>>697
ここでa^n-1とa^m-1が同じ素因数セットcで割り切れるとする(素因数はこれのみでなくてもよい)。

n>mとすると、a^n-1=(a^m-1)*a^(n-m)+a^(n-m)-1なので、べきがn-mのaの累乗-1も同じセットcで割り切れると分かる。
これを繰り返してn-mkが正である限り好きなだけ小さい、セットcで割り切れるべきを得られる。
これは互除法と同じ。

つまりnとmが互いに素な場合、a^n-1とa^m-1の2数が共通の約数を持つなら、その約数はa-1の約数でないといけない。

つまり、a-1と全く同じ素因数を過不足なく持つaのべき-1を探せば、mnが互いに素なこういう解を探すのと同じことになる。

解となるnとmが互いに素じゃない場合は、その最大公約数をdとして、a^dを新しいa'に設定すればこれでべきが互いに素になるから同じ。

だからa-1のもつ素因数のみを、欠けずに全てもつa^n-1が存在するような自然数a、nの組はあるか？という問になる。