Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^{1/3}) の証明を大雑把に。

x＞1として、Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
と分解して、まず Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＝O(x^{1/3}). 次に、m≧1を任意に取って

Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
＝Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})(1/2－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx/k)/(πn)＋∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt)
＝([x^{1/2}]－[x^{1/3}])/2－Σ(n＝1～m)(1/(πn))Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}) sin 2πnx/k
　＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt　(1)

と分解する。