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分からない問題はここに書いてね450

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0643１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/03(日) 16:56:45.76ID:I+9lMF3X
>>641
背理法で証明する。
I=[a, b], a≠bとする。
あるx_1, x_2∈Iが存在し, x_1 < x_2かつf(x_1) ≧ f(x_2)と仮定する。
f(x_1) = f(x_2)のときは明らかにfの単射性に反する。
f(x_1) > f(x_2)のときは、
fはIで連続なので中間値の定理よりf(c) = f(x_2) となるcがaとx_1の間に存在する。
これはfの単射性に反する。
0644１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/03(日) 17:31:10.26ID:eUd+pqcC
>>642
三角形APQの面積は、
PがAB上にあるときはAPを底辺にして考える
PがBC上にあるときはAQを底辺にして考える
とすると早いかな
0645１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 17:40:03.61ID:QijVyK5+
>>644
4≦x≦5がわからないです……
0646１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 17:49:46.22ID:xBNc0f0v
>>645
後半は削ったほうが楽じゃないかな

QからBCに垂線QHを引いたら、△CQH∽△CABで、CQがわかってるから
QH、CHの長さもわかって、△CQHの面積がわかる。（相似比使ってもいいけど）
△APQ=△APC-△CPQ
で
PC=14-2xで
△APC=PC×AB/2
だから、△APCもわかる。

なので、△APQも計算できるよーでおしまい。
0647１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/03(日) 17:57:09.36ID:xBNc0f0v
>>646
自分のメモが汚すぎて間違えた…

>> QからBCに垂線QHを引いたら、△CQH∽△CABで、CQがわかってるから
>> QH、CHの長さもわかって、△CQHの面積がわかる。（相似比使ってもいいけど）

QからBCに垂線QHを引いたら、△CQH∽△CABで、CQがわかってるから
QHの長さもわかって、
△CPQ=QH×CP/2
だから、△CPQの面積がわかる。（辺の比で△CPQ=△ABC×(CQ/10)×(CP/6)でもいいか）

===
てことです。
0648１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 18:03:01.82ID:doFFc48n
>>642
問題が間違ってないか？

0<x≦4
y=(6/5)* x^2

4≦x≦5
y=(8/5)*|x^2-4x-3|

5≦x≦7
y=8(7-t)
0649１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 18:18:02.26ID:doFFc48n
すまん、間違えた

0<x≦4
y=(6/5)* x^2

4≦x≦5
y=(8/5)*x(7-x)

5≦x≦7
y=8(7-x)
0651１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 19:33:47.20ID:m6pOABtb
頂点Cから辺ABへの距離は 8×6÷10＝24/5
x=4 のとき P=C なので、AQを底辺としたときの△APQの高さは 24/5、
x=5 のときはその (4/6) 倍で 16/5
これらから、AQを底辺としたときの△APQの高さ=56/5-(8/5)x
一方、AQ=2x
よって △APQ = (1/2)AQ×高さ = (以下略)
0652１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 20:04:35.22ID:wLIpAp6k
>>643

間違っていますね。
0653１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 20:06:04.18ID:wLIpAp6k
f が単調増加だと仮定すると、 f は単調増加であるということを言っているだけですよね。
0654１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 20:37:33.77ID:oamzFL6l
問題解いて欲しいが、画像の貼り方が分からん
0655１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 20:39:03.49ID:Mli4VbJ1
>>652
問題の区間Iの設定、定義が曖昧。
実数区間なのか順序は？など。
実数の閉区間と仮定するが、
背理法で証明する。
I=[a, b], a≠bとする。fは単射だからf(a)=f(b)は明らかに成り立たないので、
f(a)<f(b)とし、単調増であることを示す。単調減の場合の証明も同様。

fは閉区間Iで連続なのでIで最小値mをとる。そのときm=f(α)とする。
同様に、fはIで最大値M=f(β)をとる。
J=[α, β]⊂Iでfが単調増であることを示す。
あるx_1, x_2∈Jが存在し, x_1 < x_2かつf(x_1) ≧ f(x_2)と仮定する。
f(x_1) = f(x_2)のときは明らかにfの単射性に反する。
f(x_1) > f(x_2)のときは、
fはJで連続なので中間値の定理よりf(c) = f(x_2) となるcがαとx_1の間に存在する。
これはfの単射性に反する。つまり、
任意のx_1, x_2∈Jに対し,　x_1 < x_2ならば、f(x_1) < f(x_2)
a<αかつf(a)≧f(α)と仮定すると、
これまでと同様の議論でf(a)=f(α)のときは明らかに矛盾、また、
不等号のときは十分小さいαの近傍で
中間値の定理より
s,t∈I, s<α<tでf(s)=f(t)となるs,tが存在し、単射性に反する。
よって、a<αならば、f(a)<f(α)
しかし、これはf(α)の最小性に矛盾。
よってa=αでなければならない。
b=βの証明も同様。
0656１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 20:56:03.96ID:qNjH1yw4
数学の問題を説いたのですがあってるのかわからないので確認お願いします
大学一年ですのでそこまで難しくないはずです...
https://imgur.com/NVlFnub
https://imgur.com/PdiiDn7
0657１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 21:03:55.20ID:wLIpAp6k
>>655

区間は、以下のどれかです。

(a, b)
(a, b]
[a, b)
[a, b]
(-∞, b)
(-∞, b]
(a, +∞)
[a, +∞)
(-∞, +∞)

但し、 a ≦ b、 a, b ∈ R とする。
0658１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/03(日) 21:06:04.55ID:wLIpAp6k
なお、すべての場合に通用するエレガントな解法が教科書には書いてありましたが、素朴な方法が知りたかったので質問しました。
0659１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/03(日) 21:29:02.04ID:nxEzIXIW
数学初心者で、彌永先生の集合位相を読んでます。
非順序対の存在は証明できたのですが、「問題 1.5 のつぎの (ⅰ), (ⅱ) が成り立つことを示せ.」がよくわかりません。どなたかヒントください。
https://i.imgur.com/7cup5Rf.jpg
0661１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/03(日) 22:16:05.99ID:4+CPWVnX
>>660
4(√2 -1), 8√2
であってる？
0662１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/03(日) 22:20:25.33ID:4+CPWVnX
>>661
面積間違えた
0663１３２人目の素数さん
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2019/02/03(日) 22:29:01.14ID:4+CPWVnX
>>660
OE=4(√2 -1),
△BEF=8(2 -√2)
0664１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/03(日) 23:22:11.18ID:YUVIoBEx
sum[k=0...min(p,q)] C{p,k} C{q,k} = (p+q)!/ (p! q! )
ちょいと意味合いを考えれば この等式が成立する事は明らかなのですが
式変形での示し方がさっぱり分からないので教えてください。
0666イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/02/04(月) 01:05:15.21ID:wo4Q+gL7
>>660
OE=4√2-4
(DE=8-4√2)
たぶんOEだと思うけど、
手書きでDEにも見えるんで一応。
△EFB=8√2･(8-4√2)^2/(4√2)^2･4√2/(8-4√2)
=8√2･(8-4√2)/4√2
=16-8√2
あってるかな？
0667１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 01:46:18.46ID:/0JrilkG
可微分多様体における埋め込みを、「単射かつ固有(コンパクト部分集合の逆像がコンパクト)なはめ込み」と定義するのは一般的ですか？
0669１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 02:31:42.06ID:v5Ygf6l9
X_0,X_1を単連結かつ局所弧状連結としてp_0:X_0→X,p_1:X_1→Xをn重被覆とするとき、p_1,p_2が同値であることを示せ

S1,S1×S1,単連結かつ局所弧状連結な位相空間、それぞれを底空間とする被覆空間を全て求めよ

お願いします
0670１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 02:55:28.39ID:JprV8WCK
>>667
一般的ではないと思います
開部分多様体の包含写像は埋め込みと考えるのが普通ですが、properとは限りません

>>669
被覆空間の理論、特に基本群との関わりや普遍被覆空間について勉強してください
被覆理論の中ではとても基本的な問題です
0672１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 09:15:42.93ID:862M2DRs
>>641
　g(x,y) = (y-x){f(y)-f(x)}
とおくと、g は連続である。
fは1対1だから
　x≠y　⇒　g(x,y) ≠ 0,

背理法で証明する。
領域 D = {(x,y) | x<y } で考える。
或る A,B∈D に対して g(A)g(B) <0 だったと仮定する。
領域Dは連結だから AとBを結ぶJordan弧Γが存在する。
gは連続だから、中間値の定理によりΓ上の或る点C で g(C)=0 となる。(矛盾)
∴　g はDで定符号。
∴　ｆ は増加関数または減少関数。
0674１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 12:28:06.59ID:UQQ+IDNz
３ｘ３のマス目で三目並べをすると両者最善をつくすと引き分けになりますが
両者がランダムに打つと先手が勝つ確率と引き分けの確率はどうなるか
0675イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/02/04(月) 12:38:02.59ID:wo4Q+gL7
前>>666
>>674そんなことないだろ。先手なら勝つ。
□┃□┃●
━╋━╋━
□┃□┃□
━╋━╋━
□┃□┃□
0677イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/02/04(月) 13:10:01.73ID:wo4Q+gL7
前>>675
>>676見ろ、俺の勝ちだ。
□┃□┃●
━╋━╋━
□┃×┃□
━╋━╋━
●┃□┃□
0679イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/02/04(月) 13:20:58.00ID:wo4Q+gL7
前>>677
>>678やりおるな。
□┃□┃●
━╋━╋━
●┃×┃×
━╋━╋━
●┃□┃□
0683１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 14:27:22.30ID:UZzDpsmh
>>674
先手後手ともに空いているマスを無作為に選んで打つ場合の確率

先手勝ち 約57.3% 17327/30240
後手勝ち 約30.0%　9073/30240
引き分け 約12.7% 　　8/63
0684イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/02/04(月) 14:36:01.31ID:wo4Q+gL7
前>>681
>>682やるさ。やらいでか。せやて勝つかもしれんじゃないか。
×┃●┃●
━╋━╋━
●┃×┃×
━╋━╋━
●┃×┃●
0686１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 15:17:24.46ID:lKG5DED2
係数と定数項が0でない座標空間内の平面式を作り、それを表す方程式が重回帰式になるようにその平面上にない点を含む4点を決めよ。

解析学の問題です。どなたかお願いします…
0688１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 16:25:51.82ID:UZzDpsmh
>>685
導出方法
盤面の９マスを５つの●と４つの×で埋める組み合わせは、対称形も含めて 9C5=9C4=126通り。そのうち、
1)●×共ビンゴなし:16通り
2)●のみビンゴあり:62通り
3)×のみビンゴあり:12通り
4)●×共ビンゴあり:36通り
(1)～(3)について結果は明らか。
(4)は、先にビンゴを取る確率は手順で決まるが、各々数え上げると ●:×=13:27 の比率となる。

以上より、
先手勝ち = 62/126+(36/126)*(13/40) = 737/1260
後手勝ち = 12/126+(36/126)*(27/40) = 121/420
引き分け = 16/126 = 8/63
0689１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 21:23:55.19ID:+f81JiDc
∮(2xx+1)/xx+x+1
∮∮xysin(π(xx+yy))dxdy D= xx+yy≦1 0≦y≦x

お願いします！
0690１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 21:54:56.63ID:yj36nFFJ
xy座標に対して新しくXY座標を以下の手順で作る。

・XY座標の原点(0,0)は、xy平面の座標では(a,b)である。a,bは負でない実数である。
・X軸の正の向きは、x軸の正の向きから反時計回りにθだけ回転している(0<θ<π/2)。
・Y軸の正の向きはX軸の正の向きから反時計回りにπ/2だけ回転している。

このとき、xy平面でもXY平面でも座標が同じ点が存在することを示せ。
またそのような点の個数は何個か。
0691１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/04(月) 23:15:12.79ID:ckgBClyT
>>637
ありがとうございます
3.4わかるかたいますか？
途中まででも結構です
0692１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 10:59:13.23ID:xI3EwwZt
>>689
(上)
　(2xx+1)/(xx+x+1) = 2 - (2x+1)/(xx+x+1),
∫(2xx+1)/(xx+x+1) dx = 2x - log(xx+x+1) +c,

(下)
　X = πxx,　Y = πyy　とおくと
　dX = 2πx dx,　dY = 2πy dy
∬ xy sin(π(xx+yy)) dx dy
　= (1/2π)^2 ∬ sin(X+Y)) dX dY
　= (1/2π)^2 ∫{ -cos(X+Y)} dY
　= -(1/2π)^2 sin(X+Y)
　= -(1/2π)^2 sin(π(xx+yy)),
0693１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 11:36:04.34ID:xI3EwwZt
>>689 (下)　続き

D~ = {(X,Y)| X+Y≦π, 0≦Y≦X } = {(X,Y)| 0≦X≦π, 0≦Y≦min(X,π-X)}
より
∬_D xy sin(π(xx+yy)) dy dx
　= (1/2π)^2 (1/2)∬_D~ sin(X+Y) dY dX
　= (1/2π)^2 ∫[0,π] ∫[0,min(X,π-X)] sin(X+Y) dY dX
　= (1/2π)^2 ∫[0,π/2] ∫[0,X] sin(X+Y) dY dX + (1/2π)^2 ∫[π/2,π] ∫[0,π-X] sin(X+Y) dY dX
　= (1/2π)^2 ∫[0,π/2] {cos(X) - cos(2X)}dX + (1/2π)^2 ∫[π/2,π] {cos(X) - cos(π)}dX
　= (1/2π)^2 [ sin(X) -(1/2)sin(2X) ](X=0,π/2) + (1/2π)^2 [ sin(X) +X ](X=π/2,π)
　= (1/2π)^2 + (1/2π)^2 (π/2 -1)
　= (1/2π)^2 (π/2)
　= 1/(8π),
0694１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 13:42:11.38ID:da9jPBxY
>>690
行列を使う。座標変換の手順通り地道に計算するだけ。
θの範囲の条件から⊿>0となり
係数行列が逆行列をもち(x,y)が定まることがわかる。

ちなみに不動点の座標(x,y)は
f(θ)=sinθ/(1-cosθ)とすると
x=(a-b*f(θ))/2
y=(a*f(θ)+b)/2
0696１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 16:47:31.55ID:S8MgQgy4
複素平面と行列のどちらかを選ぶときに行列を選ぶのが20世紀少年。
俺もおっさんなので特に理由がなければ行列を使う。
0697１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 17:52:56.25ID:9pU6PnXd
東進数学コンクールの問題に挑戦しようとしたのですが、無理でした。
締め切りを過ぎたので、今回はあきらめようと思うのですが、答が気になってしかたないのです。
どなたか、ヒントでもいいので、お願いいたします。
https://www.toshin.com/sp/concours/
0698１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 18:00:15.15ID:mC/meCKO
>>695
複素数で回転させたとしても、
実部、虚部を係数比較して連立方程式が出てくるだろ？
それが解をもつ条件を考えて解くとき、
どっちにしても線型代数の知識を使うんじゃね？
0699１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 18:14:24.69ID:Lrv9KmWr
>>690を複素数で解くなら
解を持つことを示せばいいだけだから

zの1次方程式を作る
θの条件より、zの1次の項≠0
∴zは解を持つ

でおk
同時に解が1つのみであることも示せる
0700１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 18:19:44.41ID:eQPcBc1g
四面体OABCがあり、３辺OA,OB,OCはともに長さ３で互いに垂直である。
１.頂点Oから底面ABCへ下ろした垂線OHの長さを求めよ

どうかお願いします
0702１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 18:34:01.80ID:eQPcBc1g
>>701
すみません、解き方も教えていただけないでしょうか。
0703１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 18:49:27.17ID:xXDh4jM7
aを正の実数とする。2円C1とC2があり、C1の方程式は
C1: x^2+(y-a)^2=a^2
である。C2は半径rの円で、C1とx>0の領域で外接し、またx軸と接しており、C1とC2は互いに外部にある。

（1）rとaの満たす関係式を求めよ。

（2）C1、C2、のいずれとも外接し、x軸と接する円をC3とおく。円Ciの中心をPiとおき、△P1P2P3の面積をS(r)とおく。
T(r)=(√3/4)*(r+a)^2とおくとき、r>0におけるS(r)/T(r)の増減を調べよ。
0705１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 19:38:40.62ID:rBQy+YKy
ボードゲームの原価率はどうあるべきか？
http://yaplog.jp/drosselmeyers/archive/115
自作カードゲームの印刷価格を調べてみた
https://kdsn.xyz/original_card_print_price/
知育に最適、自作教材！かんたんオリジナルカードゲームで数字の勉強！
http://yuu73.xsrv.jp/jisaku-kyouzai
ゼロから始めるボードゲーム制作
https://trap.jp/post/450/
ボードゲームはどう作るのか、自分なりに考えた
http://roy.hatenablog.com/entry/2014/07/09/124824
カフェも急増　ボードゲームにアラサーがハマる理由
http://style.nikkei.com/article/DGXMZO10921930R21C16A2000000?channel=DF260120166491
ボードゲームの展示イベント「ゲームマーケット」の成長記録からこれからの
市場に必要なことを妄想してみた。6年間の来場者数推移（2016年4月時点調べ）
https://bodoge.hoobby.net/columns/00001
ボードゲーム市場がクラウドファンディングの出現で急成長を遂げ市場規模を拡大中
http://gigazine.net/news/20150820-board-game-crowdfunding/
0706イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/02/05(火) 20:12:32.52ID:3ifx+gi9
>>700
OA、OB、OCはたがいに直交するから、
AB=AC=BC=3√2
四面体OABC=△ABC×OH×(1/3)
=(1/2)×3^2×(1/3)×3
=9/2
△ABCは一辺3√2の正三角形なんで、底辺をBC=3√2と見ると、高さはAB=3√2に対する(√3)/2だから、
△ABC=3√2×(3√2×√3/2)×(1/2)
=(9√3)/2
∴(9√3)/2×OH×1/3=9/2
OH=(9/2)×2/(9√3)×3
=3/√3
=√3
0708１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 22:06:18.16ID:EnTe07Hf
A:ネーター環
B:Aの剰余環
としたとき、BはA加群としてネーターですが、
B加群としてもネーターになるのはなぜでしょうか？
0709１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 22:42:36.54ID:iOo7FxK6
>>697
b1～bnが全て1の時題意は満たさないので1以外の数を含むとしてよい。
1以外の数が一つでもある場合1はあってもなくても変わらない（好きに指数を決められるから）ので全て取り除く。
よってb1～bnは全て1でないとしてよい。

またb1～bnは全て互いに素だから分解した時同じ素因数を一切含まない。
だからb1～bnに合成数があって、異なる解(x,y)のセットを2組持つ場合、
bに含まれる合成数を全て素因数分解して、素数のみからなる新しいbのセットを作れば、それもまた異なる解(x,y)のセットを2組以上持つ。

だからまずb1～bnは全て異なる素数として考える。
合成数を含む組については、あとでbのうちいくつかやそのべきを適当にかけ合わせて、xyの組が2つ以上構成できるものがあるか探せば良い。

こういうわけで結局問は、正整数aに対して、a^n-1とa^m-1が過不足なく互いに全く同じ素因数のセットを持つような、異なるn、mを持つものを探せということになる。
0710１３２人目の素数さん
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2019/02/05(火) 22:43:08.75ID:iOo7FxK6
>>697
ここでa^n-1とa^m-1が同じ素因数セットcで割り切れるとする(素因数はこれのみでなくてもよい)。

n>mとすると、a^n-1=(a^m-1)*a^(n-m)+a^(n-m)-1なので、べきがn-mのaの累乗-1も同じセットcで割り切れると分かる。
これを繰り返してn-mkが正である限り好きなだけ小さい、セットcで割り切れるべきを得られる。
これは互除法と同じ。

つまりnとmが互いに素な場合、a^n-1とa^m-1の2数が共通の約数を持つなら、その約数はa-1の約数でないといけない。

つまり、a-1と全く同じ素因数を過不足なく持つaのべき-1を探せば、mnが互いに素なこういう解を探すのと同じことになる。

解となるnとmが互いに素じゃない場合は、その最大公約数をdとして、a^dを新しいa'に設定すればこれでべきが互いに素になるから同じ。

だからa-1のもつ素因数のみを、欠けずに全てもつa^n-1が存在するような自然数a、nの組はあるか？という問になる。
0711１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/05(火) 22:46:50.31ID:iOo7FxK6
>>697
あるaに対してこのようなnで最小のものをNとする。
a-1を割り切る全ての素数のうち任意のものをbとする。bでない素数をqとする。
位数の性質から、Nの約数d全てについて、a^d-1を割り切るqは存在しない。
また全てのa^d-1はbで割り切れるので、これはa^d-1も問の解であることを意味する。

つまり、Nは素数でないといけない。
あとはこのNが仮にbに含まれるなら、
a^(N-1)≡1(modN)だから、Nが最小なものである以上N=2が確定して

この場合解はa=3,b=2しかない

Nがbに含まれることの証明がわからん
ギブアップ
0714１３２人目の素数さん
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2019/02/06(水) 00:26:12.04ID:BEeFkno9
ジグモンディの定理って数オリで使えんの？
証明書くの無理じゃね？
こういう時に「写経」が役立つのか笑
0715１３２人目の素数さん
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2019/02/06(水) 00:34:32.94ID:26Xz3TPl
>>713
記号は先の通りとして、f:A→Bを自然な準同型としたとき、B加群Mの部分加群と、fでの制限としてのA加群Mの部分加群が同じになるのでしょうか？
0716１３２人目の素数さん
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2019/02/06(水) 00:35:45.83ID:+dJ9vhGm
>>709-711
>>710の最後の一文の前までは同意しますが、そこからは少し違うのではないかと思います
問題文は「対応するどの成分も一致しないようなものが２つ」なので、a^n-1はa-1と同じ素因数を含むだけではなく、さらに各素因数の冪が大きくないといけません
(a^n-1)/(a-1)がちょうどa-1と同じ素因数を含む、と言い換えることもできます
(この条件を無視すると
7^2-1=48=2^4*3^1
7-1=6=2^1*3^1
等、無数に解がでてきます)

Zsigmondyの定理というより一般的な結果を示した定理があるのですが、この問題はその一部を示す問題といえます
(定理についてはhttps://mathtrain.jp/7theoremの6番など)

但し定理の証明には普通は大学数学を用いるので、以下元の問題の高校生向けの証明を書いておきます

つづく
0717１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/06(水) 00:36:37.80ID:+dJ9vhGm
つづき

簡単のため
a-1=p^k
a^n-1=p^l
とする(pは素数、k<l)
(素因数が複数の場合もほぼ同様にしてできる)

(a^n-1)/(a-1)=1+a+……+a^(n-1)=p^(l-k)
いま
a≡1 (mod p)
なので、上式をmod pで考えることにより
n≡0 (mod p)
を得る
(素因数が複数の場合は各素因数でmodをとることにより、nがa-1の任意の素因数で割り切れることが分かる)

a^p-1はa-1の倍数であり、またa^n-1の約数となるので、a-1と丁度同じ素因数を含む
よって
a^p-1=p^m
と書ける
(素因数が複数の場合は
a^(pq)-1=p^m*q^m' (m≧1,m'≧1)
などと書ける)

a=1+p^kを代入して
(1+p^k)^p -1=p^m
左辺を二項定理を用いて展開すると
p^(k+1)+(p(p-1)/2)*p^2k+……+p^kp
p>2のとき、各項のpの指数は
第1項:k+1
第2項以降:2k+1以上
となるので、
p^(k+1)*(1+p*(0でない整数))
と書ける
これは式の値がp^mであることに矛盾
(素因数が複数の場合は同様にして矛盾が導ける)

p=2のとき、左辺は
2^(k+1)+2^2k
これが2^mと書けるのはk+1=2kすなわちk=1のときのみ

以上より答えは
(a,b)=(3,2)
0718１３２人目の素数さん
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2019/02/06(水) 00:39:05.17ID:bArcMKpl
>>714
さぁ？
懸賞問題なんだから何つ使ってもいいんじゃないの？
きちんと Reference つければ。
数オリのルールなんかどうでもいい。
0720１３２人目の素数さん
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2019/02/06(水) 01:22:08.31ID:26Xz3TPl
>>719
確かに、Z→Rとして加群Rを考えればQは部分Z加群だけど部分R加群にはなりませんね
ありがとうございます
0721１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/06(水) 01:58:06.54ID:/r47/vPf
東進の数学コンクールの質問をした者です。
皆様、ありがとうございます。
さすがに専門家はちがいますね。
自分も、皆様のようになれるように頑張ります。ありがとうございました。
0722１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/06(水) 06:00:24.26ID:qKduZ/Zy
aを正の実定数とする。
定円C1と、正の範囲を動く実数b,rの値により変化する円C2があり、それぞれの方程式は

C1: x^2+(y-a)^2=a^2
C2: (x-b)^2+(y-r)^2=r^2

である。
C1とC2が外接しているとき、以下の問に答えよ。

（1）bをrの関数とみなし、rとaで表せ。

（2）円C3は方程式
C3: (x-c)^2+(y-d)^2=d^2
の形で表すことができ、0<c<bかつd>0を満たす。
またC3はC1と外接し、C2とも外接する。c,dをそれぞれrとaで表せ。

引き続き、C3は（2）の位置関係にある円とする。

（3）円C_i(i=1,2,3)の中心をP_iとおく。
△P_1P_2P_3の面積Sをrの関数とみてS=f(r)とおく。このとき以下の設問に答えよ。

（i）3つの線分P_1P_2、P_2P_3、P_3P_1の長さを比較し、大きくない順に並べよ。

（ii）（i）の順に並べた線分長をL≦M≦Nの形式で表したとき、Mをrとaで表せ。

（iii）rの関数T(r)をT(r)=(√3/4)*M^2と定める。g(r)=f(r)/T(r)とおくとき、g(r)/T(r)の増減を調べよ。
0726１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/06(水) 13:32:22.27ID:uDKixBno
質問場所が異なれば誘導お願いします

ある数の平方根を求めて、さらにその数の平方根を求めて・・を繰り返すと
最終的にどうなるの？と子供に聞かれました。
a>0の時は1に近づくというのは理解して教えられたのですが
a<0の時にどうなるのかが分かりません。
どなたか中学数学レベルの人間にも分かるように教えていただけないでしょうか。
0729１３２人目の素数さん
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2019/02/06(水) 13:43:10.68ID:uDKixBno
>>727
√a = aの1/2乗で、n回ルートにする(すみません変な言い方ですが)と
aの1/2n乗になる
でnがどんどん大きくなっていくと1/2nは0に近づく
aの0乗は1になるから、最終的にaの1/2n乗は1に近づく

こんな感じです。
そこでじゃあaがマイナスだったら？マイナスの平方根だとiってやつが付くんでしょ？
(虚数の概念は良く分かってないようです)と言われ困ってしまった次第です。
0732１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/06(水) 14:04:18.80ID:HvvZB+CF
諦めて複素数と複素平面まで教える
で、2変数関数の収束について説明する

複素数を教えて√iが一体どんな数になるか調べさせてから
本当に説明の続きを知りたいのか確認する
0733１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/06(水) 14:06:25.17ID:X+1KuCl/
>>729
iの平方根は±(1+i)/√2だし、証明はド・モアブルの定理を条件付で
できるけど、中学生に説明するにはなーって感じ
0734１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/06(水) 14:08:19.99ID:BEeFkno9
>>726
負の数-aの√をn回取ったら、根は
|a|の2^n乗根 * (cos(mπ/2^n)+isin(mπ/2^n)) 　(mは奇数整数)になるんじゃないかな

お子さんが虚数について理解しているなら
ド・モアブルの公式の図形的意味（偏角の変化）について教えてあげたら分かると思う
https://i.imgur.com/IcD8s93.png
0735１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/06(水) 19:02:05.77ID:uDKixBno
726です
ありがとうございます、まずは虚数・複素数と複素平面ですね！
恥ずかしながら親の私が複素平面をすっかり忘れてますのでそこからですが
何とか頑張って説明してみます。
0740１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/02/07(木) 01:23:24.64ID:t/cmESHF
y=x+2/π*sin{π(y+x)/2}をy=(xのみの式)で表したいんですがどうすればいいのでしょうか
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