>>380
最後の手段でズルしちゃうけど、剰余項は少なくとも
O(n^(131/416＋ε)) (ε＞0は任意)まで改善できるはず。
ただし dirichlet divisor problem を経由するのでとてもズルイｗ

まず、nの約数の総和をd(n)とするとき、
Dirichlet hyperbola method により、1以上の実数xに対して

Σ(1≦n≦x)d(n)＝2Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]−[x^{1/2}]^2

が成り立つ。

Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]＝Σ(1≦n≦x^{1/2})(x/n)−Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}

なので、お目当ての Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n} が出てきて

2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝2xΣ(1≦n≦x^{1/2})(1/n)−[x^{1/2}]^2−Σ(1≦n≦x)d(n)

と表せる。