>>824
>で、もしもF(x)≧||x||_Yみたいな評価があれば...(1)

あります。
いま考えてるFは長さなので ∃C1 ∀n t |x_n(t)| としてよい。
tは[0,1]しか取らないのでこれで ∃C2 ∀n ||x_n||_2 < C2 。
∫|x_n’(t)|dt は n によらず有界、かつ|x_n’(t)|は等速度ゲージ(で採っているとしてよい)なので∃C3 ∀n |x’_n| < C3 (= 1/L)。
つまり|x’_n(t)|は一様有界なので ||x’_n(t)||_2 も一様有界。

つまりでたらめにx_n(t)をとってしまうとx’_n(t)は病的なものが出てくるかもしれないけど、その場合にはLnを長さとして
σ(t) = (1/Ln)∫[0,t] |x’_n(t)| dt、σの逆関数をτとしてy_n(s) = x_n(τ(s))とすればこれはただのゲージ変換で長さも変化せず、しかも|y’_n(s)|はnによらない定数で抑えられてしまう。
よってこれ本体も２乗も一様に可積分。
でこのy_n(s)で鼻から議論すればよい。