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分からない問題はここに書いてね450
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0002１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/30(日) 11:38:52.62ID:AVuA/6Xx
削除依頼を出しました
0003１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/30(日) 20:48:48.94ID:Cu675cFc
他のスレで質問したらこちらを紹介されました。
　↓↓↓
どなたか紳士か淑女または天才に質問です。
モジュラー方程式の解き方が分らないんですけど、教えてもらえないでしょうか。
modを使うあれです。
例えば、

7a + 5b =1 mod 12
12ab + 5b = 5 mod 7
12ab + 7a = 1 mod 5

のa,bを求めたいです。
modを12x7x5=420でまとめて計算しましたが、上手くいきません。
そのため、ユークリッドの互除法とか中国剰余定理とかいろいろ調べたんですけど、
なんとなくしかわからなくて困っています。
海外のサイトまで似たような問題を探してみたんですが、
未知数が2つになると全然ヒットしません。
それともナビエストークスみたいに現代の数学では解けない問題なんですか？
wolframeでは、一番上の一次式は解けるので、解法は存在するはずなんですが。
しかし、2番目と3番目の二次式はタイムアウトなのか、正確な回答が出ないようです。
勇志の方、どうかよろしくお願いします。
　↑↑↑

それとNavier Stokes方程式の数値データはどこで見れますか。
速度と圧力、粘性係数、密度、外圧、時間、がデータとしてあればいいです。
OpenFoamをインストールしたのですが、使い方が分らないので、
まずはDNSの数値データで確認したいです。
0004１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/30(日) 21:43:57.07ID:XvYA62fB
>>3
計算機でだしていいなら
Prelude> let n = 12*7*5 in [(a,b) | a<-[0..n-1],b<-[0..n-1],mod (7*a + 5*b) 12 ==1,mod (12*a*b + 5*b) 7 == 5,mod (12*a*b+7*a) 5 == 1]
[(1,102),(2,103),(3,380),(4,381),(7,288),(8,25),(9,26),(11,52),(12,293),(14,211),(16,117),
(17,58),(18,395),(19,216),(21,302),(22,123),(23,40),(24,401),(26,307),(28,225),(29,46),
(31,72),(32,73),(33,230),(36,137),(37,138),(38,415),(39,416),(42,323),(43,60),(44,61),
(46,87),(47,328),(49,246),(51,152),(52,93),(53,10),(54,251),(56,337),(57,158),(58,75),
(59,16),(61,342),(63,260),(64,81),(66,107),(67,108),(68,265),(71,172),(72,173),(73,30),
(74,31),(77,358),(78,95),(79,96),(81,122),(82,363),(84,281),(86,187),(87,128),(88,45),
(89,286),(91,372),(92,193),(93,110),(94,51),(96,377),(98,295),(99,116),(101,142),
(102,143),(103,300),(106,207),(107,208),(108,65),(109,66),(112,393),(113,130),
(114,131),(116,157),(117,398),(119,316),(121,222),(122,163),(123,80),(124,321),
(126,407),(127,228),(128,145),(129,86),(131,412),(133,330),(134,151),(136,177),
(137,178),(138,335),(141,242),(142,243),(143,100),(144,101),(147,8),(148,165),
(149,166),(151,192),(152,13),(154,351),(156,257),(157,198),(158,115),(159,356),
(161,22),(162,263),(163,180),(164,121),(166,27),(168,365),(169,186),(171,212),
続く
0005１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/30(日) 21:44:12.59ID:XvYA62fB
続き

(172,213),(173,370),(176,277),(177,278),(178,135),(179,136),(182,43),(183,200),
(184,201),(186,227),(187,48),(189,386),(191,292),(192,233),(193,150),(194,391),
(196,57),(197,298),(198,215),(199,156),(201,62),(203,400),(204,221),(206,247),
(207,248),(208,405),(211,312),(212,313),(213,170),(214,171),(217,78),(218,235),
(219,236),(221,262),(222,83),(224,1),(226,327),(227,268),(228,185),(229,6),(231,92),
(232,333),(233,250),(234,191),(236,97),(238,15),(239,256),(241,282),(242,283),(243,20),
(246,347),(247,348),(248,205),(249,206),(252,113),(253,270),(254,271),(256,297),
(257,118),(259,36),(261,362),(262,303),(263,220),(264,41),(266,127),(267,368),
(268,285),(269,226),(271,132),(273,50),(274,291),(276,317),(277,318),(278,55),
(281,382),(282,383),(283,240),(284,241),(287,148),(288,305),(289,306),(291,332),
(292,153),(294,71),(296,397),(297,338),(298,255),(299,76),(301,162),(302,403),
(303,320),(304,261),(306,167),(308,85),(309,326),(311,352),(312,353),(313,90),
(316,417),(317,418),(318,275),(319,276),(322,183),(323,340),(324,341),(326,367),
(327,188),(329,106),(331,12),(332,373),(333,290),(334,111),(336,197),(337,18),
(338,355),(339,296),(341,202),(343,120),(344,361),(346,387),(347,388),(348,125),
(351,32),(352,33),(353,310),(354,311),(357,218),(358,375),(359,376),(361,402),
(362,223),(364,141),(366,47),(367,408),(368,325),(369,146),(371,232),(372,53),
(373,390),(374,331),(376,237),(378,155),(379,396),(381,2),(382,3),(383,160),(386,67),
(387,68),(388,345),(389,346),(392,253),(393,410),(394,411),(396,17),(397,258),
(399,176),(401,82),(402,23),(403,360),(404,181),(406,267),(407,88),(408,5),(409,366),
(411,272),(413,190),(414,11),(416,37),(417,38),(418,195)]
0006１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 06:03:25.69ID:7lD5urXw
>>4
早速のレスありがとうございます。

私も計算機は試しましたが、解答は一つになるはずなんです。
この>>4の結果は、恐らく420個くらいあると思うのですが、
これは12x7x5=420個と関連があると思います。
つまり、元の式を2倍すれば、解答の個数も2倍になり、
候補が膨張していきます。

そのため、一つに絞るためには最小レベルでまとめる必要があり、
今回の場合ではa=3+4mになるかもしれないし、b=2+3nになるかもしれません。
これは答えではないですが、イメージとしてはこのような形式の解答になり、
これくらい小さくまとまる可能性があるということです。

せっかく計算機でループしてもらってすいませんが、
少し期待する解答とは異なります。
ちなみに、>>4さんの解答の中には本当の答えが一つだけ存在します。
解答の形式としては、小さくまとまったa=3+4mのような形式と、
a=100、b=200というような形式の二つがあるということです。
後者の形式はmodが12のように低く設定されているので
求まらないのではないかと考えられます。
0007１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 07:17:20.76ID:FKhPkZl9
>>6
>解答は一つになるはずなんです。

そう考える根拠はなんなん？
どっかの問題なん？

短くするなら 5(b-a) ≡ 1 (mod 12) b-a ≡ 5 (mod12)となり
b = a+5+12k
とおける。
a^2 + 12(k+1)a -1 ≡ 0 (mod 5)
により
a ≡ -6(k+1) ± √(36k^2+72k+35) (mod 5)
であるから (k,a) ≡ (1,3),(2,2),(4,1),(4,4) (mod 5)。
それぞれのケースを12ab+5b≡5 (mod 7)に代入すれば短い表現はできるけど数学的には意味ある作業じゃない。
しょうもないだけ。
0008１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 07:40:08.73ID:5Zpn8kIg
>>6
＞解答は一つになるはずなんです。
もしそういう前提なら問題を写し間違えてるのかもね

7にもあるように>>3の問題を簡単化すると
b-a≡5 (mod 12) → 解は12を法として12通り (a,b)≡(0,5),(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10),(6,11),(7,0),(8,1),(9,2),(10,3),(11,4) (mod 12)
b(a+1)≡1 (mod 7) → 解は7を法として6通り (a,b)≡(0,1),(1,4),(2,5),(3,2),(4,3),(5,6) (mod 7)
a(b+1)≡3 (mod 5) → 解は5を法として4通り (a,b)≡(1,2),(2,3),(3,0),(4,1) (mod 5)

よって大雑把に言うと、解は12*7*5=420を法として12*6*4=288通り
4〜5 の回答とも一致するはず
0009１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 10:53:25.54ID:yaS+NxvF
うーん。やっぱりわかる人はいないか。

>>7
a ≡ -6(k+1) ± √(36k^2+72k+35) (mod 5)
であるから (k,a) ≡ (1,3),(2,2),(4,1),(4,4) (mod 5)。

kを平方根部分に代入しても整数にはならないみたいです。
√(36x1x1+72x1+35)=11.9582

イメージとしては12通り、6通り、4通りの3つのグループで共通する一つの解を見つける感じです。
だから、それぞれのグループで異なる形式をしていても、本質的には共通する一つの解を見出す必要があります。
modの数値を大きくして、候補を多くするのではなく、
反対にmodの数値を小さくして候補を一つに絞ります。
答えがmodを含む形でもいいのは、それが科学的に重要な意味があるからです。
数学的意味があるかどうかは関係ありません。
とはいえ、これは数学の問題なので、こちらに投稿させていただきました。
しかし、期待する回答は得られませんでした。残念。
0010１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 10:55:17.35ID:yaS+NxvF
書き忘れましたが、この問題について考えて頂いた勇志の方、
しょーもない問題に付き合わせてしまってすみませんでした。
もう一度自分の頭で考えてみます。
ありがとうございました。ではでは。
0011学術
垢版 |
2018/12/31(月) 12:36:43.96ID:O82e6c+A
数学を振り返ってみると、数学時代は一番いい時代だった。
0012１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 12:58:40.00ID:WhJD0x31
>>9
そら数学が論理的帰結を無視して期待通りにできたら、宇宙の法則だって乱れるさ
0013１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 14:06:29.11ID:d13PIu5N
いや、おそらく>>9が言いたいのは、mod420 で表される288通りの解を1通りの式で表しなさい、ってことかと。

例えば
st≡1 (mod 5)
uv≡1 (mod 7)
となるような媒介変数 s,t,u,v を使って

a≡f(s,u) (mod 420)
b≡g(t,v) (mod 420)

の形で表すことができたら>>9は満足なのかも。
0015１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 17:05:09.25ID:8viLx2WK
>>13
なにがいいたいのかわからないではないが

>>9
>kを平方根部分に代入しても整数にはならないみたいです。
>√(36x1x1+72x1+35)=11.9582

とか言ってるようではねぇ？
mod 5 での平方根の処理まで解説してられない。
0017１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 17:56:26.39ID:+vCode2O
K, E1, E2 を体とする。
K は E1, E2 の部分体とする。

E1 ∩ E2 は体になることを示せ。
0019１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 19:23:34.05ID:lZNtWIEW
■速報■

無限に続くと思われていた円周率がついに終りを迎えた
千葉電波大学の研究グループがこれまでの円周率演算プログラムに
誤りがあったことを発見
同大のスーパーコンピュータ「ディープ・ホワイト」を使って
改めて計算しなおしたところ、１７３２７０２９桁目で割り切れたという

１７３２７０２９桁目の最後の数字は「７」だった

千葉電波大学の研究グループの発表によると、
円周率計算に際し、改めて既存の円周率計算プログラムを
点検してみたところ、円周の誤差を修正する数値に
誤りがあることに気が付いた
この数値を正常値に直して計算しなおしてみたところ、
円周率は１７３２７０２９桁で割り切れたという
0020１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 19:44:36.28ID:+vCode2O
部分環について質問です。

「
R を単位元をもつ環とする。

R' が単位元をもつ環であるとき、 R の部分環という。
」

とはなぜ定義しないのでしょうか？

つまり、 R' が単位元をもつ環であって、かつ、 R の単位元を含まない場合に、
R' を部分環からなぜ排除するのでしょうか？
0021１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 19:45:49.38ID:+vCode2O
訂正します：

部分環について質問です。

「
R を単位元をもつ環とする。

R の部分集合 R' が単位元をもつ環であるとき、 R の部分環という。
」

とはなぜ定義しないのでしょうか？

つまり、 R の部分集合 R' が単位元をもつ環であって、かつ、 R の単位元を含まない場合に、
R' を部分環からなぜ排除するのでしょうか？
0022１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 20:14:42.14ID:+vCode2O
今、上野さんのことだから「もしや？」と思い、上野健爾著『代数入門』を調べてみました。

「可換環 R が与えられたとき、 R の部分集合 S が R の和と積に関して閉じていて、この和と
積に関して可換環になるとき、 S を R の部分環（subring）であるという。」

などと書いてありました。

上野さんの本での「可換環」は乗法に関する単位元をもちます。

上野健爾さんは大丈夫な人なんでしょうか？
0023１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 21:12:31.33ID:AWqsdek+
これ解ける方おりますか？

nを自然数とする。A,Bはn次実正方対称行列でAの全ての固有値は正で、Bの全ての固有値は非負であると仮定する。

u=u(t)をR^n値の未知関数とする方程式
d^2u/dt^2+B*du/dt+Au=0
を考える。Aの任意の固有値λに対してKer(B)∩Ker(A-λI)={0}を仮定する。このとき上の方程式の任意の解u=u(t)はt→∞でu(t)=0となることを示せ。
0024１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/31(月) 23:56:19.67ID:bZtX71gd
こんな質問するのもあれなんだが、気になったから質問する。

司法試験に合格するのと東京大学大学院数理科学研究科数理科学専攻博士課程修了するのはどっちの方が難しい？

ちなみに両方とも学部は東大。
0025１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 00:37:34.61ID:ZjsXOY9q
でもヒマラヤさんは東大生じゃないから関係ないんじゃないですか？
0027１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 06:22:07.65ID:i9MWj87p
ナンバーズ４は当たる確率が10000の一。

0000から9999の番号を買ったとしても当たる確率は10000の一。
1枚200円だから、ぜ〜んぶ買うと2,000,000円。
賞金の最高金額が100万円。当たっても、100万円の損。
何回も買うと確率論に組み込まれてしまう。

何とかの法則？　定理？で、最初の数枚買うなら当たる確率がある。
(ビギナーズラック）。たった一回で当たる確率は一億分の一。
日本人1億人が、ナンバーズ４を買うとして、
たった一人がたった一回で100万円を手にする確率。
だが、毎回一億人もナンバーズ4を買っていない。とてもあほらしい

以上が、自分が投稿しようと思っていた文章ですが、計算、あってますか？
0028１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 10:12:36.08ID:/kCNEN/H
寺田文行訳『ガロア理論入門』を読んでいます。

K, E1, E2 を体とする。
K は E1, E2 の部分体とする。

ある問題の中で、寺田さんは、 E1 ∩ E2 が体になるということを使っています。

E1, E2 を部分体として含む体 E が存在すれば、
E1 ∩ E2 が体になることは簡単に分かります。

そのような体 E の存在を仮定しない場合、

a, b ∈ E1 ∩ E2 としたとき、

a *1 b ∈ E1
a *2 b ∈ E2

ですが、

a *1 b = a *2 b

でないとまずいですよね？

このあたりはどう考えればいいのでしょうか？
0029１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 10:55:46.24ID:bylOGYZS
三角形の形状決定問題は辺の関係式に直してまとめていくと思うんですが、写真のような二倍して因数分解の方式に落とし込んで、=より、正三角形と出せるのはどういった考えを念頭に置いて計算してるのでしょうか？
こういった類いの計算は暗記しておくべきですか？

https://dotup.org/uploda/dotup.org1734347.jpg
https://dotup.org/uploda/dotup.org1734349.jpg
https://dotup.org/uploda/dotup.org1734351.jpg
https://dotup.org/uploda/dotup.org1734352.jpg
0030１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 12:15:58.08ID:pKc5cC4D
>>29
この変形は、よく使う変形なので覚えておくと便利。
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 1/2((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)
a=b=cの時に両辺とも0になるから、因数定理じゃないけど直観的におもいつきやすいかも。

a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
の右辺にも出てくる
0031１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 12:24:21.27ID:/kCNEN/H
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 1/2((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)


2 * [a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]

[a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca] + [a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]

=

[a^2 - 2*a*b + b^2] +[b^2 - 2*b*c + c^2] + [ c^2 - 2*c*a +a^2]

=

(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2

∴ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = (1/2) * [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]
0034１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 21:35:45.40ID:bylOGYZS
>>33
素数が無限の証明と同じちゃうの？
theorem2 が何か分からんから知らんけど。
Π[f:irr] 1/(1-q^(-deg f)) div.s⇔ Σ [f:irr] q^(-deg f) div.s
を示しておく。
左辺は Σ [f] q^(-deg f) とおなじだから←は明らか。
Σ [f:irr] q^(-deg f が収束するとすれば
-Σ [f:irr] log(1-q^(-deg f))はそれより小さいから収束し、よって Π[f:irr] 1/(1-q^(-deg f)) も収束する。
0035１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 21:39:04.29ID:bylOGYZS
あ、下の方のリンクがTheorem 2 へのリンクなのか。
反転公式使う証明ね。
0036１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 22:08:44.27ID:zweBPVgg
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　 :　:::.,　/ 　 /|￣￣￣￣￣/ 　 /,,;　　（◯）　　:::　ヽ|〃　　;;:
.　　,:.;　/ 　 /|￣￣￣￣￣/ 　 /..,　,;　:ヽ|〃　　,,｡,　　　 ::;;,

ラファエルに直接会ってディスる歌「ラファエルクッキング最高」
http://www.youtube.com/embed/fw-iNonBsi0?playlist=Gjl7zquvb9s,PG41nKiQMFA,6qcwzd8Rgko,BWCMsp9hNdM,uzhvVvhUa3U,a872cPnnjhk,34Wg0HWPVlo,xZrZW2JS4hE&;autoplay=1&loop=1

ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ
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0038１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 22:11:12.47ID:zweBPVgg
⊞ ⊟ ⊠ 〼 ⊡ ◆
⊕ ⊖ ⊗ ⊘ ⦿ ●
0040１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 22:57:26.85ID:hB2NEMBr
>>34
うーん、それと同じですかね
定理2(メビウスの反転公式)のやつを使えとあったのでそこが引っかかっています
0041１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 23:05:55.26ID:hB2NEMBr
>>34
定理2というのが誤植な気がしてきました。
解説ありがとうございます。
素数が無限にある証明がどんなやつなのかわかってないので調べてきます。ありがとうございます。
0042１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 23:40:22.96ID:XKtNhiWs
位相空間の問題が分からない。解ける人がいたら頼む。

(X,d)をコンパクトな距離空間とする。連続写像f：X→Xがあるとする。いま互いに交わらない空でない閉集合K_1、K_2があって

f(K_1)⊃K_2、f(K_2)⊃K_1∪K_2

が成立しているとする。

(1)集合列M_1、M_2、M_3、・・・、M_m、・・・が２条件
(i)各自然数mに対してM_m=K_1またはM_m=K_2
(ii)もしM_k=K_1ならばM_(k+1)=K_2
を満たすとする。この時、あるx∈K_1∪K_2があってf^n(x)∈M_n(nは自然数)とできることを示せ。

(2)(1)の集合列{M_m}_m=1^∞の取り方の全体の濃度は♯(R)となることを示せ。

f^2(x)=f(f(x))、f^3(x)=f(f(f(x)))のように、f^n(x)は自分自身との合成写像を示しています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90
0043１３２人目の素数さん
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2019/01/02(水) 00:26:54.92ID:ozp04/Hn
>>42
まず列が有限の場合には帰納法。
列の長さ1で明らか。
長さ<Nで成立として長さがNのとき
y∈K_1∪K_2があってf^n(y)∈M_(n+1) 2≦n≦N をみたすものがとれる。
(i) M_1 = K_1 のとき
仮定により f(y)∈M_2 = K_2 であるから z∈K_1 を f(z)=y と選べる。
さらに x∈K_1∪K_2 を f(x)=z を満たすようにとれてこれが条件を満たす。
(ii) M_1 = K_2 のとき
仮定により f(y)∈M_2 ⊂ K_1∪K_2 であるから z∈K_2 を f(z)=y と選べる。
さらに x∈K_1∪K_2 を f(x)=z を満たすようにとれてこれが条件を満たす。
以上により長さ有限の場合の証明が終わった。
次にx[N]を
f^n(x[N])∈M_n (1≦n≦N)
を満たすようにとれる。
K_1∪K_2 はコンパクト距離空間だから、必要なら部分列をとってlim x[N]=xが存在するとして良い。
この x が条件を満たす。
0044１３２人目の素数さん
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2019/01/02(水) 01:29:14.53ID:kmE/oyRb
ルービック・立方体(キューブ）の組み合わせ数は
1801439850948198で、あってる？　正しい？
0045１３２人目の素数さん
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2019/01/02(水) 01:29:39.24ID:nsTEkruF
すいません
方べき定理で出てきた答えって結局なんなんですか？
0046１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 01:34:48.64ID:1XTwIlaG
答えです
0047１３２人目の素数さん
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2019/01/02(水) 01:53:56.86ID:nsTEkruF
そういうことじゃ無い
結局その答えはなんの答えなんですか？
問題の答えとか言う回答は待ってません
0048１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 03:02:24.95ID:7wxHl3VN
そういうことじゃないならどういうことなのかはっきり説明してくれ

定理には答えなんて存在しない
そう答えればいいのか？
0049１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 09:26:20.21ID:UKsYtLJs
f_1(x)=x^2 とし、n=1,2,3,...に対して
f_(n+1)(x)=|f_n(x)-1|
と定める。
(1)y=f_2(x), y=f_3(x)の概形を書き,
(2)0≦x≦√(n-1) において 0≦f_n(x)≦1 を,
√(n-1)≦x において f_n(x)=x^2 -(n-1) を示せ。
また,
(3) n≧2 として, y=f_n(x) のグラフとx軸で囲まれた図形の面積をS_nとした時に S_n + S_(n+1) を求めよ。

これを教えてください。
0050１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 11:15:50.98ID:3rBsZ6cK
∫(1/1+x^2)dx = arctan xですよね？

tany = xとおくとdx/dy=1/cos^2=1+x^2
よってdy/dx=1/1+x^2
この式変形の手順自体は理解できるのですが

でもtanxは周期2πの周期関数だからy=arctan x　はxに対して無限個のyを返す多値関数ですよね？
そうすると例えば定積分は定まらなくないですか？

これはどう解釈したらいいのでしょうか？
2πの周期は積分定数のようなものだから〜という説明も考えたのですがやはり納得いきません。

どなたかスッキリ解決できる方はいらっしゃらないでしょうか？
0051１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 11:31:35.20ID:GvDO1SFm
>>29

１３７
次の等式が成り立つとき、△ABCはどのような形の三角形か
　aa+bb+cc = bc(1/2 + cos(A)) + ca(1/2 + cos(B)) + ab(1/2 + cos(C)),

(略解)
第二余弦定理
　cos(A) = (bb+cc-aa)/(2bc),
　cos(B) = (cc+aa-bb)/(2ca),
　cos(C) = (aa+bb-cc)/(2ab),
を与えられた式の右辺に代入すると

bc(1/2 + cos(A)) + ca(1/2 + cos(B)) + ab(1/2 + cos(C))
　= ････
　= ････
　= (1/2)(bc+bb+cc-aa) + (1/2)(ca+cc+aa-bb) + (1/2)(ab+aa+bb-cc)
　= (1/2)(aa+bb+cc + ab+bc+ca),
よって
　aa+bb+cc = (1/2)(aa+bb+cc + ab+bc+ca),
整理すると　aa+bb+cc -ab -bc -ca = 0,
しかし
　aa+bb+cc -ab -bc -ca = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
であるから
　(1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} = 0,
よって　a-b = b-c = c-a = 0,
すなわち　a = b = c,
ゆえに，△ABC は正三角形。 ････　答
0052１３２人目の素数さん
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2019/01/02(水) 11:32:40.25ID:cKCL6IJm
この飛行機までのおよその距離を知りたい
https://i.imgur.com/tHtQSUb.jpg
トリミング無し
レンズ35mm版換算3000mmの水平画角0.687541°
35mm版の横幅を36mmとする
飛行機はB737-800　全長39.5mとする
進行方向への角度やセンサーサイズの誤差は無視でお願いします

計算のしかたと答えを教えて下さい（飛行機の全長から距離を測る計算）
よろしくお願いします
0054１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 11:55:44.76ID:GvDO1SFm
>>33
qが素数の場合は上の画像のとおり。
qが合成数の場合は素因数に分解してTheorem2(メビウス反転公式)を使え、ということか？
0055１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 12:06:24.63ID:3rBsZ6cK
>>53
置換したらそうなるのは理解できるのですが、
最初の逆関数の微分の変形だけでtan-1 xなのは導出できますよね？

そこからなぜ連続した部分に対応するものを選ばなければならないというのが分かるのでしょうか？
0056１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 12:16:09.63ID:1XTwIlaG
>>55
＞∫(1/1+x^2)dx

定積分できないとか言ってますけど、これは定積分ではないですね
これは何を意味しているつもりなんですか？
0057１３２人目の素数さん
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2019/01/02(水) 12:46:07.76ID:3rBsZ6cK
>>56
原始関数の導出のつもりでした。
aからbまでの定積分って原始関数(b)-原始関数(a)ですよね？
原始関数が多値関数ってどういうことなんだろうと思ったのです
0058１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 13:10:01.29ID:1XTwIlaG
>>57
原始関数とはなんですか？
0059１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 13:22:47.17ID:5hoS1qxn
>>52
飛行機の長さが画像の水平方向の長さに対してどれだけに
なるか比率を測ればいいだけだろ。中学生でもわかる問題。
tan(水平画角×比率) = 飛行機長÷距離
なんだから、
距離=飛行機長/tan(水平画角×比率）
この写真だと、比率は260px/1200px =0.217なので
距離=39.5m/tan(0.687541° x 0.217)=15200m
0061１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 14:37:44.74ID:dpB9xwpW
>>50
値域を選択すれば(例えば(-π/2,π/2)など)arctan(x)は多価でない関数になります
(一般にarctan(x)を使うときは多価関数と見なすよりもこのようにして普通の関数として扱うことが多いと思います)
値域の選択によって関数は変わりますが、定数しかズレないので、原始関数としては同じものを表しています
多価関数といってもmonodromyがあるわけではないので、それほど複雑な話ではありません
0062１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 14:42:07.13ID:ppDCuzQe
Qの条件の曲線と直線x+y=aで囲まれる図形を直線を軸に回転させた時の回転体の体積を求めよという問題なのですが、
この解答はどこが間違っていますでしょうか？

https://i.imgur.com/UJkw39m.jpg
0063１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 14:45:08.93ID:3rBsZ6cK
>>61
回答ありがとうございます。

最初の原始関数の導出は値域とかについてなんの仮定も置いてないですよね？

なのになぜarctanxのとりうる値はどこか適当な幅πの間であることにすると限定してしまうことができるのでしょうか？
0064１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 15:09:30.89ID:3j9fwFeq
>>62
最後から5行目の積分の中身
(a - a sin^4θ)^2
の左の定数aって何？
0065１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 15:13:30.58ID:Tjk3JLSV
>>63
（少なくとも各点の周りの適当な連結開集合上で）引数を連続的に変化させれば値も連続的に変化するから
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 15:18:16.94ID:ne8HBguh
>>63
原始関数とはなんですかと聞いてますね
なぜ答えないのですか？
0067１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 15:43:31.88ID:7wxHl3VN
>>63
最後の最後で計算ミスしてるやん…
目が悪いんだからこんな細かい計算チェックやらさんといて…
0069１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 15:57:09.00ID:dpB9xwpW
>>63
「tany = xとおくとdx/dy=1/cos^2=1+x^2
よってdy/dx=1/1+x^2」

2行目でdy/dxとありますが、この時点で暗にx=tan(y)の逆関数の存在を仮定しています
しかし、逆関数が存在する為には単射でないといけません
x=tan(y)は単射ではないので、定義域を(-π/2,π/2)等に制限して単射にしているわけです
0070１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 16:06:12.66ID:3rBsZ6cK
>>69
なるほど！ありがとうございます。
頭が悪いので怪しいですが理解できたような気がします
>>67
すみません、よくわかりません
0072１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 16:15:42.37ID:ppDCuzQe
>>67
本当だ、とりあえず最後の積分計算で最後に足している1は1/2の誤りですね…ありがとうございます

ただここを修正してもまだ模範解答と答えが合わないのですが、他どこがおかしいか分かる方いらっしゃらないでしょうか
wolframでは複雑すぎて処理できませんでした……早大の過去問です。
0073１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 16:18:59.49ID:ppDCuzQe
>>64
上のQの仮定にある正の実数の定数です
x=a*cos^4θ、y=a*sin^4θ、で書く曲線をx+y=aで切り取った部分を軸に回転させています
0074１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 16:33:12.66ID:ppDCuzQe
すいません、誤りに気づきました………
スレ汚しすみません死んできます
0075１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 19:22:56.44ID:ohr+DqS6
座標平面上の原点をOとし、y軸の正の方向をOから見て真北の方向と定める。
時刻0において点Pは原点にある。
nを自然数とし、各時刻nにおいて4つの数1,2,3,4から無作為に一つを選ぶ。
1が選ばれたときは点Pを東に、2が選ばれたときは西に、3が選ばれたときは南に、4が選ばれたときは北に、それぞれ(1/2^n)だけ移動する。
以下の問に答えよ。

（1）点Pのx座標をa、y座標をbとする。n→∞としたときのa,bの期待値を求めよ。

（2）時刻1において選ばれた数が1であったときの、n→∞としたときのa,bの期待値を求めよ。
0077１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 23:36:32.22ID:ohr+DqS6
aは0でない複素数、b,cは複素数である。
xについての2次方程式
ax^2+bx+c=0
が以下のような解を持つとき、a,b,cが満たすべき条件を述べよ。

（1）2解（以下、重解も2解とする）がともに実数である。

（2）2解がともに実数でない。

（3）2解の一方が実数で、他方が実数でない。
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 10:18:05.89ID:clk1Joik
多項式について質問です。

(a_0 + a_1*x + … + a_n*x^n) + (b_0 + b_1*x + … + b_m*x^m)

上の式で多項式の項の間にある「+」と多項式と多項式の和の「+」を同じ記号で
表わしていますが、悪い習慣でしょうか？
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 10:35:40.84ID:1clk5DIm
微分方程式の質問です。

以下の問題が分かりません。

Aをd次の正方行列で、g=g(t,ξ)を写像g：R×R^d → R^dでξに関して全微分可能でδg(t,ξ)/δξも連続であるとする。 いま、uをR^d値の未知関数とする方程式
du/dt=Au+g (t,u) (※)
を考える。あるK > 0があって|g(t,ξ)| ≦ K (t ∈ R,ξ ∈ R)が成立するとする。

(１)この時任意のa ∈ Rに対して(※)の−∞ < t < ∞における解でu(0) = aとなるものが存在することを示せ。

(２)さらにAを実対称行列で全ての固有値は負であるとする。このとき、aを適当に選ぶことでu(t)は−∞ < t < ∞で有界になることを示せ。

(1)は解けたけど、(2)がギブアップ。(2)を解ける人、解説お願いします。
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 13:50:02.11ID:clk1Joik
>>81

ありがとうございます。

多項式とは何かということに関して、多くの代数学の本では、説明が全くないですよね。

あまり評判は芳しくないようですが、Serge Lang著『Undergraduate Algebra』という本に
ちゃんとした説明がありました。松坂和夫著『代数系入門』にも書いてありますね。
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 15:19:51.98ID:tKhMtALm
論理学に詳しい方に質問です。

背理法のネストは数学的に正しいのでしょうか？
例えば、「A(偽な命題)を仮定する。……ここで、B(偽)を仮定すると、矛盾が生じる。よって、Bは誤り。つまりnotBが正しい。……すると、矛盾が生じる。よってAは誤り。」という議論は正しいのでしょうか？
Bを誤りだと断定した矛盾が、本当にBによるものなのかそれともAによるものなのかが分からないし、場合によってはAかBの単体を仮定するだけではその矛盾は導かれないが、A,Bを共に仮定した時にのみその矛盾が導かれる、っていうことがありそうな感じがして…
0086１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 15:22:08.65ID:9wtPVJ3r
矛盾というのは、前提が正しいなら何をしても起こらないはずなんです
それが起こったということは前提が間違えだったということで、これが背理法ですね
いいんですよそういうことしても別に
0087１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 15:28:30.29ID:tKhMtALm
>>86
すみません、質問の仕方が悪かったんですが、これでnotAが正しいことを示せたのかってことです
これだとnot(A∧B)しか示せてない気がして

すみません、ここまで書いて自己解決しました…お目汚し失礼しました…
0088１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 16:26:29.04ID:rGbJGMG0
背理法は、A→B と A→¬B がともに成り立つことを示して、そこから ¬A を導く方法なのかと
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 18:46:32.32ID:FhdwjoyF
お願いします

aは0でない複素数、b,cは複素数である。
xについての2次方程式
ax^2+bx+c=0
が以下のような解を持つとき、a,b,cが満たすべき条件を述べよ。

（1）2解（以下、重解も2解とする）がともに実数である。

（2）2解がともに実数でない。

（3）2解の一方が実数で、他方が実数でない。
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 20:33:09.11ID:clk1Joik
松坂和夫著『代数系入門』を読んでいます。

「
整数 a の標準分解を

a = p_1^α_1 * p_2^α_2 * … * p_k^α_k

とする。

…

d を a の約数とし、 a = d * q とすれば、 d および q の素因数はもちろん a の素因数であるから、

d = p_1^β_1 * p_2^β_2 * … * p_k^β_k

ｑ = p_1^γ_1 * p_2^γ_2 * … * p_k^γ_k

と書くことができる。
」

と書かれています。

d, q がそのように書けるということを導くのに素因数分解の一意性が使われているのに、そのことが
書いてありませんね。松坂さんは素因数分解の一意性がここでも使われていることに気づいていま
せんね。

↑の下の行で再び素因数分解の一意性が使われているのですが、そこでは、一意性が使われている
ことが書かれています。
0091１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 20:40:41.42ID:AYL6n86W
先頭車両から順に1からnまでの番号がついたn両編成の列車がある。ただしnは2以上とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。
この問題は漸化式を使わずに解く方法はありますか？
0098１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/04(金) 01:46:52.79ID:4y9oavEG
>>89
(1) b/a，c/a が実数で、(b/a)^2 - 4(c/a) ≧ 0.

>>91
(n+1)両目に赤を追加すると　→　「赤」「青赤」「黄赤」を並べたものになる。
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