2)≦α＜β≦g(1/3)ということになる。つまりg(1/3)≠g(1/2)である。qed