久々に投稿。（個人的に）未解決なので注意
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次の主張は成り立つか：球面S^2（⊂R^3）を
・S^2 = ∪_(n=1〜5) f_n(D)
(ただし D は S^2 のルベーグ可測な部分集合、f_i は直行群の元で表される１次変換)
・n≠m の時 f_n(D)∩f_m(D) は（可微分多様体としてのS^2の）零集合
を満たすように合同な５つのパーツ f_n(D) (n=1,…,5) に"分割"する時、
f_n○(f_m)^(-1) (n≠m)
と表される全ての合成変換に共通する実固有ベクトルが存在する。
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５分割でなく、例えば4,6,8,12,20であれば正多面体を利用して自明でない合同分割が得られ、
少し工夫すると60や全ての８の倍数も可能。
（合同分割が自明であるとは、上のような状況設定で共通する実固有ベクトルが「存在する」ことをいう。
つまり上の主張は「球面の5-合同分割は全て自明である」と言い換えられる）