>>902
俺もできたけど>>911の方が美しいかな…
一応概略を書いとく

>>911と同じく Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) を求める方針で、使う漸化式が異なる。
なので記号を借りて
　X[n,i]=Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i)　(*)
とおく。

S_n の元を、n-1, n の行き先によって分類する。
(i)n-1, n を固定するもの。
これだけで (*) の和を考えると、X[n-2, i+2] に一致することが分かる。
以下同様に、
(ii)n-1 と n を入れ替えるもの→-X[n-2, i]
(iii)n を固定し n-1 を固定しない→X[n-1,i+1]-X[n-2,i+2]
(iv)n を n-1 に移し、n-1 を n に移さない→-X[n-1,i]+X[n-2,i+1]
(v)n-1 を固定し n を固定しない→(iii)と同じ
(vi)n-1 を n に移し、n を n-1 に移さない→(iv)と同じ
(vii)n-1,n が共に n-2 以下に移る→0 (∵σとσ(n-1 n)で打ち消しあう)

これらの総和をとって
　X[n,i]=2(X[n-1,i+1]-X[n-1,i])-(X[n-2,i+2]-2X[n-2,i+1]-X[n-2,i])
を得る。あとは推測して帰納法。