面白い問題おしえて～な 28問目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
>>349 (続き)
f(x) = (x^2+2ax+b) (x^2+2cx+d)
とする。
x^2 +2ax +b = X^2 +2√(7/6 +f/2)･(X-g) +f,
判別式 a^2 -b = (7/6 +f/2) -f +2g√(7/6 +f/2)
= (7/6 -f/2) +20/[27√(7/6 +f/2)]
= 0.5274900867207
x^2 +2cx +d = X^2 -2√(7/6 +f/2)･(X-g) +f,
判別式 c^2 -d = (7/6 +f/2) -f -2g√(7/6 +f/2)
= (7/6 -f/2) -20/[27√(7/6 +f/2)]
= -0.4504709612713
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 -(80/27)^2/(7/6 +f/2)
= -(4/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
= -0.237618966426144
< 0, 問題 : ４ リットルと ３ リットルの容器を使って ２ リットルの水を測るにはどうすればいい？
これが最短手順でいい？
[(0,0),(4,0),(1,3),(1,0),(0,1),(4,1),(2,3),(2,0)] [(0,0),(0,3),(3,0),(3,3),(4,2),(0,2)] は禁止？ >>350 訂正
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
= (1/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
= -0.237618966426144
< 0,
分かスレ４４８-819,827 10Lの容器いっぱいに油が入っています。7Lの容器と3Lの容器を使って、この油を5Lずつに分けます。どのような分け方がありますか。
https://katekyo.mynavi.jp/juken/know-how/7993
何でグラフで解けるんだろ？ >>355満タン(10)(７)(３)の三つの容器をこの並びで置き、
初め(10)(０)(０)入っているのを移していく
→(３)(７)(０)
→(３)(４)(３)
→(６)(４)(０)
→(６)(１)(３)
→(９)(０)(１)
→(２)(７)(１)
→(２)(５)(３)
→(５)(５)(０)
８回で二分できた。 >>344-347
だいたい考えてた解答と一緒です。
自分のは、1234→2341→3412→4123→1234のようなサイクルをつないでいくやり方でした。
探索なしで生成する方法はないんでしょうかね？ 前>>356両手ありで空にしたとこにすぐ入れるのをノーカンにするなら７回だけど、
(10)(０)(０)
→(３)(７)(０)
→(３)(４)(３)
→(６)(４)(０)省略可
→(６)(１)(３)
→(９)(１)(０)省略可
→(９)(０)(１)
→(２)(７)(１)
→(２)(５)(３)
→(５)(５)(０)
片手だと９回か。 >>350 >>353
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
= (1/3) [(13+2√11)^{1/3} - (13-2√11)^{1/3}]^2
= -0.237618966426144
< 0, >>359
■式を展開してゆくと
(a^2-b)(c^2-d)<0
a^2c^2-a^2d-c^2b+bd<0
a^2c^2-(a^2d+c^2b)+bd<0
a^2c^2-(a+c)(ad+bc)+ac(b+d)+bd<0
ac(ac+b+d)-(a+c)(ad+bc)+bd<0
ac(b+4ac+d)-3a^2c^2-(a+c)(ad+bc)+bd<0
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1
は作ることができたが
最終的に9a^2c^2+6ac-19>0となる >>357
え？自作問題なんですか？
よくこんなの思いつきましたね！すっげ！
とりあえず>>344-347みたいな解答できた後、明示的な解が作れないか考えたけど出来ずorz。
普段ならパソコンに探索させてやってみるんですが、今パソコン壊れててそれもできず。
少なくともm=2とかに限定すれば出来て不思議なさそうなんですけどねぇ？ >>355
こうなると人間技では無理だな。
100Lの容器いっぱいに油が入っています。51Lの容器と49Lの容器を使って、この油を50Lずつに分けます。どのような分け方がありますか。 無限にも一般化できそうねこれ 既に解答あるかどうか知ってる訳じゃないけど
n を正の整数とする時、関数 f:Z→Z であって、F:Z→Z^n;F(x)=(f(x+1),f(x+2),…,f(x+n)) が全単射になるものは常に存在するか？ De Bruijn torus みたいに多次元への一般化も考えられてるみたいだし、更にこんな一般化もできる ごっちゃごちゃやけど
m, n_1, n_2,…, n_m を正の整数とし、N=n_1*n_2*…*n_m とおく。この時、関数 f:Z^m→Z であって
F:Z^m→Z^N; F(x) = ( f(x+(1,1,…,1)), f(x+(1,1,…,2)), …, f(x+(n_1,n_2,…,n_m)) )
が全単射になるものは常に存在するか？ とりあえず>>364 のページには ”こうすりゃできる” というのが載ってはいるが、なぜそれで出来るサッパリわがんね。
試しにm=n=3で手計算でやってみると
aaabaacabbabcacbaccbbbcbccc
……できてる……すっげ！ 18: [] 2018/11/21(水) 02:38:57.162 ID:QyQDf8nQ0
これ頼む
https://i.imgur.com/AE4TWZ7.jpg >>368
刺身にタンポポの花を乗せるような単調作業は、このスレにはふさわしくない。 >>365
文字が整数ではなく自然数だったら、つまりf:N→N, F:N→N^nだったら、
n=2の場合、0 01 1 0212 2 031323 3 0414…
n=3の場合、0 001011 1 002012022102112122 2 003013…
のようにすればよさそうだけど、n≧4の場合はどうすればいいんだろう？ >>368
計算機でやれば一瞬……打ち込むのに1時間程かかるwww >>374
左上から
横7cm → 縦5cm → 横4cm → 横8cm → 縦9cm → 横5cm,
下3段の縦の比
右端から 4:4:8 → 4:4:9 → 8:9 → 8:4:5 →→ 7:7:5:4:5
横の比 20:35:21:(5cm) >>363のwikiに載ってる方法
0 ≦ x ≦ m^n-1をみたす整数を(必要なら上位を0で埋めて)m進数n桁表示で表示したとき、その最上位以外をひとつずつ上位に移し、最高位を最下位に移す写像を f とする。
このとき f は0 ≦ x ≦ m^n-1をみたす整数の全体 S の置換を与える。
この置換を互いに可換な循環置換の積 f = g[1]g[2]…g[t] で表す。
ただしg[i] = (n[i1]…n[ij]) n[i1]が最小限と表示するときワードw[i] = n[i1]…n[ij]は辞書式順序で昇順であるとする。
n[11]n[12]…をすべてつなげたワードをwとする。
そのワードの各文字をm^(n-1)で割った商で置き換えたワードがde Bruijn sequenceとなる。
--例--
m=3、n=2のとき。
f = (0) (1 3) (2 6) (4) (5 7) (8)
であるから
w = 0 1 3 2 6 4 5 7 8
であり各文字を3^1で割った商に置き換えて
001021222
はde Bruijn sequenceとなる。
……やっと証明わかった。
こんな構成法絶対思いつかん。 実数 x に対して [x] を x の整数部分と定める。この時、次の値を求めよ：
lim_(n→∞) (1/√n)Σ_(k=1,[√n])(n/k-[n/k]) >>378
収束するん？
全然収束してる感ないけど？
*Main> let f n = (/(sqrt n)) $ sum [n/k - (fromInteger $ truncate $ n/k) |k<-[1..(sqrt n)]]
*Main> mapM_ print [f x | x<-[10000..10010]]
0.39775176396203077
0.42960405947242447
0.4414551710047714
0.4733020995001393
0.46515384320018427
0.4370114006470376
0.4688537799785083
0.5106894801475358
0.4425649747743292
0.4843978105580605
0.37630141203414064 じゃあ問題変えよか
次を示せ：
Σ_(k=1,[√n]) n/k-[n/k] = (1/2)√n + O(n^(10/21)) >>380
>>378より主張が強くなってるけどホントに成立するん？
相当収束遅いんかな？
100000000000でもまだ0.01ぐらいの誤差あるけど。
この辺までくると計算誤差かもしれないけど。
もってる R(n)/n^(10/21) の上からの評価値と矛盾してない？
収束してても不思議ない感くらいはあるんだけど。
*Main> mapM_ print [f x | x<-[100000000000..100000000010]]
0.49838288499722044
0.4983868107954477
0.4983780874456663
0.4984167982310302
0.49843969769390706
0.4984309743244439
0.4984601983048952
0.4984957468592659
0.4984870234930951
0.49847830012017674
0.4984695768000378 >>381
誤差項の係数まで出してるわけじゃないから計算一つ一つ追ってくのはしんどくてすぐできそうにないけど、>>380 の右辺を
(√n)･(1/2 + O(n^(-1/42)))
と変形できて、n にそのまま 10^11 入れて n^(-1/42) 計算しても 0.547 くらいになるから、
むしろ >>381 の数値の 1/2 との近さは"良すぎる"くらいだね 言い換えれば >>380 の評価がガバガバすぎるってことなんだけど >>275
> 3次正方行列Aについて、tr(A) を det(Aと単位行列Eの式) の式で表せ。（detの中身は複数種類でも可）
これどうやるんですか？ >>384
A の固有値を a,b,c とおくと
det(A+E) + det(A-E) - 2det(A)
= (a+1)(b+1)(c+1) + (a-1)(b-1)(c-1) - 2abc
= 2(a+b+c) = 2tr(A)
でいける >>387
想定してる解答ではそういう複素解析的な技術は使ってないよ
使えるのかどうかはわからないけど、n>n' として n' の時の和が n の時の和の部分和になってる訳じゃないから
今までと同じような方法で臨むのは難しそうな気がする >>388
違うのか…
Σ_(k=1,[√n]) (n/k-[n/k] - 1/2) = O(n^(10/21))
を示せば十分で
x - [x] - 1/2 = -2/πΣ[i] sin(2πix)/i
を使って
Σ_(k=1,[√n]) (n/k-[n/k] - 1/2) = -2/πΣ[k] Σ[i] sin (2πi n/k) / i
で
Σ[i] sin (2πi n/k) / i = Σ [ξ] <sin (2πi n/k), ξ(i)> L(ξ, 1)
でL(ξ,1)を評価するのかなと。
でもこのL(ξ,1)の評価ネットで探してもありそでなさそで……
これむずい。気長にやります。 {x}＝x－[x]と定義して、
Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^{1/3})
が示せた(計算ミスがなければ)。方針は>>389なんだけど、
L関数ではなく、普通にフェイェール核を使う。
あとはオイラー・マクローリン。 すまん、フェイェール核じゃなくてディリクレ核だった。 私も>>389訂正。L(ξ, 1)じゃなくてL(1,ξ)ね。
あとwolframで確かめてみたら
x - [x] - 1/2 = -1/πΣ[i] sin(2πix)/iですね。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-1%2Fpi*(sin(1+x)%2F1%2Bsin(2+x)%2F2%2B+sin(3+x)%2F3%2Bsin(4+x)%2F4%2Bsin(5+x)%2F5%2Bsin(6+x)%2F6%2Bsin(7+x)%2F7%2Bsin(8+x)%2F8%2Bsin(9+x)%2F9%2Bsin(10+x)%2F10)
これ気合で i:1～10 足したけどもっと賢く入力できないのかな？
ここからオイラーマクローリンで行こうとおもったんだけど
∫[1,∞] a cos (ax)x (x - [x] - 1/2) dx (ただし a = 2πn/k)
の項が出てきて評価ができなかった。
Dirichlet の不連続因子っての使うのかなとも思ったんだけど眠くなってやめた。
積分苦手 orz。 計算が面倒くさすぎるので、使う道具だけ書いておきます。間違ってたらスマン。
m≧0に対して、D_m：R→R を D_m(x)＝(sin mπx)/sin πx (x∈R－Z), m (x∈Z) と定義する。
また、f_m＝D_{2m＋1} (m≧0) と定義する。
基本的な性質の一覧。
D_0(x)＝0, D_1(x)＝1, D_m(1±x)＝D_m(x)＝D_m(－x) (x∈R, m≧1)
f_0(x)＝1, f_m(1±x)＝f_m(x)＝f_m(－x) (x∈R, m≧1)
m≧1に対して∫(0,1/2)f_m(t)dt＝∫(1/2,1)f_m(t)dt＝1/2
m≧1, x∈R に対して Σ(n＝1～m) cos2πnx ＝ －1/2＋f_m(x)/2
m≧1, x∈R に対して {x}－1/2＝－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx)/(πn)＋∫(1/2,{x})f_m(t)dt 定義 命題Pに対して、[[P]] ∈ {0,1} を次のように定義する。
[[P]]＝0 (Pが偽のとき), 1 (Pが真のとき).
定理1 x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})D_m(t)dt ＝ －[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})f_m(t)dt ＝ －[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して Σ(n＝1～∞) (sin 2πnx)/(πn) ＝ 1/2－{x}－[[x∈Z]]/2. 定理2 g：[0,1/2]→Rは[0,1/2]上でルベーグ積分可能であり、g(＋0)が存在するとする。このとき、
Clim(m→∞)∫(0,1/2)f_m(t)g(t)dt＝g(＋0)/2.
ただし、実数列 {a_m}_m に対して Clim(m→∞)a_m＝lim(m→∞)(a_1＋a_2＋…＋a_m)/m と定義する。
定理3 a＜bとする。g：[a,b]→Rは[a,b]上でルベーグ積分可能であり、n∈[a,b]∩Zのとき、
g(x)はx＝nにおいて片側極限が必ず存在するとする。このとき、
Clim(m→∞)∫(a,b)f_m(t)g(t)dt＝Σ(n∈[a,b]∩Z) (g(n－0)＋g(n＋0))/2.
ただし、a∈Z のときは、(g(a－0)＋g(a＋0))/2 の部分を g(a＋0)/2 で置き換える。
また、b∈Z のときは、(g(b－0)＋g(b＋0))/2 の部分を g(b－0)/2 で置き換える。 定理4(オイラー・マクローリンの公式) a∈Z, b∈R, a＜b とする。
f：[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して
Σ(a≦k≦x)f(k)＝∫(a,x)f(t)dt＋(f(a)＋(1－2{x})f(x))/2＋∫(a,x)f'(t)({t}－1/2)dt.
定理5(オイラー・マクローリンの公式) a, b∈R, a＜b とする。
f：[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して
Σ(a＜k≦x)f(k)＝∫(a,x)f(t)dt＋((1－2{x})f(x)－(1－2{a})f(a))/2＋∫(a,x)f'(t)({t}－1/2)dt. Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^{1/3}) の証明を大雑把に。
x＞1として、Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
と分解して、まず Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＝O(x^{1/3}). 次に、m≧1を任意に取って
Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
＝Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})(1/2－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx/k)/(πn)＋∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt)
＝([x^{1/2}]－[x^{1/3}])/2－Σ(n＝1～m)(1/(πn))Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}) sin 2πnx/k
＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt (1)
と分解する。 >>398
kの小さいとこ分けるのはやったんだけどなぁ。
まぁやってみます。
ところで出題者さんに質問。
この誤差項のx^(10/21)の肩の数字はいくらでも小さく採れるんですか？ だめだ、計算ミスがある。
ここまで書いてしまったが、すまんｗ >>400
や、今解答として用意してる計算のしかたであれば、最善のパラメーターのとり方でこの結果。
もっと和のとり方を工夫したら改善できるかもだけども >>403
そうなんですか。
むずいなぁ。
今のとこのスレの流れ的にいい線いってます？ 普通に改善できた…でもパラメータ変えて誤差項の指数小さくできるかはっきりしないし問題は変えないことにする
（もし小さくできたとしてもややこしくなるだけだし変えないつもりだけど）
>>404
うーん、フーリエ展開から攻めるのはちょっとオススメしにくい
小数部分をとる関数 {x} に不連続点があるせいで級数が絶対収束しないから、
各フーリエ係数ごとに和をとってから全体を評価しようとするとどうしてもばかでかくなってしまう気がする
フーリエ級数いじるの得意じゃないし本当にできないのかとかについては何とも言えないけど 停滞するのもあれだし類題出しときます
lim_(n→∞) (1/logn)Σ_(k=1,[logn]) (n/k-[n/k])
は存在するか。 まだ暗算レベルだけど、Σ(k≦x^{1/2})({x/k}^2－{x/k}) だったら、
>>394-399で失敗した計算が救済できて
Σ(k≦x^{1/2})({x/n}^2－{x/n})＝(-1/6)x^{1/2}＋O(x^{1/3})
あたりのオーダーが言えそうな気がする。
また間違うかもしれないので書かないけどｗ >>407もダメだった。
B(t)＝{t}－1/2と置くと、>>407の場合、
∫(x^{1/3},x^{1/2})B(t)B(x/t)dt みたいなのが出てきて、
これのxに関するオーダーが計算できないｗ
どうやら、オイラー・マクローリンで計算すると、{x/n}の難しいところが
B(t)に移転してしまい、B(t)の積分計算ができなくなって失敗するっぽい。 >>275 >>384 >>385
・4次のとき
det(A+xE) - det(A-xE)
= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x) - (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)
= 2 S_3 x + 2 tr(A) x^3,
より
tr(A) = {det(A+2E) -2det(A+E) +2det(A-E) -det(A-2E)}/(2･3!)
・5次のとき
det(A+xE) -2det(A) + det(A-xE)
= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x) -2abcde + (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)
= 2 S_3 x^2 + 2 tr(A) x^4,
より
tr(A) = {det(A+2E) -4det(A+E) +6det(A) -4det(A-E) +det(A-2E)}/(4!)
・6次のとき
det(A+xE) - det(A-xE)
= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x)(f+x) - (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)
= 2 S_5 x + 2 S_3 x^3 + 2 tr(A) x^5,
より
tr(A) = {det(A+3E) -4det(A+2E) +5det(A+E) -5det(A-E) +4det(A-2E) -det(A-3E)}/(2･5!)
・7次のとき
det(A+xE) -2det(A) + det(A-xE)
= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x)(f+x)(g+x) -2abcdefg + (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)(g-x)
= 2 S_5 x^2 + 2 S_3 x^4 + 2 tr(A) x^6,
より
tr(A) = {det(A+3E) -6det(A+2E) +15det(A+E) -20det(A) +15det(A-E) -6det(A-2E) +det(A-3E)}/(2･6!)
S_k はk次の基本対称式。 S_1 = tr(A), S_n = det(A), >>275 >>384 >>385
A, E はn次の正方行列とする。
・nが奇数のとき
tr(A) = {1/(n-1)!}Σ[k=0,n-1] (-1)^k C(n-1,k) det{A + (k-(n-1)/2)E},
・nが偶数のとき
tr(A) = {1/2(n-1)!}Σ[k=0,n] (-1)^k {C(n-1,k)-C(n-1,k-1)} det{A + (k-n/2)E},
ただし、C(n-1,n) = C(n-1,-1) = 0 和のとり方を改善してパラメータをとり直した結果、
>>380 の誤差項を O(n^(5/12)･logn) まで改善できたので一応報告
けど予定通り、問題の主張を変えるつもりはなし Σ[k≦√n] sin n/k の評価ができんorz。 >>412
手助けになればいいけど、下の定理2.1.6を使えば Σ_(k=√n) sin(n/k) = O(n^(1/3)) まで落とせそう
https://spectrum.library.concordia.ca/978881/
Theorem2.1.6 (2nd derivative test)
fは区間[a,b]上で二階連続的微分可能であり、c>1 であって
0<λ≦f''(t)≦cλ (for∀t∈[a,b])
が成り立っているとする。この時、
Σ_(a<k≦b) e^(2πif(k)) = O_c( (b-a)λ^(1/2) + λ^(-1/2) ).□
具体的には m を正の整数（この場合およそ (√n)/(2π) ）として、j=0,1,… に対して a_j = m･2^(-j-1), b_j = a･2^(-j) と定めて、
f(x)=N/x として各区間 [a_j,b_j] に対して定理を適用する訳なんだけど、
この場合 j の値にかかわらず c=8 で一様にとれるから、j=0,1,…,r で足し合わせても同じ implied constant で抑えられる。
あとは r の値をうまく調整すればOK >>413
sin 2πn/k はうまくいきました。
でも本丸は∫ a*cos(2πax)/x dxなんですよね～。
こいつがO(1/a)とかならうまくいくし、数値実験てきには成立してそうなんだけどむずい。
やっぱりこりゃノーヒントじゃ無理だ。
>>378さんヒントお願いします。 １時間に２本の列車があり、8：00 8:45 9:00 9:45 10：00 10:45 ...という風にダイヤが組まれている。
ランダムに駅に行ったときの待ち時間の期待値はいくらか？ >>414
ほい
（補題）h/q (q>0) は既約分数であり、k=1,2,…,q の時実数 r(k) の絶対値は E 以下であるとする。
この時、任意の実数 a について次が成り立つ：
|Σ_(k=0,q-1) ({hk/q + a + r(k)} - 1/2)| ≦ 3qE + 3.
（ただし特にことわらなければ {x} は x の小数部分を表すものとする）
（∵）σ(k) := [q{hk/q + a}] は集合 {0,1,…,q-1} 上の全単射であるから、
ε(k) := {hk/q + a} - σ(k)/q ∈ [0,1/q) とおけば
Σ_(k=0,q-1) {hk/q + a + r(k)}
= Σ_(k=0,q-1) {σ(k)/q + ε(k) + r(k)}
= Σ_(k=0,q-1) {(k + 1/2)/q + r'(k)}. （σ(k) を k で置き換え。ただし |r'(k)| ≦ E + 1/(2q) ）
ここで、r'(k)=0 (for k=0,1,…,q-1) の時この和が q/2 に等しくなることから、
| Σ_(k=0,q-1) {(k+1/2)/q + r'(k)} - {(k+1/2)/q} | ≦ 3qE+3
を示せばよい。そのためには、区間 [k/q - E, (k+1)/q + E] が関数{x}の不連続点（つまり整数）を通過する k とそうでない k に Σ を分けて、
それぞれを評価すればよい。詳細は略（突然の飽き）□ >>294
■①^2+④でもP1stは求められる
((n(n+1)/2)-1)^2+｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48
計算知能で①^2+④を入力すると
P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48 >>418
8：00 8:30 9:00 9:30 10：00 10:30なら、1時間に2本だが最大の待ち時間が30分だぞ。 >>415
1時間に2本だから 18.75分。
最大の待ち時間は 45分。 >>416
ありがとう。
また考えてみます。
Fourier展開みたいな技使ってもダメっぽいね。
コツコツやるしかないのね…… >>415
1時間に2本だから｛30 - M(60-M)/60｝分。
最大の待ち時間はM分。 東京駅からのぞみ号で朝8時から9時に出発する（9時発も可）。
無作為に選んだ8時台の時間に出発ホームに到着したとすると平均の待ち時間は何分か？
以下が東京8時台発のぞみ号の時刻表である。
8:00 8:10 8:13 8:20 8:23 8:30 8:40 8:47 8:50 9:00 (0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0)÷61
=207÷61
=3.39344262
≒3.4(分)
3分24秒
前>>425 >>425
面積計算して平均したら
3.95分＝3分57秒になった。
http://i.imgur.com/nA0WRkX.jpg
tt=c(0,10,13,20,23,30,40,47,50,60) # time table
x=diff(tt)
sum(x^2/2)/sum(x)
http://tpcg.io/59nVsG >>425
Prelude> let tt = [0,10,13,20,23,30,40,47,50,60]
Prelude> let diff = zipWith (-) (tail tt) (init tt)
Prelude> sum (map (\x -> x^2/2) diff) / sum(diff)
3.95 >>426
レスありがとうございます。
筆算、乙。
０～６０分を１分ごと、０．１分ごと０．０１分、０．０１分ごとにして計算すると
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=1)))
[1] 3.393443
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.1)))
[1] 3.893511
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.01)))
[1] 3.944343
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.001)))
[1] 3.949434
面積計算の値3.95分に収束するようです。
Rのソース
tt=c(0,10,13,20,23,30,40,47,50,60) # time table
ct2wt <- function(x){ # clock time to waiting time
n=length(tt)
if(x<=tt[1]){w8=tt[1]-x
}else{
for(i in 1:(n-1)){
if(tt[i]<=x & x<=tt[i+1]){
w8=(tt[i+1]-x)
break
}
}}
return(w8)
}
ct2wt=Vectorize(ct2wt) 分単位でちょうどの時間に着いた時は
待ち時間なしの確率が1/2になるというわけだな ある駅のホームの1番線には1時間ごと、2番線には(1/2)時間ごと、3番線には(1/3)時間ごとに電車が来るようにダイヤを組みたい。
ランダムな時間に駅に着いたときの平均待ち時間を最小にするには、どのようにダイヤを組めば良いか。
ただし、何番線の電車に乗っても向かう方向や停車駅に違いは無いとする。 単純に考えて、以下ぐらいしか思いつかない
３番線 00 20 40
２番線 20/3 110/3
１番線 50 >>432 訂正
最大15分はどうしても開くのかな？
３番線 00 20 40
２番線 05 35
１番線 50 １番線 00
２番線 15 45
３番線 10 30 50 最小5分50秒 00 10 15 30 45 50 00
最大8分20秒 00 20 30 40 00 >>433-434
正解
３番線を00,20,40で固定すれば、対称性から２番線は x,30+x (0≦x≦10) のみを考えればよくて、
x をどうとっても１番線を 50 とするのが最適解（のうちの１つ）であることがわかる。
（より長い空白のど真ん中に入れた方がより平均待ち時間を削減できるから） いつもの顰蹙のプログラミング解
w8 <- function(xy,Print=FALSE){
x=xy[1];y=xy[2]
if(x<0|x>20|y<0|y>30)return(Inf)
tt=c(0,x,x+20,x+40,y,y+30,60)
tt=sort(tt)
d=diff(tt)
w=sum(d^2/2)/sum(d)
if(Print){
print(tt)
cat(sum(d^2/2),'/',sum(d))
}
return(w)
}
optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead') # 最小値
> optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead')
$`par`
[1] 9.999003 14.999925
$value
[1] 5.833333
w8(c(10,15),P=T)
> w8(c(10,15),P=T)
[1] 0 10 15 30 45 50 60
350 / 60[1] 5.833333
optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead',control=list(fnscale=-1)) # 最大値
> optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead',control=list(fnscale=-1))
$`par`
[1] 0 0
$value
[1] 8.333333
w8(c(0,0),P=T)
> w8(c(0,0),P=T)
[1] 0 0 0 20 30 40 60
500 / 60[1] 8.333333 細かいことを言えば
１番線 03
２番線 18 48
３番線 13 33 53
でもいいはず。 これも最大値かな
１番線 00
２番線 20 50
３番線 00 20 40 >>431
４番線は１時間に４本電車が来るとしてプログラムに解かせると
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 15 45
[[3]]
[1] 10 30 50
[[4]]
[1] 7.5 22.5 37.5 52.5
待ち時間の期待値は3.333333 >>440
おつ n(≧2)番線に 60*(2k-1)/2n (k=1,2,…,n) 分に来させれば良いと予想したくなるなｗ ファレイ数列みたいだ
しかしそれだと30分に到着する番線が大量発生して非効率そうだ >>441
そんなに単純じゃないみたい。
> densha(c(15,10,7.5,6),P=T)
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 15 45
[[3]]
[1] 10 30 50
[[4]]
[1] 7.5 22.5 37.5 52.5
[[5]]
[1] 6 18 30 42 54
155 / 60
[1] 2.583333
よりも、こっちの方が平均待ち時間が少ない。
> densha(c(14,8,6,6),P=T)
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 14 44
[[3]]
[1] 8 28 48
[[4]]
[1] 6 21 36 51
[[5]]
[1] 6 18 30 42 54
150 / 60
[1] 2.5 >>442
こっちの方がもっと少なかった。
> densha(c(16,12,8,6),P=T)
[[1]]
[1] 0
[[2]]
[1] 16 46
[[3]]
[1] 12 32 52
[[4]]
[1] 8 23 38 53
[[5]]
[1] 6 18 30 42 54
148 / 60
[1] 2.466667
プログラムでの最適解はこんな値を返してきた。
> optim(par=30/2:5,densha)
$`par`
[1] 15.967750 11.935738 8.225689 5.999897 至急お願いします
異なる業種間で賃金格差が存在しているかどうかを調査するために、一部上場企業の金融業と製造業から総合職（入社5年目）の社員をそれぞれ100名ずつ無作為抽出したところ、平均賃金は金融業が600万円、製造業が570万円でした。
また、標本標準偏差はどちらも70万円でした。業種間で賃金格差が存在しているどうかを有意水準5％で検定するとき、その結果として正しいものを以下から選びなさい。
A. 金融業の方が賃金が高い
B. 製造業の方が賃金が高い
C. 金融業と製造業に賃金格差があるとは言えない
D. いずれでもない 某テレビ局のプロデューサーX氏は製作番組の視聴率の目標を20％と想定していました。500世帯を対象に調査をしたところ、平均視聴率は15%でした。X氏の製作番組は目標視聴率20％を達成したかどうかを有意水準5％で検定します。
真の視聴率をpとするとき、帰無仮説と対立仮説、および検定結果として正しい組合せを以下から選びなさい。
A. 帰無仮説p=0.20、対立仮説p<0.20、帰無仮説を採択
B. 帰無仮説p=0.15、対立仮説p<0.15、帰無仮説を採択
C. 帰無仮説p=0.20、対立仮説p<0.20、帰無仮説を棄却
D. 帰無仮説p=0.15、対立仮説p<0.15、帰無仮説を棄却
E. いずれでもない
サイコロを300回投げたところ、そのうち60回で1が出ました。このサイコロに歪みがないかを有意水準5%で検定します。
サイコロを1回投げたとき1が出る確率をpとするとき、帰無仮説と対立仮説、および検定結果として正しい組合せを以下から選びなさい。
A. 帰無仮説p=1/6、対立仮説p≠1/6、帰無仮説を棄却
B. 帰無仮説p>1/6、対立仮説p=1/6、帰無仮説を棄却
C. 帰無仮説p<1/6、対立仮説p>1/6、帰無仮説を採択
D. 帰無仮説p=1/6、対立仮説p≠1/6、帰無仮説を採択
E. いずれでもない >>444
> T.test=function(n1,n2,m1,m2,sd1,sd2){
+ SE12=sqrt((1/n1+1/n2)*((n1-1)*sd1^2+(n2-1)*sd2^2)/((n1-1)+(n2-1)))
+ T=(m1-m2)/SE12
+ 2*pt(abs(T),n1-1+n2-1,lower.tail = FALSE)
+
+ }
> T.test(100,100,600,570,70,70)
[1] 0.002767864 >>444
> kinyu=scale(rnorm(100))*70+600
> seizo=scale(rnorm(100))*70+570
> t.test(kinyu,seizo,var.equal = TRUE)
Two Sample t-test
data: kinyu and seizo
t = 3.0305, df = 198, p-value = 0.002768
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
10.47802 49.52198
sample estimates:
mean of x mean of y
600 570
> t.test(kinyu,seizo,var.equal = TRUE,alt='greater')
Two Sample t-test
data: kinyu and seizo
t = 3.0305, df = 198, p-value = 0.001384
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
13.64024 Inf
sample estimates:
mean of x mean of y
600 570
答は A >>445
前半
> binom.test(0.15*500,500,0.20,alternative = 'less')
Exact binomial test
data: 0.15 * 500 and 500
number of successes = 75, number of trials = 500, p-value = 0.002383
alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.2
95 percent confidence interval:
0.0000000 0.1788032
sample estimates:
probability of success
0.15
答はC >>445
後半
> binom.test(60,300,1/6)
Exact binomial test
data: 60 and 300
number of successes = 60, number of trials = 300, p-value = 0.1216
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.1666667
95 percent confidence interval:
0.1562313 0.2498044
sample estimates:
probability of success
0.2
帰無仮説は棄却できない。
帰無仮説を不採択だから、答はE
>>445
447-450
この問題で答えがEなんてありえるの？ >>451
キム仮説は棄却するものであって採択するものではない。 >>452
どういうことですか？
棄却されないという言い方しないと不正解だという意味？ あ、ほんとだ。帰無仮説って採択しちゃいけないんですね。 y=f(x) (0≦x≦a, f(x)≦0, f(0) = f(a) = 0)であらわされる滑り台上をボールを転がす運動を考える。
ただし、摩擦、空気抵抗などは無視してボールは重力とすべり台の面からの垂直抗力のみをうけて運動するものとする。
(0,0)にボールを静かにおいて滑り台を転がせ、(a,0)まで運動させるとき、その所要時間が最小となる曲線はなにか？
また東京ー大阪間の距離を400km、重力加速度を9.8m/s^2としたときの所要時間はおよそいくらか？
とある数学読み物で見つけた記事より。
当方答えのみ知っております。
導出の方法など知らないのでそれは自己採点でおながいしますｗ 有名問題だが、地球を球体とした場合はサイクロイドにはなんないと思うぞい >>456
そこは気になったんですが元記事通りの文章で。
今は400kmは地球が球状であることは無視でおながいします。 >>380
最後の手段でズルしちゃうけど、剰余項は少なくとも
O(n^(131/416＋ε)) (ε＞0は任意)まで改善できるはず。
ただし dirichlet divisor problem を経由するのでとてもズルイｗ
まず、nの約数の総和をd(n)とするとき、
Dirichlet hyperbola method により、1以上の実数xに対して
Σ(1≦n≦x)d(n)＝2Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]－[x^{1/2}]^2
が成り立つ。
Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]＝Σ(1≦n≦x^{1/2})(x/n)－Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}
なので、お目当ての Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n} が出てきて
2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝2xΣ(1≦n≦x^{1/2})(1/n)－[x^{1/2}]^2－Σ(1≦n≦x)d(n)
と表せる。 次に、Σ(1≦n≦x^{1/2})(1/n) に対してオイラー・マクローリンの公式
Σ(a≦n≦x)f(n)
＝∫(a,x)f(t)dt＋(f(a)＋(1－2{x})f(x))/2＋B_2({x})f'(x)－B_2(0)f'(a)－∫(a,x)B_2({t})f''(t)dt
(ただしaは整数でxは実数でB_2(t)＝(t^2/2)－(t/2)＋(1/12))
を適用して、γ＝lim(x→∞)(Σ(a≦n≦x)(1/n)－log(x)) と合わせて計算すれば、
2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝x^{1/2}＋xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(1)－Σ(1≦n≦x)d(n)
となるはず。一方で、dirichlet divisor problem の最新の結果では
Σ(1≦n≦x)d(n)＝xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(x^θ), infθ≦131/416
となっているので、
2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝x^{1/2}＋O(1)－O(x^θ)＝x^{1/2}＋O(x^θ), infθ≦131/416
となって、目標の剰余項 O(n^(131/416＋ε)) (ε＞0は任意)になる。 ちなみに、逆の計算もできて、
Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^α)
が成り立つなら
Σ(1≦n≦x)d(n)＝xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(x^α)
も成り立つ。よって、>>380の剰余項はdirichlet divisor problemの剰余項と
本質的に同じものになる。そして、dirichlet divisor problemの剰余項では
infθ≧1/4 が成り立つらしいので、>>380の剰余項もそこまでが限界になる。
ぴったり infθ＝1/4 が成り立つかは未解決問題らしい。 dirichlet divisor problemにおけるO(x^θ)の変遷はwikipediaに年表が載っていて、
最初にO(x^{1/2})があって、次の更新は1904年で、このときはO(x^{1/3}log x)が得られている。
一応、この時点で>>411よりも精度が高い。該当する論文は、よく分からないけどたぶんこれ。
sur une fonction transcendante et ses applications a la sommation de quelques series
sur une fonction transcendante et ses applications a la sommation de quelques series(suite)
どちらも非常に長い上に、ゼータ関数を経由していて何をやっているのか全然分からん。
最初の更新がこんな高度なレベルってのが信じられんｗ
別の見方をすると、>>380や>>411ならO(x^{1/3}log x)には及ばないものの非自明な更新が
初等的に得られるということでもある。 問題（第１種情報処理技術者試験・平成元年度春期午前問１７を改題）
ある医院では、患者が平均１０分間隔でポアソン到着にしたがって訪ねてくることがわかった。
医者は１人であり、１人の患者の診断及び処方にかかる時間は平均８分の指数分布であった。
設問１ 患者が待ち始めてから、診断を受け始めるまでの「平均待ち時間」を求めなさい。 >>458
>Dirichlet hyperbola method
なんかすごいのが出てきた。
こんなんがあるんだ！ >>458
あかん。のっけからわからん。
Dirichlet hyperbola method って
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_hyperbola_method
ですよね？
このf,g,hに何をapplyしたら
Σ(1≦n≦x)d(n)＝2Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]－[x^{1/2}]^2
になるんですか？ あ、わかった。g=h=1、f(x) = d(x)だ。なるほろ。 となると今度は>>380の出題者さんの難しい論文を引用しないでも済む方法が聞きたい。
おながいします。 >>458-461
ふぁっ！？ そんなもんがあったのか…勉強になるわ、後でじっくり読もう
一応 >>380 の解答載せるけど、だいぶゴリッゴリの力ずくでそれ程有意義とも思えんけどまあ許してちょ…
あとリクエストにおこたえしてガバガバながら一番最後以外の細かい係数も出してみた
実数 δ, δ', β, c を 0<δ/2≦β<δ<δ'<1, 3δ'≦1+δ, 0<c≦δ-β を満たすものとして任意に固定する。
（パラメータを最適化したら δ'=1/3, δ=1/6, β=c=1/12 となるから先に代入して読んでいっても可）
n を正の整数とする。各正の整数 r≦n^(δ'-δ) に対して集合 J_r を
J_r := {mは0以上の整数| r ≦ 1 + m/(n^δ) < 1+r }
と定める。また、各 m∈J_r に対して集合 I_m を
I_m := {kは2以上の整数| 1+m/(n^δ) ≦ n/(k(k-1)) < 1+(m+1)/(n^δ)}
と定める。以降、r と m は上に示された範囲のみを動くものとする。
まずは I_m の元の個数 |I_m| を評価したい。I_m の条件式を整理すると
(1/2)*(1+√(1+4n*(1+(m+1)/(n^δ))^(-1))) < k ≦ (1/2)*(1+√(1+4n*(1+m/(n^δ))^(-1)))
となるから、この範囲の k の個数を考えると
|I_m| ≦ 1 + √(n*(1+m/(n^δ))^(-1)) - √(n*(1+(m+1)/(n^δ))^(-1))
≦ 1 + (√n)*(1/(n^δ))/(2*(1+m/(n^δ))^(3/2))
≦ 1 + (1/2) * n^(1/2 - δ) * r^(-3/2)
≦ (3/2)*n^(1/2-δ)*r^(-3/2) (∵ 1/2-δ-(3/2)(δ'-δ)≧0 )
=: L_r. ディリクレのディオファントス近似定理から、各 m について
|m/(n^δ) - p/q| ≦ 2/(qn^β) ((p,q)=1, 1≦q≦n^β) …（☆）
を満たす整数 p,q が存在する。
また、逆に q<n^β を固定したときに（☆）を満たす p が存在するような m∈J_r の個数は、
≦ φ(q)*(2+2(n^δ)/(qn^β)) (φはオイラーのトーシェント関数)
≦ 2(q+n^(δ-β)).
また、そのような m について
n/k = n/k_0 + (1+m/(n^δ))(k-k_0) + ψ~(k) (for∀k∈I_m. ただし k_0:=min(I_m))
とおくと |ψ~(k+1)-ψ~(k)|≦n^(-δ) が成り立つが、これより
n/k = n/k_0 + (1+(p/q))(k-k_0) + ψ(k) (for∀k∈I_m)
とおくと |ψ(k+1)-ψ(k)|≦n^(-δ)+2/(qn^β) が成り立つ。ゆえに、>>416 の補題から
Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)
≦ [|I_m|/q]( 3q*(q/(n^δ) + 2/(n^β)) + 3 ) + q (∵q個の連続する整数ごとに和をとる。あぶれる項はq以下)
≦ 3*L_r*(q/(n^δ) + 3/q) + q.
ここで、J_r を２つの集合
J'_r := {m∈J_r| q≦n^c ととれる },
J''_r := {m∈J_r| q≦n^c ととれない }
に分割すると、
|Σ_(m∈J'_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)| ({x}はxの小数部分)
≦ Σ_(q=1,[n^c]) 2(q+n^(δ-β))*(3*L_r*(q/(n^δ)+3/q)+q)
≦ Σ_(q=1,[n^c]) 4(n^(δ-β))*(12(L_r)/q + q) (∵c≦δ-β)
≦ 48*L_r*n^(δ-β)*(1+clogn) + 4n^(δ-β+2c).
また、
|Σ_(m∈J''_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)|
≦ Σ_(m∈J''_r) (12(L_r)/(n^c) + n^β)
≦ 12*L_r*n^(δ-c)+n^(δ+β).
以上から、
|Σ_(m∈J_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)|
≦ (上二つのJ'_r,J''_rについての評価式の和). この評価式を r=1,2,…,[n^(δ'-δ)] について足し合わせれば、
Σ_(r=1,[n^(δ'-δ)]) Σ_(m∈J_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)
≦ 72ζ(3/2)*n^(1/2-β)*(1+clogn) + 4n^(δ'-β+2c) + 18ζ(3/2)*n^(1/2-c) + n^(δ'+β).
また、k=1,…,[√n] のうち、このΣで k の項が足されていないようなものの個数は
≦ 1+n^((1/2)(1+δ-δ'))
であることがわかる。ゆえに、
|Σ_(k=1,[√n]) {k/n}-(1/2)| ≦ (上二つの評価式の和)+1. (最後の +1 は整数 k>[√n] の項で足された分)
δ'=1/3, δ=1/6, β=c=1/12 と定めることにより |Σ_(k=1,[√n]) ({n/k}-1/2)|=O(n^(5/12)*logn) がわかる。□ >>468-470
乙です。
こっちは、剰余項を考えないバージョンの
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2}){x/k}＝1/2
が一般的な形で証明できたかもしれない。使うのは>>413で、m∈Z－{0}のときは
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})e^{2πimx/k}＝lim(x→∞)x^{－1/2}O(x^{1/3})＝0
が成り立ち、m＝0 のときは
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})e^{2πimx/k}＝1
が成り立つので、あとは Weyl's criterion の手法を機械的に真似すればいい。
こうすると、より一般的に、リーマン可積分な任意の f：[0,1]→R に対して
lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})＝∫(0,1)f(t)dt
が示せるはず。例のごとく間違ってる可能性もあるので、詳しくは書かないけどｗ 有名なのできっと既出だとは思いますが、すごくお気に入りなのでぜひ紹介させてください。
ドラゴンの目の色は、赤か緑のどちらかである。
ドラゴンは不死身だが、もし自分の目の色が緑だと知ってしまった場合、そのドラゴンは日付が変わると同時にトカゲに変身してしまう。
だからドラゴンたちは決して鏡を見ないし、お互いの目の色の話もしないのだ。
ところで、ある島にはドラゴンが100頭住んでいて、その目はすべて緑色である。
ここを訪れたある旅人は去り際に、見送りに来た100頭のドラゴン全員に聞こえるようにこう言った。
「この島には少なくとも一頭、緑の目のドラゴンがいる」
このあと、この島で何日後に、何が起こるだろうか。
ただしドラゴンたちは十分に聡明で、もしあるドラゴンがトカゲに変身したとき次の日にはそのことを皆が知ることになるものとし、
100頭のドラゴンは互いに顔見知りであり自身以外の99頭が緑の目をもつことを知っているものとし、
この島にドラゴンは出入りしないものとする。 不思議だなこれ
寝る。
次の日n頭中の誰もトカゲになってないなら、
どうn-1頭をとってもその中に少なくとも1頭緑目がいることになる。
適当にn-1頭が集まって「この中に少なくとも1頭緑目がいる」と宣言する。しなくても皆気付いてるけど。
寝る。
次の日集まったn-1頭中の誰もトカゲになってないなら、
その中からどうn-2頭をとってもうち少なくとも1頭は緑目がいることになる。
適当にn-2頭が集まって「この中に少なくとも1頭緑目がいる」と宣言する。しなくても皆気付いてるけど。
以下略
一方で「島には少なくとも1頭緑目がいる」という旅人の言葉は
全てのドラゴンにとって既知の事実だし、
それが全てのドラゴンにとって既知の事実だということも皆が知っているし、
それが全てのドラゴンにとって既知の事実だということも皆が知っているということも皆が知っている。
旅人の言葉は何の情報を与えてドラゴンの推論エンジンを始動したのか？ >>471の方針のもとで剰余項ありのケースを考えたら、
C_0^∞関数で近似して普通に剰余項が出たっぽい。
f：[0,1]→Rは2階微分可能で、f '' ∈L^2 が成り立つとする。
このとき、α＝1/3に対して
Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})＝x^{1/2}∫(0,1)f(t)dt＋O(x^{(2/5)α＋(3/10)})
が成り立つ。
残念ながら、O(x^{5/12}log(x))よりは精度が悪いｗ >>472
類題をどっかで見たようなと思ったけど、これと同じかな？
こっちのほうがイメージしやすそう
100組の夫婦が暮らす村がある。
100人の夫は全員他の家の妻と不倫をしている。
この村のルールでは、妻が夫の不倫を知ったらその夜に夫を殺さなければならない。
妻は他の家の夫が不倫をしていることを必ず見抜くことができるが、
自分の夫の不倫には絶対に気がつかない。
妻たちは全員論理的な思考ができて、かつ他の妻に夫が不倫をしていることを決して言わない。
村を訪れた旅人が「少なくとも一人の夫が不倫をしている」と言った。
その後どうなるか。 見直したけど大丈夫っぽいので、>>471の詳細を書いてみます。
剰余項つきの>>474はまた今度。
f：[0,1]→Rに対して
S_u(f)＝limsup(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})
S_d(f)＝liminf(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})
と置く。lim が実数として存在するときには
S(f)＝lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})
とも置く。S(f)が存在することと、
S_u(f)＝S_d(f)∈R が成り立つことは同値であり、
そのときS(f)＝S_u(f)＝S_d(f)∈Rが成り立つ。 fがリーマン可積分なら、S(f)が存在してS(f)＝∫(0,1)f(t)dtが成り立つことを示したい。
Weyl's criterion の真似をする(f(x)が特殊な形から出発して一般化していく)。
f(x)＝sin(2πkx) (k∈Z) のときは、もしk≠0なら、
>>413により S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。
また、k＝0のときは S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。よって、この場合は成立。
f(x)＝cos(2πkx) (k∈Z) のときは、もしk≠0なら、>>413と同じように計算して、
S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。また、k＝0のときは
S(f)＝1＝∫(0,1) f(t)dt である。よって、この場合も成立。
S(f)の線形性により、有限個の sin(2πkx), cos(2πkx) (k∈Z) の
R係数の線型結合で表されるg(x)に対しても、S(g)が存在してS(g)＝∫(0,1)g(t)dtとなる。 次に、f：[0,1]→R が連続で f(0)＝f(1) を満たすときを考える。
この場合、フーリエ展開の理論から、任意のε＞0に対して、有限個の
sin(2πkx), cos(2πkx) (k∈Z) のR係数の線型結合で表されるg(x)であって
sup(x∈[0,1])|f(x)－g(x)|＜ε
を満たすものが取れる。S(g)＝∫(0,1)g(t)dt により、
S_u(g)＝S_d(g)＝∫(0,1)g(t)dt なので、g－ε≦f≦g＋ε (各点)
と合わせて
S_u(f)≦S_u(g＋ε)＝S_u(g)＋ε＝∫(0,1) g(t)dt＋ε
S_d(f)≧S_d(g－ε)＝S_d(g)－ε＝∫(0,1) g(t)dt－ε
S_u(f)≧S_d(f)
となる。また、|∫(0,1)g(t)dt－∫(0,1)f(t)dt|≦εである。よって、
∫(0,1)f(t)dt－2ε≦S_d(f)≦S_u(f)≦∫(0,1)f(t)dt＋2ε となる。
ε＞0は任意だったから、この場合も成立。 次に、A⊂[0,1] に対して、1_A：[0,1]→R を 1_A(x)＝1 (x∈A), 0 (x∈[0,1]－A) と定義する。
ここでは、I⊂[0,1] は開区間または閉区間または半開区間とする。f＝1_I のときを考える。
任意のε＞0に対して、折れ線で構成される連続関数 f_1,f_2：[0,1]→R であって
f_k(0)＝f_k(1) (k＝1,2),
f_1≦f≦f_2 (各点の意味),
∫(0,1)(f_2(t)－f_1(t))dt＜ε
を満たすものが簡単に構成できる。S_u(f_k)＝S_d(f_k)＝∫(0,1)f_k(t)dt なので、
S_u(f)≦S_u(f_2)＝∫(0,1)f_2(t)dt≦∫(0,1)f_1(t)dt＋ε≦∫(0,1)f(t)dt＋ε
S_d(f)≧S_d(f_1)＝∫(0,1)f_1(t)dt≧－ε＋∫(0,1)f_2(t)dt≧－ε＋∫(0,1)f(t)dt
S_u(f)≧S_d(f)
により、－ε＋∫(0,1)f(t)dt≦S_d(f)≦S_u(f)≦∫(0,1)f(t)dt＋ε となる。
ε＞0は任意だったから、この場合も成立。 よって、有限個の 1_I (I⊂[0,1]は開区間または閉区間または半開区間)の
R係数の線型結合で表されるg(x)に対しても、S(g)が存在してS(g)＝∫(0,1)g(t)dtとなる。
すなわち、任意の階段関数 g：[0,1]→R に対して、S(g)が存在してS(g)＝∫(0,1)g(t)dtとなる。
最後に、f：[0,1]→R はリーマン可積分とする。リーマン積分の性質により、
任意のε＞0に対して、ある階段関数 f_1,f_2：[0,1]→R が存在して、
f_1≦f≦f_2 (各点の意味),
∫(0,1)(f_2(t)－f_1(t))dt＜ε
が成り立つ。よって、>>479と同じ計算で S(f)＝∫(0,1)f(t)dt となる。
特にf(x)＝xとして、lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2}){x/k}＝1/2 が成り立つ。□ >>473
解説を読んでもすぐにはピンとこないよね
＞99日後に分かる
＞「少なくとも99頭のドラゴンが緑の目をしていること」はみんな知っているよ
＞これが「旅人がドラゴンに与えた情報」です >>475
今までに
他の家で誰も殺されていないことを全ての妻が知っている、のが前提だよね？ >>480
なるほど、求める性質が成り立ってくれるとわかる関数のクラスをどんどん"扱いやすいもの"にしていくという方法か
そうすると、2以上のαに対して S'(f)=lim_(x→∞) x^(1/α) Σ_(k=1,[x^(1/α)]) f(k) と定義した時に
同じ議論が成り立つかどうかも、最初の sinkx, coskx についての箇所さえチェックすればいいことになるんかな
まあ、これを考えるとなると、一般の多項式についてガウス和チックなこと考えなきゃいけなくて
かなり面倒になることが予想される…ｗ ここも興味ある有志にお任せするとしようか 緑目ドラゴン3頭が島で暮らしている。
旅人が「少なくとも1頭は緑目」と言う。
ドラゴンAは考える
「我以下の2頭は緑目」
「論理的に考えて3頭中どの2頭をとっても少なくとも1頭緑目がいる」
「我とドラゴンBのうち少なくとも1頭は緑目」
「見てわかるようにドラゴンBは緑目」
「だがドラゴンBから見ると『論理的に考えて3頭中どの2頭をとっても少なくとも1頭緑目がいる』は成り立たない」
「我が赤目の場合、ドラゴンBからは緑目は1頭しか見えていないのだからな」
「とすれば論理的に考えて」
「皆が緑目であるか、」
「自分だけが赤目であるか、」
「のいずれかであるな」
おしまい。 >>484
＞「我以下の2頭は緑目」
我以外、の書き間違えでした。
自分の目の色はわからないので自分と他人とでは情報に対称性がないわけです。
よって「自分から見るとAが帰結されるから他人もAと帰結するはず」とは言えない。
「少なくとも1頭緑目がいる」という既知の情報からは
「自分だけが赤目か皆が緑目のいずれかである」
という既知の事実以上の推論は不可能でした。 ① 既知の情報だから何も起こらない説
② 外部発言がなくても全員が変身する説
信じるか信じないかは、あなた次第 >>473
＞適当にn-1頭が集まって「この中に少なくとも1頭緑目がいる」と宣言する。しなくても皆気付いてるけど。
この「皆気付いてるけど」が少なくとも n=3 のときは成り立たないんだよね ３匹の場合でこうかな
1日目のA:
1)我(A)が赤目だと仮定しよう。そのとき、Bは赤目(A)と緑目(C)が見えている。
Bは「a)我(B)が赤目だと仮定しよう。そのとき、Cは赤目(A,B)だけが見えている。
ならば、Cは『緑目が少なくとも一頭いるのだから、我(C)が緑目だ』と考える。
b)我(B)が緑目だと仮定しよう。そのとき、Cは赤目(A)と緑目(B)が見えている。
ならば、Cは『緑目が少なくとも一頭いることからは、我(C)が緑目だとはいえない』と考える。
a)b)から、明日になってCがトカゲになっていたら我(B)は赤目、ならなかったら我(B)は緑目だ」と考える。
2)我(A)が緑目だと仮定しよう。そのとき、Bは緑目(A,C)が見えている。
Bは「緑目が少なくとも一頭いることからは、我(B)が緑目だとはいえない」と考える。
2日目のA:
Cはトカゲにならなかった。
1)我(A)が赤目だと仮定しよう。Bは「我(B)は緑目だ」と考える。
2)我(A)が緑目だと仮定しよう。Bは「我(B)は緑目だとはいえない」と考える。
1)2)から、明日になってBがトカゲになっていたら我(A)は赤目、ならなかったら我(A)は緑目だ。
3日目のA:
Bはトカゲにならなかった。
我(A)は緑目だ。 >>488
対称性から2日目に結論が出るから、3日目には全員トカゲになっているな >>488
そうするとこの場合はどうなるんだろう。
島に3頭の緑目ドラゴンがいた。
ドラゴンAはある日ふと思った。
「この島には少なくとも1頭の緑目がいる」 もちろんBCも(目で見て)それ(少なくとも1頭緑目がいることを)を知っている、とAは考えている。 >>490
その場合はAの想像の中のBの想像の中のCは「緑目が少なくとも一頭いる」ことは知らない。
ABCが「緑目が少なくとも一頭いる」という知識を共有してないといけない。 >>492
1行目はわかるんだけれども、2行目、
旅人なしでも
少なくとも1頭はいるという知識は共有しているし
共有しているという知識も共有していますよね。 「あなた方の少なくとも1匹は緑目」
＝「あなた以外のドラゴンがみな緑目でないなら、あなたは緑目」
「俺達の少なくとも1匹は緑目」からは後者の推論が成り立たない 「俺たちの少なくとも1頭は緑目」
＝「俺以外の2頭が赤目なら俺は緑目」
形式的には全く問題なく推論が成り立つ気がするが >>496
すぐに走りだす奴がいないということは三人の帽子は順不同の白白赤か白白白。
つまり白赤が見えてるか白白が見えてる。白赤が見えてるとき人は一般に自分が赤である確率が1/3だから走るはずだ。が、あとの二人が走らないということは白白が見えてるってこった！――そう思ってみんな走った。 >>495
「俺たちの～」は、(自分を除いて)少なくとも1頭が緑目、という限定主観情報
「あなた方の～」は、(自分も含めて)少なくとも1頭が緑目、という客観情報
限定主観情報からは自分が緑目の推論は不可能 「共有知識」で検索してたら関連パズルを発見
A,B,Cの3人が次のようなゲームをしました．
まずゲームマスターが3つの帽子に30, 2018, 2048と書き込み，この順にA,B,Cにかぶせます．
ゲームマスターは全員の前でこう告げます：
「帽子には全て正の整数が書かれています．それから，帽子に書かれた数のうち最大のものは，残りの2つの数の和になっています．」
3人は自分以外の人の帽子は見えますが，自分の帽子は見えません．
次にゲームマスターはA,B,Cの順に「自分の帽子に書かれた数がわかりますか？」と尋ねます．
全員が続けて「わからない」と答えたら，再びA,B,Cの順に同じことを尋ねます．
最初に自分の帽子に書かれた数字がわかるのは3人のうち誰で，それはその人への何回目の質問のときでしょうか．
ただし参加者全員は十分に明晰で，嘘をつくこともないとし，発言は全員に聞こえるものとします． 師走、師走、師走！
師が走ると書いて師走!!
笑わば笑え、師走の気層のひかりの底を唾しはぎしりゆききする、俺はひとりの修羅なのだ！ 前>>497
開運!!
参考文献
『春と修羅』宮沢賢治 ヾ∩∩〃
（(`e`)やぁ
（っц)~きつい戦い
~ιγ) でした。
_υ`υ_ 二人とも走んなかったんで、こいつら白白見てる、俺白だ！ 前>>502ピンときました。どのみち同時に走ったところで勝つ確率1/3なんで、それならスタート切って2/3失格じゃないなら一抜けできるなって。 >>501
とりあえず73ターン目のCは正解出来るみたいね。
これ以前に誰かが正解出来る可能性が否定出来てないのでダメだけど。
まず1ターン目誰もわからないので(a,a)の形が見えてる人がいないことが分かる。
次に2ターン目誰もわからないので(a,2a)の形が見えてる人がいないことが分かる。
次に3ターン目誰もわからないので(a,3a), (2a, 3a)の形が見えてる人がいないことが分かる。
……
と続けていくと遅くとも73ターン目のＢの終了時点で(15a, 994a)の形が見えてる人がいないとわかり、Cはこの時点で(30,2018,1988) でないとわかるのでこのターンで正解出来る。
これが最初かどうかは不明。 (a,a)否定の意味は分かるけど
(a,2a)否定の意味が分からないorz もし(a,2a)と見えてる人がいたらその人にとって可能性は
(a,a,2a)か(a,2a,3a)しかないけど1ターン目で前者が否定されてるから(a,2a,3a)に確定するはず。
にも関わらず2ターン目で全員解答不能ならそのように見えてる人はいないとわかる。 >>506
なるほど
ということは４ターン目終了時は以下が否定か
(a,4a)、(2a,5a)、(3a,4a)、(3a,5a)
まだ (15a,994a) の理屈は分かってないけど
1988＝2*2*7*71 は関係あるかもね 昔家庭教師だったけど、数年前に学生に出された問題がわからない。
曰く数学オリンピックに入賞した奴が考えた問題だそうで、それの回答をせがんできたが自分には無理だった
今でも悔しいので、誰か答えがわかったら
多角形の対角線(以下A)をすべて結び、対角線同士の交点をXとする。またXから、他のXもしくは多角形の頂点へと線を結び(以下B)、B同士、またはBとAが交わった点をYとする。
またYから、他のY、もしくはX・多角形の頂点へと線を結び、それらの線同士、またはそれらの線とB、Aが交わった点をZとする。
以下この操作を無限に繰り返すことができない多角形をMとする。
①Mに該当する六角形を１つ図示せよ
②Mは七角形以上の多角形には存在しないことを証明せよ
①は分かった
②は無理だった >>509
> ①Mに該当する六角形を１つ図示せよ
>
> ①は分かった
はどんな6角形ですか？ >>510
ヒントでいいなら、まず無限に上の操作を繰り返せない五角形を考えてみたらいいと思う
六角形はその要領で考えたら自然と出来るよ >>511
いや、問題文の意味がわからない。
>>509の文章からは今まで獲得した点集合から４点ABCDを線分AB、CDを選んでその交点を新たに追加していいように思える。
でもそのルールだとどんな凸５角形からスタートしても無限に交点を生成できる。
たとえばABCDEを凸５角形でこの順にならんでるとしてAC、BDの交点をX[1]、X[1]E、ADの交点をY[2]、
以下AC、BY[i-1]の交点をX[i]、AD、X[i]Eの交点をY[i]とえらんでいけば、X[i]はAC上のすべて異なる点になってしまう。
なんかこの作業が禁止される禁止則がないとだめだけど>>509の文章ではそれがなにか伝わってこない。
なので６角形でMに属する図形の例あげてもらえれば伝わってくるのではないかと。 >>512
五角形は長方形の対角線の交点に頂点が来るようにしたらいけるよ
それ以上結びようがない >>513
ああ、５角形って角が１８０度もありなのね。
やっと意味わかった。 あ、ちがうな。
＞五角形は長方形の対角線の交点に頂点が来るようにしたらいけるよ
これで意味わかった。 >>513
もう一度確認。
凸でなくてもいい（１８０°超えるのは可）
だけどピッタリ１８０°は不可で桶？
でないと△ABCのBC上に４点とればMになっちゃうもんね？ >>513
だめだ。まだ不明点あるや。
凸でなくていいならたとえば六角形ABCDEFで∠Aが180°超える場合、対角線BFは６角形の外にでるけど、たとえばこのBFと直線ACの交点を追加するのはありなん？
それともあくまで “辺”、”対角線” はその延長を含まず追加される点は常にもとのPolygonの中に限定されるの？ >>518
(1)の６角形の６点は全てことならないとだめなん？
たとえば長方形ABCDの交点をXとして
ABXCDXを６活計とみなすのはあり？ >>520
これはなしなのか…
だと(1)の方がさっぱりわからん。
なんか可能性みおとしてるのかな。
凸包はやっぱり４角形？ >>520
以下の解釈であってる？
Pを平面上の凸とは限らない多角形とする。
ただし内角は180°だけは禁止し、その周は単純閉曲線(S^1と同相)とする。
帰納的にF[i]を定める。
F[1] = Pの頂点集合。
F[i+1] = { l と mの交点 | l、m は F[1]∪…∪F[i] から任意に選んだ２点を結ぶ直線}
(1) #P = 6、#∪F[i] < ∞ をみたすPが存在することを示せ。
(2) #P ≧ 7、#∪F[i] < ∞ となるPは存在しないことを示せ。 >>508
省略表記の否定比率リスト(合ってる自信はない)
① 112
② 123
③ 134 235
④ 145 347 257 358
⑤ 156 459 37.10 47.11 279 57.12 38.11 58.13 >>524
問題から出題の経緯までそっくりwww
もしかしてサイトの本人？
でも設定微妙にちがうよね？
>>509は対角線の延長の交点も追加するのありといってるけどそれだとサイトの６点配置が２つ載ってるけど両方アウトになる。 >>504
やっと否定比率の途中過程が分かった
1 1:1:2
2 1:2:3
3 1:3:4
4 3:4:7
5 4:7:11
6 4:11:15
7 4:15:19
8 15:19:34
↓
73 15:994:1009 正三角形ABCがある。正三角形ABCの内部に、点Aから5cm、点Bから12cm、点Cから13cm離れた場所で点Pがある。
この時、正三角形ABCの面積を中学数学のみで求めよ。 あ、一応補足
正確には中学数学までの知識で求めよってことね >>527
maxima 先生に聞いたら結構な値になるな。
vol(ab,ac,ad,bc,bd,cd):=sqrt(determinant(matrix([0,1,1,1,1],[1,0,ab^2,ac^2,ad^2],[1,ab^2,0,bc^2,bd^2],[1,ac^2,bc^2,0,cd^2],[1,ad^2,bd^2,cd^2,0]))/8)/6;
solve(vol(5,12,13,x,x,x)=0);
[x=－sqrt(20*3^(3/2)+169),x=sqrt(20*3^(3/2)+169),x=－sqrt(169－20*3^(3/2)),x=sqrt(169－20*3^(3/2)),x=0] >>525
人違いだけど、こうまで一致してるとこの類いの問題は少なくともある界隈では結構有名ってことなのかねえ
まあ、問題設定違って答えも違うということは、おそらく生徒か>>509の問題の聞き間違えってことなのかな # A,B,C,...,G,J,K 11人のうち、何人かが嘘つきで残りは正直者で
# 嘘つきは必ず嘘をつく。全員だれが嘘つきか知っている。
# 11人に「うそつきは何人いますか」と聞くと、下のように答えました。
# A:1人,B：2人,C:3人,...,G:9人,J:10人,K:12人
# 誰が嘘つきでしょうか >>503あってんのか？
あってるよな。前>>497
ほかに答えないみたいだし。 >>533
返信というよりは補足です。
中学入試レベルなので３平方使用禁止です。 >>532
この手の問題って全員が同等に他人の思考を推論できるというのが前提になってるね。あってんじゃね。 >>534
あれ？maxima先生の答え間違ってる？ >>531
> # A,B,C,...,G,J,K 11人のうち、何人かが嘘つきで残りは正直者で
H,Iはいないの？
書き忘れ？
> # A:1人,B：2人,C:3人,...,G:9人,J:10人,K:12人
これは
I:9人,J:10人,K:12人？ >>531
K:11人の間違い。
結論は変わらない。 >>538
まぁ全員言ってる事違うので正直者が二人以上いることはない。
問題文では全員嘘つきが禁止されてないので
K:12人
だと全員嘘つきの解もありえる。
K:11人
ならその可能性が消えるのでJだけが正直者が唯一の解。 >>540
あたり。
n人にするとn-1番目が正直者になるね。 1枚だけページが破れた本がある。
破れていないページ番号を合計すると15000になる。
破れたページは何ページ目だろうか？ >>533
ADとBFの交点をGとし、FからADに垂線Hを引く。
△BEF=□ABCD-△ABG-△BCE+△FGH
=18×18-6×18-18×9÷2+3×9÷2
=324-54-81+13.5
=202.5(c㎡)
前>>532 SC 173 × 174 / 2 = 15,051 Prelude Data.List> head [x | x<-[1..], (div (x*(x+1)) 2) - x - x-1 > 15000]
175
Prelude Data.List> [(x,y)|x<-[1..174],y<-[1..x],div (x*(x+1)) 2 - y- y-1 == 15000]
[(173,25),(174,112)]
より最終ページが奇数が許されるなら 25, 26 ページ。
最終ページが必ず偶数なら解無し。 臭いページを破ったんじゃないの？
全178ページで合計は 178*(178+1)/2 = 15931
破られたページは 465，466 ページ １ページ破るから、表裏がなくなんのね。
ようやく意味がわかった。 >>549
１７８頁しかないのにどうやって465，466 ページを破るんだ？
日本の諺：無い袖は振れない >>551
いつもの顰蹙、プログラム解
rip <- function(n){
page=(n*(n+1)/2-15000)%/%2
torn=ifelse(page%%2,page,0)
ifelse(0<torn & torn<n,torn,0)
}
rip=Vectorize(rip)
n*(n+1)/2-3=15000
1/2*(5*sqrt(4801)-1) # 172.7231
n*(n+1)/2-(2n-1)=15000
1/2*(3+7*sqrt(2449)) # 174.7058
> rip(173)
[1] 25
> rip(174)
[1] 0 問題文には指定はないが、一枚に印刷されてるのは2k-1, 2kやろ？ 嘘つきがファジーとしてみました。
A,B,C,...,G,J,K 11人のうち、何人かが嘘つきで残りは正直者で
全員だれが嘘つきか知っている。
正直者は嘘をつかないが
嘘つきは嘘をつくこともつかないこともある。
11人に「うそつきは何人いますか」と聞くと、下のように答えました。
A:1人,B:2人,,...,J:10人,K:11人
誰が嘘つきでしょうか >>556
問題としてはこっちのほうが面白いね。
現実的だし。 >>556
１１人が1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 9, 9, 9 答えたとすると
嘘つきが必ず嘘をつくか、嘘もホントも答えるかで変わってくるね。 分かりやすい説明がありましたわ
「誰も」とか「誰か」の内容は文脈によって決まるので
ある場合にそれは、太郎と花子と次郎という想定が可能である
太郎が花子をねたみ
花子が次郎をねたみ
次郎が太郎をねたんでいる
そういった場合には、「誰もが誰かをねたんでいる」けれど
誰もからねたまれている「誰か」は存在しない
と、そういうことらしいわ >>558
嘘つきがファジーだとすると
この例だと
全員嘘つき以外に9と答えた3人のうち2人が正直者で他が嘘つき
という組合せも可能。
総当たりのプログラムではそれだけになったがプログラムに余り自信がない。
コイントスや待ち時間と違ってシミュレーションができない。 >>545
あまり自信がないのですが、□ABCDの右上の三角形(恐らく)FDEはどちらへ？ >>558のFuzzy versionのsolver
testimonies = [
(==1).length.(filter (==False)),
(==2).length.(filter (==False)),
(==3).length.(filter (==False)),
(==4).length.(filter (==False)),
(==5).length.(filter (==False)),
(==5).length.(filter (==False)),
(==5).length.(filter (==False)),
(==5).length.(filter (==False)),
(==9).length.(filter (==False)),
(==9).length.(filter (==False)),
(==9).length.(filter (==False))
]
isCompatible ts theCase = all (==True) $ zipWith (||) (map not theCase) (map (¥x -> x theCase) ts)
cases = (!! (length testimonies)) $ iterate (¥x-> [a:b|a<-[True,False],b<-x]) [[]]
main = mapM_ print [theCase | theCase<-cases, isCompatible testimonies theCase]
*Main> main
[False,False,False,False,False,False,False,False,True,True,False]
[False,False,False,False,False,False,False,False,True,False,True]
[False,False,False,False,False,False,False,False,False,True,True]
[False,False,False,False,False,False,False,False,False,False,False] >>564
いつもHaskellコードありがとうございます。
Rの結果(嘘つきを1で表示)と一致したので安心しました。
> liars <- function(Answer,Strict=TRUE){ # duplicate answer and/or case of all liars permitted
+ N=length(Answer)
+ arg=list()
+ for(i in 1:N) arg[[i]]=0:1
+ dat=do.call(expand.grid,arg) # expand.grid(0:1,0:1,0:1,...,0:1)
+ colnames(dat)=LETTERS[1:N]
+ check <- function(y,answer=Answer){
+ if(all(y==1)) {!all(1:N %in% answer)}
+ else{ # Strict: all honest answer compatible & not included in liar's anwer
+ if(Strict){all(answer[y==0]==sum(y)) & !(sum(y) %in% answer[y==1])}
+ else {all(answer[y==0]==sum(y))}
+ }
+ }
+ res=as.matrix(dat[apply(dat,1,check),])
+ rownames(res)=NULL
+ return(res)
+ }
>
> liars(c(1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 9, 9, 9),Strict=FALSE)
A B C D E F G H I J K
[1,] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
[2,] 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0
[3,] 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1
[4,] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >>558 の Fuzzy Version 位なら理詰めでもそんなに苦労はしないけど。
でも今回みたいな問題なら理詰めで解く事に拘ってもしょうがない気もする。
一致してる証言の数が最大４なので最低でも７人の嘘つきがいる。
よってその数が５人以下と証言しているA～Iは嘘つきであることが確定する。
よって正直者がいるとすればI,J,Kのうちの何人かに限られるが、その数も証言により２と確定する。
よって正直者の集合は{J,K},{I,K},{I,J}のいずれかであることが必要。
逆にこのとき条件は満たされる。
全員嘘つきも条件を満たすので以上４つが解である。 答が7,7,7,7,8,8,8,9,9,10,11 だとこんな結果（１が嘘つき、０が正直者）
> liars(c(7,7,7,7,8,8,8,9,9,10,11),Strict=F)
A B C D E F G H I J K
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
3 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1
4 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Answer 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 11 A,Bの二人が同じ出発地点から同じ目的地点に向けて同じ道を同時に出発する。
最初はAが歩き、Bが自転車で出発する。
Bがある距離進んだところで自転車を残して歩き出す。
Aが自転車にたどり着いたら自転車に乗ってBを追い越し、ある距離進んだところで自転車を残して歩き出す。
全行程をこのようにして進む。
どの時点でも二人のどちらかは歩いているが、片方が自転車にのっているときもあるので、自転車が無いときより早く着くという意見がある。
どの時点でもどちらかが必ず歩いていたのだから、自転車があっても早くならないという意見もある。
どちらの意見が正しいのか？ >>568
イメージしにくかったら具体例で考えてみるというのはどうか。
徒歩は時速3キロ、自転車は時速20キロ、目的地は60キロ先。徒歩のみで行けば20時間かかる。
Bが自転車を30キロ地点で降りたとすると、そこまで1.5時間かかっているので、残りの行程は10時間、到着まで11.5時間となる。
Aは10時間かけて自転車のある30キロ地点に着き、それから残りの行程を10時間かけて進む。到着までは同じく11.5時間となる。
徒歩のみよりはどちらも早い。 >>569訂正
＞Aは10時間かけて自転車のある30キロ地点に着き、それから残りの行程を1.5時間かけて進む。到着までは同じく11.5時間となる。 >>568
平均速度は歩行と自転車の調和平均になるのでいいかな。 歩行速度a, 自転車速度bで平均速度は1/((1/a+1/b)/2) =2ab/(a+b)
上の例だとの2*3*30/(3+20)=120/23=60/11.5=5.217
自転車での走行距離には無関係なんだな。 0 < a < b のときa < 2ab/(a+b)と言えるか、という問題に帰結。
あとは任せた。 >>573
すぐできた。
左辺-右辺={a(a+b)-2ab}/{a+b}=a(a-b)/(a+b)<0 >572
訂正
2*3*30/(3+20)=120/23=60/11.5=5.217
↓
2*3*20/(3+20)=120/23=60/11.5=5.217 自転車での走行距離が長いほど平均時速は速くなるな。 >>569
上の例でL=60,x=30
0<a<b, 0<x<Lの時
a < (a b L)/(a x + b (L - x))を示せに帰着。
c=x/Lとおいて0<c<1
右辺=ab/((a-b)c+b)
左辺 - 右辺=a-ab/((a-b)c+b)=(ac (a - b))/(a c + b (1 - c))
分子<0,分母>0で不等式成立。 >568
どちらかが常に歩いてはいるが、Bが自転車を置いた場所にAが辿り着く頃には、Bはもっと先の場所を歩いているわけだから、そのぶん時間が短縮されるのは自明。 >>579
自明というより、どれだけ短縮されるのが計算したくなるよ。 >>563
△FEDは考えなくていい。求められてない。求められてるのは△BEFの面積。
FもEもDもそこにあるだけ。どこへも行かない。
前>>545
GH=3、FH=HD=DE=9を作図する。
HDとFEの交点Mを中心に、
△DMEと△HMFは点対称だから、
△DMEは□ABCDから引かなくていい。
△DMEを引いてもどっちみち△BEFを求めるとき、
△HMFを足すことになるから。 S を集合とする。T は S の部分集合からなるある集合であり、包含関係に関して全順序をなす。すなわち、
A,B∈T ならば (A⊂B または B⊂A)
が成り立つ。
(1) S が可算集合の時、T の濃度はどのくらい大きくなれるか。
(2:未解決) S が非可算の場合はどうか。 >>582
(1)はQの部分集合Aで
x∈A、y≦x⇒y∈A を満たすもの全体が連続体濃度になるので連続体濃度が答えかな？ >>583
正解
(2)は一般連続体仮説を採用すれば似たような方法で T=|2^S| となる T の存在が言えるけど、
果たして ZFC だけから出せるだろうか？というのが疑問になってできた問題 kを自然数とする。
漸化式
x[1] = x[2] = 1
x[n+2] = x[n+1](x[n+1]+k)/x[n]
で定められる数列の全ての項は整数であることを示せ。 n人でじゃんけんを1回だけする。
1回のじゃんけんでの勝者の数をxとする。
xの期待値が最大となるnはいくつか？ >>586
期待値は
Σ[k=1,n-1] C[n,k] (1/3)^(n-1)
= n ((2/3)^(n-1) - (1/3)^(n-1))
1≦n≦4においてはn=4のとき最大値 28/27。
n ≧ 2 のとき
(n+1) (2/3)^n
≦ n (2/3)^(n^1) (2n+2)/(3n)
より n≧5のとき
n(2/3)^(n-1) ≦ 5 (2/3)^4 = 80/81
∴n≧5のとき期待値<28/27。 >>587
予想通り即効で正解されてしまった。
面白くない問題でスマソm(__)m >>585
g_0(t)＝1, g_1(t)＝1, g_2(t)＝1, g_3(t)＝t＋1,
g_n(t)＝(2t＋2)g_{n－2}(t)－g_{n－4}(t) (n≧4)
としてg_n(t)を定義すると、n≧0に対して、g_n(t)は0でない整数係数多項式である。
また、数学的帰納法で
g_n(t)g_{n－3}(t)－g_{n－1}(t)g_{n－2}(t)＝t (n≧3)
が示せる。次に、f_n(t)＝g_n(t)g_{n－1}(t) (n≧1) と置くと、
n≧1に対して、f_n(t)は0でない整数係数多項式である。また、
f_1(t)＝1, f_2(t)＝1, f_n(t)＝f_{n－1}(t)(f_{n－1}(t)＋t)/f_{n－2}(t) (n≧3)
が成り立つことが示せる。特に、>>585のx[n]に対して x[n]＝f_n(k) (n≧1) である。
f_n(t)は整数係数多項式だから、f_n(k)は整数であり、よってx[n]は整数である。 >>590
おお、すばらしい。正解です。
解答も想定解答の一つと同じ。
ちなみにこれk=1の場合が同志社大学の過去問らしいんですが、どなたか元ネタご存知ありません？ 単位円の面積を4等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ そういやなんかこの手の問題で面積極小になるときの曲線とか面とかのなす角は××°になるって話をなんか”××の原理”って呼ぶって話してた人いたけどなんの原理でしたっけ？
なんかギリシャ時代だかなんだかの学者さんの名前だった記憶があるんですけど。 プラトーの法則だね
プラトー自体は19世紀ベルギーの物理学者
2次元の場合はジャンクションが120°になって境界とのなす角は直角になる >>585
k>0 だから特性多項式 tt -2(k+1)t +1 は2実根α、βをもつ。
α = k+1 - √(k(k+2)),
β = k+1 + √(k(k+2)),
β-α = 2√(k(k+2)),
題意より
x[n+2] - x[n+1] = k(β^n - α^n)/(β-α),
であるが、上記により
α+β = 2(k+1)、αβ = 1。
またα、βの整係数対称式はこれらの整多項式だから整数。
なお、
x[n+1] = 1 + k[(β^n -1)/(β-1) - (α^n -1)/(α-1)] /(β-α), >>585
ちょっと理屈わかんないけど数値実験では合わないですね。
Prelude> let alpha k = k + 1 - (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let beta k = k + 1 + (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let x k n = 1 + k*(((beta k)^(n-1) -1)/((beta k)-1) - ((alpha k)^(n-1) -1)/((beta k)-1)) /((beta k)-(alpha k))
Prelude> let k = 1 in mapM_ print [x k n | n<-[1..10]]
1.0
1.3660254037844388
2.464101615137755
6.49038105676658
21.497422611928567
77.49930939094767
286.4998149518621
1066.4999504165007
3977.4999867141414
14841.499996440063
Prelude> let y k = map head $ iterate (¥[u,v]->[v,(v)*(v+1)/(u)]) [1,1]
Prelude> let k = 1 in mapM_ print $ take 10 $ y k
1.0
1.0
2.0
6.0
21.0
77.0
286.0
1066.0
3977.0
14841.0 >>596-597
失礼。あってますね。orz
Prelude> let theAlpha k = k+1 - (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let theBeta k = k+1 + (sqrt $ k*(k+2))
Prelude> let x k n = let {alpha = theAlpha k; beta = theBeta k} in 1 + k*((beta^n -1)/(beta-1) - (alpha^n -1)/(alpha-1)) /(beta-alpha)
Prelude> let k = 1 in mapM_ print [x k n | n<-[0..9]]
1.0
1.0
2.0
6.0
21.0
77.0
286.0
1066.0
3977.0
14840.999999999996
Prelude> let y k = map head $ iterate (¥[u,v]->[v,(v)*(v+1)/(u)]) [1,1]
Prelude> let k = 1 in mapM_ print $ take 10 $ y k
1.0
1.0
2.0
6.0
21.0
77.0
286.0
1066.0
3977.0
14841.0 >>585
題意から
x[1] = 1, x[2] = 1, x[3] = k+1,
y[n] = {x[n+1] + k + x[n-1]} / x[n] とおくと、
y[2] = {x[3] + k + x[1]} / x[2] = 2(k+1),
y[n+1] - y[n] = {x[n+2]/x[n+1] - (x[n+1]+k)/x[n]} ＋ {(x[n]+k)/x[n+1] - x[n-1]/x[n]} = 0,
∴ y[n] = 2(k+1),
これより、線形漸化式
x[n+1] - 2(k+1)x[n] + x[n-1] + k = 0,
を得る。
∴ x[n] のすべての項は整数である。
k>0 だから特性多項式 tt -2(k+1)t +1 は2実根をもつ。
>>596 に続く。 >>591,585
x[n]=a[n]a[n-1] とおくと、a[n]=(a[n-1]a[n-2] + k)/a[n-3] となって、Somos Sequence に似てる。
(k=0がSomos Sequence) http://mathworld.wolfram.com/SomosSequence.html
a[0]=a[1]=1, a[n]=(a[n-1]^2 + k)/a[n-2] でも整数性があるみたいだけど、
a[0]=a[1]=a[2]=a[3]=1, a[n]=(a[n-1]a[n-3] + a[n-2]^2 + k)/a[n-4] では整数性がない。
Somos Sequenceはクラスター代数と深い関係があるようなので、元ネタはその関係じゃないのかな？ >>600
そうなんですか？
用意した解法のもう一方がsomosの整数性を証明したローラン現象という事がこの数列でも起こってることを確認する方法なんですが、一般にこの現象を起こす何か十分条件的なものがあるんですかねぇ？
そのクラスター代数との関わりってのはどんなんですか？ >>601
Somos Sequenceはクラスター代数と関係があるってことを聞いたことがあるだけなので、
すまないけど詳しいことは全く知らないです。 >>602
ですか。
残念。
この同志社の問題どうやって作ったのか謎で謎で。
多分なんかこの手の問題出てきた背景的なものあると思うんだけどなぁ。 >>599
線形漸化式
x[n+1] - 2(k+1)x[n] + x[n-1] + k = 0,
より
x[n] = (1/2) + Ｔ_{2n-3}(coshθ)/(2coshθ)
= {coshθ + cosh((2n-3)θ)} /(2coshθ)
= cosh((n-1)θ)cosh((n-2)θ) /(coshθ),
ここにθは cosh(2θ) = k+1,
Ｔ_n はn次の第一種チェビシェフ多項式。 >>600
線形漸化式
a[n+2] - 2(k+1)a[n] + a[n-2] = 0,
より
a[n] = cosh((n-1)θ) (n：奇数)
= cosh((n-1)θ)/coshθ (n：偶数)
ここにθは cosh(2θ) = a[3] = k+1,
a[2m+1] = Ｔ_m(1+k),
a[2m] = Ｔ_{2m-1}(coshθ) / coshθ
= {a[2m+1] + a[2m-1]} / (2+k),
Ｔ_n はn次の第一種チェビシェフ多項式。
nが小さい方は
a[1] = 1,
a[2] = 1,
a[3] = 1+k,
a[4] = 1+2k,
a[5] = 1+4k+2kk,
a[6] = 1+6k+4kk,
a[7] = 1+9k+12kk+4k^3, >>605
その解答がクラスター代数と関係してるんですか？ >>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
xは頂角120°、底辺√2の二等辺三角形の等しい二辺だから、
x･(√3/2)=√2/2
x=√2/√3=(√6)/3
y=√2/2-x/2=√2/2-√6/6=(3√2-√6)/3
最小値は、
4x+2y=(4√6)/3+(3√2-√6)/3
=√6+√2
≒3.86370331
前>>545 前>>607訂正。
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
xは頂角120°、底辺√2の二等辺三角形の等しい二辺だから、
x･(√3/2)=√2/2
x=√2/√3
=(√6)/3
y=√2/2-x/2
=√2/2-√6/6
=(3√2-√6)/6
最小値は、
4x+2y=(4√6)/3+(3√2-√6)/3
=√6+√2
≒3.86370331
前>>545 >>600
a[0] = 1, a[1] = 1, a[2] = k+1,
a[n]a[n-2] - a[n-1]^2 = k,
の場合は
b[n] = (a[n+1] + a[n-1]) /a[n] とおくと
b[1] = (a[2] + a[0])/a[1] = k+2,
b[n] - b[n-1] = {(a[n+1] +a[n-1])a[n-1] - (a[n]+a[n-2])a[n]} / (a[n]a[n-1])
= {(a[n+1]a[n-1] - a[n]^2) - (a[n]a[n-2] - a[n-1]^2)} / (a[n]a[n-1])
= (k-k) / (a[n]a[n-1])
= 0,
∴ b[n] = k+2,
線形漸化式
a[n+1] - (k+2)a[n] + a[n-1] = 0,
より
a[n] = Ｔ_{2n-3}(coshθ) /(coshθ)
= cosh((2n-3)θ) /(coshθ),
ここにθは cosh(2θ) = (k+2)/2,
Ｔ_n はn次の第一種チェビシェフ多項式。 >>608
不正解です
それだと面積4等分にならない >>610
(θ-xsinθ)/2=π/8のときの
4√((cosθ-x)^2+(sinθ)^2) + 2xの最小値
かな？ 前>>608訂正。
前々>>607前々の前>>545→>>581
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
頂点が4つあるほうの領域を円の中心を通る半径で二分した領域の面積は、弧をLとして、
π/8=L/2+(xy√3)/2
斜辺1の直角三角形について、三平方の定理より、
(x/2+y)^2+{(x√3)/2}^2=1
x^2/4+xy+y^2+3x/4=1――①
最小値4x+2y=mとおくと、
y=m/2-2x
①に代入すると、
x^2/4+x(m/2-2x)+(m/2-2x)^2+3x/4=1
x^2+(x/2)m-2x^2+m^2/4-2xm+4x^2+3x/4-1=0
x^2+2xm-8x^2+m^2-8xm+16x^2+3x-4=0
9x^2-6xm+m^2+3x-4=0
9x^2+(3-6m)x+m^2-4=0
(判別式)=(3-6m)^2-4･9(m^2-4)=0
9-36m+36m^2-36m^2+144=0
36m=153
m=17/4(=4.25) 前>>612訂正。面積要らなかった。
>>592境界線の長いほうをx、短いほうが円の中心を通り2yとなるようにとると、
内角120°で分岐する長さxの直線2つと弧で囲まれた領域にある、
半径1を斜辺とし、その弧に対する弦の半分とその弦の中点から円の中心までを二辺とする直角三角形について、三平方の定理より、
(x/2+y)^2+{(x√3)/2}^2=1
x^2/4+xy+y^2+3x/4=1――①
最小値4x+2y=mとおくと、
y=m/2-2x
①に代入すると、
x^2/4+x(m/2-2x)+(m/2-2x)^2+3x/4=1
x^2+(x/2)m-2x^2+m^2/4-2xm+4x^2+3x/4-1=0
x^2+2xm-8x^2+m^2-8xm+16x^2+3x-4=0
9x^2-6xm+m^2+3x-4=0
9x^2+(3-6m)x+m^2-4=0
(判別式)=(3-6m)^2-4･9(m^2-4)=0
9-36m+36m^2-36m^2+144=0
36m=153
m=17/4(=4.25) >>611
これを解いて最小値は
> len = function(θ) 4*sqrt((cos(θ)-((4*θ)-pi)/sin(θ)/4)^2 + sin(θ)^2) + 2*((4*θ)-pi)/sin(θ)/4
> optimize(len,c(0,pi/2))$o
[1] 3.95125826 >>613
十文字なら全長４なので４以上が最小値はありえん。 >>614
Wolframにグラフを書いてもらいました。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4*sqrt((cos(%CE%B8)-((4*%CE%B8)-pi)%2Fsin(%CE%B8)%2F4)%5E2+%2B+sin(%CE%B8)%5E2)+%2B+2*((4*%CE%B8)-pi)%2Fsin(%CE%B8)%2F4+,+%CE%B8+in+%5B0,pi%2F2%5D >>611
>>614
残念ながら不正解
直線のみならそれで大丈夫だけど解は曲線です この場合もプラトーの法則成立するんでない？
・曲線は円、または直線。
・分岐は３枝でなす角は１２０°。
・外円との接続部は９０°。 >>620
minimize 2x+4(1-x*cosθ)(π/3-θ)/sin(π/3-θ) where θ-x*sinθ+((1-x*cosθ)((π/3-θ)/sin(π/3-θ)-1))^2=π/4
という式をたててみたがwolframalphaさんは答えを出してくれなかった
手で計算したところ
x=0.18059
θ=0.93017(単位円との交点間の弧の長い方の角度=106.59度)
のとき、分割線長の総和=3.9376 >>621で仮定した条件
分割線が(-x,0)-(x,0)の線分、および>>620の条件を満たす(±x,0)-(±cosθ,sinθ),(±x,0)-(±cosθ,-sinθ)の円弧(複号同順) >>622
>617の４本の放射直線を円弧で置き換えたモデルって理解でいいですか？ >>623
そうなります
ぜんぶ直線だとプラトーの法則が成立しないので
中央の線分を円弧に変えたらもっと良くなるのかどうかは検証していません 2つの分岐点を (0, ±b) とする。(0<b<1)
境界円の中心 {±(1-bb)/(2b√3)，±(1+bb)/(2b)}
境界円の半径 R = (1-bb)/(b√3),
境界円と外円の交点 {±((√3)/2)(1-bb)/(1+b+bb)，±(1/2)(1+4b+bb)/(1+b+bb)}
境界円の円周角 θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb)),
境界線の合計長さ L = 2b + 4Rθ, >>625 (訂正)
境界円の中心角 θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb)),
￣￣￣ >>628
分岐のところの角度をそれぞれ120°にすると条件が揃います >>625
bbってb*b＝b^2ですよね？
Lの最小値を求めようとグラフにしたらこんなになったんだけど。
https://i.imgur.com/NAxEnvp.png
"
2つの分岐点を (0, ±b) とする。(0<b<1)
境界円の中心 {±(1-bb)/(2b√3)，±(1+bb)/(2b)}
境界円の半径 R = (1-bb)/(b√3),
境界円と外円の交点 {±((√3)/2)(1-bb)/(1+b+bb)，±(1/2)(1+4b+bb)/(1+b+bb)}
境界円の中心角 θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+b+bb))
境界線の合計長さ L = 2b + 4Rθ
"
L = function(b){
R=(1-b*b)/b/sqrt(3)
theta=pi/3-atan(sqrt(3)*(1-b*b)/(1+b+b*b))
2*b + 4*R*theta
}
curve(L(x)) 結局
円内にある４つの円弧のうち右上のやつの半径をrとして(全部同じだけど)
(1) x^2 + y^2 ≦ 1 (y ≧ 0)、(x-rsinθ-cosθ)^2+(y - sinθ+rcosθ)^2 ≦ r^2
. の表す領域の面積がπ/8
(2) rcosθ - sinθ = r/2
をとくのか。
(1)がめんどい。 >>621
その値で作図してみました。
野球のボールというよりメガネ小僧って感じになりました。 分岐のとこが１２０°で外円との交わりが９０°でっせ >>634
違う。仕切り線は４つの円弧でないとダメ ∫[a-r,a-rcosθ]√(1-x^2)dx + ∫[a-rcosθ,1]√(r^2-(x-a)^2)dx = π/8 のときの 2(a-r) + 4rθの最小値を求める問題に帰着したけど
数式が複雑過ぎて断念。 こんなのキレイな解はでないんじゃね？
方程式たてて近似解求めるしかないよ。
多分だけど。 >>626 訂正
境界円の中心角 θ = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+４b+bb)), >>592
長さ 2b の境界線を共有する2個について、それぞれの面積は
σ(b) = {中心角 2(θ+π/6) の扇形} + 2･(底辺bの⊿) - 2･(三日月形D)
= (θ+π/6) + b･sin(π/3-θ) - RR(θ-sinθ),
ここに >>625 >>626 から
R(b) = (1-bb)/(b√3),
θ(b) = (π/3) - arctan((√3)(1-bb)/(1+4b+bb)),
等分条件（σ=π/4）から b を求めると、
b = 0.122010156676718
θ = 0.198522403464296
R = 4.66154271422004
L = 2b + 4Rθ = 3.94570296726719
* 三日月形：弧と弦に囲まれた部分。 >>630
>>625 >>626 のθの式が違ってました。スミマセン。（正しくは >>641)
L(ｘ) は L(0)=4 から L(1)=2 に単調に減少すると思います。L '(0)=0
L(x) ～ 4 - 2x^(3/2) のような感じです maxima先生の解答
r(s):=sin(s)/(cos(s)-1/2);
a(s,t):=r(s)*cos(t)+r(s)*sin(s)+cos(s);
b(s,t):=r(s)*sin(t)+sin(s)-r(s)*cos(s);
define(c(s,t),diff(a(s,t),t));
define(f(s),ratsimp(integrate(b(s,t)*c(s,t),t,5/6*%pi,%pi/2+s)+integrate(-(sin(t))^2,t,s,0)));
g(x):=f(x) - %pi/8;
h(x):=if g((x[1]+x[2])/2)>0 then [x[1],(x[1]+x[2])/2] else [(x[1]+x[2])/2,x[2]];
k(n,x):=if n = 1 then x else k(n-1,h(x));
s0:k(50,[0,1])[1],numer;
r(s0);
2 *a(s0,5/6*%pi)+4*r(s0)*(5/6*%pi - (%pi/2+s0)),numer;
(%o9) .8486751477323029
(%o10) 4.661542714220053
(%o11) 3.945702967267186 >>646
いや
直線ではなくまぎれもなく円弧で描いているんだけど
曲率が小さいのでほとんど直線にしか見えないのはご容赦 >>639
二つの円の半径と中心間の長さが与えられたときの変数の関係って
簡単な式にならないよね？ >>644
s,t,rが何かわからんから、さっぱりわからん。
最後はニュートンラフソンぽいな。 B>0を定数とせよ.
N(B)=#{(a_1,...,a_n):a_1,...,a_nは最大公約数が1の整数, |a_i| ≦B}
則ちN(B)とは, 絶対値がB以下の2つの整数の組(a,b)で, a,bが互いに素なもの達全体の個数である.
此の時極限値
lim_{B→∞} N(B)/B^2
の値を求めよ. >>36
出題しておきながら解き方を忘れたのだが, 局所大域原理が使えない為, K3曲面のBrauer群等を使わなければならない筈. >>650
敷居の円弧のうち右上のものの右上端を(cos s, sin s), 半径をr(s)としてる。
するとその中心Aは
(cos s,sin s) + r(cos(s - π/2), sin(s-π/2))
= (cos s + r(s) sin s, sin s + r(s) cos s)
この円上の点Pの偏角を t としてPの座標(a(s,t),b(s,t))は
a(s,t):=r(s)*cos(t)+r(s)*sin(s)+cos(s);
b(s,t):=r(s)*sin(t)+sin(s)-r(s)*cos(s);
円弧の右上端が t = s +π/2、左下端が t = 5π/6。
面積f(s)がGreenの公式より
f(s) = ∫[5/6π,s+π/2](b(s,t)a’(s,t)dt +∫[s,0] sin(t) (cos t)’ dt + ∫ [略] 0 dx。
でこのf(s)がπ/8になる s が s0。
本来Maximaにはnewtonってニュートンラフソン使うパッケージがあるんだけどうまく動いてくれなかったので力技で求めてる。
(g(a[n])<0<g(b[n]) において g(a[n]+b[n]) >0 なら a[n+1] = a[n]、b[n+1] = (a[n]+b[n])/2…の第５０項)
s0が決まればあとは代入するだけ。
maximaはもうオワコンなので極力つかいたくないんだけど、本問一番メンドイのが面積をパラメータ s で表す部分。
言語としては古臭くてなんだかなぁってとこ多いんだけどその辺のパッケージは充実してるから中々切れない。
sagemathにそろそろ移行したいんだけど。 >>651
N(B) = #{(a,b) | 1≦a≦b≦N、(a,b) = 1}
と思っていいん？ >>654
f(x) =Σ[n≦x] φ(n)/nとおけば f(x) = 6/π^2 x + O(log x)。
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/04/04/231745
よって
N(B) = ∫[1-0,B+0] x df(x) = Bf(B) - ∫[1,B] f(x) dx = 3/π^2 B^2 + O(B log B)。
よって
lim_{B→∞} N(B)/B^2 = 3/π^2。 図がないとどうも理解がはかどらないので図を書いてみた。
https://i.imgur.com/L6VeY57.png
ロケット形PQRの面積がπ/8であるときの
４×弧PQ ＋ ２×線分OQの最小値を求める のが課題。
θ,αは中心角, rが境界円の半径, bはOQの長さ
minimize 2*b+4rα where (θ-sinθ)/2+r^2(α-sinα)/2+(1-b)sinθ/2=pi/8 ,0<b<1,0<θ<pi/2
はWolframではタイムアウトした :( >>656
∠RQA＝π/6という条件を入れてみるとどうか 前>>613
境界線を4つの円弧と4つの直線xで描き、単位円に90°入射、分岐点を120°にして、2つの分岐点の距離をyとする。
分岐点の距離を長くして直線を短くして円弧を長くしたほうが最小値になるのかな？
直線４分割と図を重ねて描くと面積の過不足が一致すればいいはず。 >>656
内包表示できる Haskellでやってみたけど、計算が終わらない。
-- b+4rα where (θ-sinθ)/2+r^2(α-sinα)/2+(1-b)sinθ/2=pi/8 ,0<b<1,0<θ<pi/2
rangeB = map (/1000) [1..1000]
rangeTheta = map (\x -> x * pi/2/1000) [1..1000]
rangeAlpha = map (\x -> x * pi/1000) [1..1000]
rangeR = map (\x -> x * 1/1000) [1000..10000]
re = [2*b+4*r*α| b<-rangeB,θ<-rangeTheta, α<-rangeAlpha,r<-rangeR,(θ-sin(θ))/2+r^2*(α-sin(α))/2+(1-b)*sin(θ)/2==pi/8]
minimum re >>645これ最小値じゃないの？ 前>>658
円弧4つと分岐点を短く結ぶ。 >>653
今ひとつ理解が進まないので
この図でいうと
https://i.imgur.com/W1J8Kau.png
r s t P Aはどれにあたるのでしょう？ >>662
その図でPA=r(s)、∠POR = s、
円弧PQ上の点Xで半直線AXの偏角がtであるものの座標が(a(s,t),b(s,t))。
Pは t = s + π/2、Qは t = 5π/6。
Qのy座標 b(s,5π/6) が 0 であることとb(s,t):=r(s)*sin(t)+sin(s)-r(s)*cos(s)であることからr(s):=sin(s)/(cos(s)-1/2)が出ます。
ちなみにPAはx^2+y^2=1に接してます。 >>611 >>614
境界線はすべて線分。
分岐点 (±x, 0)
境界線と外円の交点 (±cosθ，±sinθ)
θ = 0.869336877
のとき
π/3 - θ = 0.1778606742
x = 0.1098816404
y = 0.9328737443
L = 2x + 4y = 3.95125825794117475
(交角の条件 90ﾟ，120ﾟ を満たさない。) >>650
(>>644 ぢゃないが)
境界線と単位円の交点を（cos(s), sin(s)) とする。(s=s0 は定数)
交点で接線をひく。半径に垂直なので、x軸から(反時計回りに)π/2 +s の方を向く。
境界円の半径をrとする。(rは定数)
境界円の中心：（r sin(s)+cos(s), sin(s)-r cos(s))
境界点は、中心からrだけ離れている。
(a(r,s), b(r,s)) = (r cos(t)+r sin(s)+cos(s), r sin(t)+sin(s)-r cos(s))
tは、中心から境界点を見た方位。（x軸から反時計回りに)
分岐点の交角は120ﾟだから、π/2 +s ≦ t ≦ 5π/6,
分岐点がx軸上にある条件は
r sin(5π/6) + sin(s) - r cos(s) = 0,
∴ r(s) := sin(s)/[cos(s)-1/2];
c(s,t) := ∂a(s,t)/∂t;
f(s) := ∫[5π/6, π/2+s] b(s,t)c(s,t) dt + ∫[s,0] -(sin(t))^2 dt
= ∫[a(s,5π/6), a(s,π/2+s)] b(s,t) da(s,t) + ∫[0,s] (sin(t))^2 dt;
はパーツの面積の半分。
g(s) := f(s) - π/8;
とおくと等面積条件は g(s) = 0,
h(x[1],x[2]) := [x[1], (x[1]+x[2])/2] g((x[1]+x[2])/2) > 0 のとき
:= [(x[1]+x[2])/2, x[2]] その他
k(n,x) := {g(s)=0 の根を含む、幅(1/2)^{n-1} の区間}
（2分法？ ニュートン法ぢゃなかったみたい…)
9行目 s0 := k(50,[0,1]);
10行目 r(s0);
11行目 2a(s0, 5π/6) + 4r(s0)(5π/6 - (π/2 + s0));
かなぁ >>665
>>653 に有りましたか。全く見落としてました。 分岐点の角度条件をいれないと問題は解けないのかな？ >>667
https://i.imgur.com/DJUEwSb.png
で
∠OPAが90°∠OQXが120°という条件をいれないとこの問題は解けないんだろうか？
五角形の分岐線のときは結ぶ箇所が有限だったから、コンピュータがカブトガニ解をすぐに出してくれたんだが、
こっちは難しいなぁ。 前>>661
第Ⅰ象限から第Ⅳ象限まで形は同じだから、第Ⅰ象限で考えると、
①直線y=x
②円弧(x-a-√2)^2+y^2=(a+√2)^2-1
③単位円x^2+y^2=1
の3つが互いに交差しあってxの区間が4つあって、
前2つと後2つが(直線y=xの上下の領域が)等しくなるから、
あとは積分だと思う。これが正攻法だと思う。aが決まると思う。 >>672
それだと自分で書いている「分岐点が120°」という条件すら満たしていないわけだが 前>>672
>>673分岐点の角度は、
すべて120°になる。
つまり単位円内の円弧は第１象限では点(a,0)においてx軸と60°の角をなすように始まり、緩やかに右にカーブしy=xをかすめるように突っ切って単位円と90°の角をなすように終わる。
このy=xとの交点を境に前後の面積が等しい。
①0≦x≦a
②a≦x≦
③ ≦x≦1/a+2
④1/a+2≦x≦1/√2
①+②=③+④より、aが決まりそう。
②、③の空欄は、
円弧と直線y=xの交点のx座標で、
円弧の中心はx軸上にはない。たぶん第２象限。
今ここを考え中。
円弧の内角は30°～45°の範囲にあるが、カーブの向きから考えて37.5°より大きい。仮に40°なら、
境界線の最小値=2a+2π√2×4×40°/360°
=2a+(8/9)π√2 >>672
②の円の中心がx軸上にある根拠はある？ 前>>676
>>677訂正したとおり、円弧の中心はx軸上にはなく、第３象限にあり、
直線y=-(1/√3)(x-a)上にあると考えています。 前>>678-679
円弧の中心を(b,(a-b)/√3)とすると、
円弧の半径は2角が30°と60°の直角三角形の辺の比より、
2(b-a)/√3
円弧の式は、
(x-b)^2+{y+(b-a)/√3}^2=4/3)(b-a)^2
単位円と円弧の交点は保留。
おそらく中心(b,(a-b)/√3)までの距離が2(b-a)/√3だから、bはaで表される。
点(a,0)を通り傾き√3の直線y=√3(x-a)とy=xの交点は、
(a√3/(√3-1),a√3/(√3-1))
有理化して、
((3+√3)a/2,(3+√3)a/2) 前>>680ちがうちがう。
y=√3(x-a)とy=xの交点じゃなく、円弧とy=xの交点じゃないと意味ない。
円弧の中心を(b,(a-b)/√3)とすると、
円弧の半径は2角が30°と60°の直角三角形の辺の比より、
2(b-a)/√3
円弧の式は、
(x-b)^2+{y+(b-a)/√3}^2=(4/3)(b-a)^2
y=xを代入すると、
x^2-2bx+b^2+x^2+2(b-a)x/√3+{(b-a)^2}/3=(4/3)(b-a)^2
2x^2+2(b-a-b√3)x/√3-(b-a)^2=0
x=(1/2)(a-b+b√3)-√{(b-a-b√3)^2+(b-a)}
=
計算中 前>>682
x=(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(√3-1)b+a}^2+(b-a)]
=(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(4-2√3)b^2+2(√3-1)ab+a^2}+(b-a)]
0≦x≦aの範囲のy=xとx軸で囲まれた面積は、
a^2/2――①
a≦x≦(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(4-2√3)b^2+2(√3-1)ab+a^2}+(b-a)]の範囲のy=xと円弧で囲まれた面積は、
∫x=a～(1/2){a+(√3-1)b}-(1/2)√[{(4-2√3)b^2+2(√3-1)ab+a^2}+(b-a)])
{x-(円弧の式をyについて解いたもの)}dx――②
円弧の式にx^2=1-y^2を代入し、yについて解くと、
やがて③+④がわかり、
①+②=③+④ 前>>683
野球のボール→ の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×30/360
=2(2-√3)+4π/3
=4-2√3+4π/3
≒4.72468859 nを2以上の整数とする。n個のコップが横一列に並んでいて、左端のコップにのみ水が入っている。
あなたは次の操作を好きなだけ繰り返して、全てのコップの水の量が同じにしたい。このことが可能なnを全て求めよ。
<操作>
ある右端以外で水の入っているコップを選び、それに入っている水の1/3を右隣のコップに移し、1/3を飲み、1/3をそのままにする。 >>686n=2がすべて。それ以上は無理。
もう飲めない。前>>684
ビーカーの底に水が少なくなって無理。 前>>687n=5ができるかも。
でも腹いっぱい。 >>686
右に一つ進む度にコップの水の価値は２倍あると考える。
たとえばコップが４つでそれぞれ 3,6,2,5 入ってるとき総価値は 3+6×2+2×4+5×8 = 53 である。
この状態で左から２番めのコップを動かすと 3,2,4,5 になるが総価値は 3+2×2+4×4+5×8 = 53 で変わらない。
(1/3はそのまま、1/3 飲まれてしまうが、1/3は価値が倍になるので総価値は変化しない。)
コップの数が4ので最終的に 1,1,1,1 になったとすると総価値は 15 であるから初期状態は 15,0,0,0 でなければならない。
しかし一番左のコップは各操作で 1/3 になるか変化しないかのいずれかなので操作を繰り返して 1 になることはない。
一般にコップの数が n で全部 1 にできたとすると総価値は 2^n -1 であるがこれが 3 のべきであることが必要である。
ここで n≧3 のとき 2^n - 1 ≡ 7 (mod 8)、3^m ≡ 1,3 (mod 8)により n≧3 である解はない。
よって可能な n は n=2 のみである。 前>>684訂正。
野球のボール→ の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×α/360
(α＜30°)
=2(2-√3)+2πα/45
=4-2√3+2πα/45 >>592
交角の条件（90ﾟ, 120ﾟ）を満たす折れ線を考えてみた。
分岐点 (±x,0)
境界線と外円の交点 (±cosθ, ±sinθ)
屈曲点 (±(x+y/2), ±(√3)y/2)
(x+y/2)tanθ = (√3)y/2 より
y = 2x/((√3)cotθ -1),
z = 1 - (x+y/2)/cosθ,
y+z = 1 - {(√3 -2sinθ)/((√3)cosθ - sinθ)}x
長さ2xの境界を共有するパーツの面積
σ = π/2 - θ + (√3)xy/2,
4等分条件（σ = π/4) から
(√3)xy/2 = θ - π/4,
x = √[(θ-π/4)(cotθ -1/√3)],
L = 2x + 4(y+z)
が最小となるのは
θ = 0.84809550
π/3 - θ = 0.1991020512
x = 0.13817309535
y = 0.52395618804
z = 0.39500533920
y+z = 0.91896152724
L = 2x + 4y + 4z = 3.952192299669527 前>>691
野球のボール→ の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×α/360
(α＜30°)
=2(2-√3)+2πα/45
=4-2√3+2πα/45
(tanα=1/2、cosα=1/√5) 前>>693
野球のボール→ の縫い目にΗのような境界線を描くとし、
単位円の中心から分岐点までの距離をaとする。
xy平面における点(a,0)である。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=√3(x-a)上の第４象限にあり、
直角三角形の辺の比より、円弧の半径を2、
円弧の中心のy座標を-1とすると、円弧は第１象限においてじゅうぶんな位置で単位円と直交できる。
∴a=2-√3
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2π×2×α/360
(α＜30°)
=2(2-√3)+2πα/45
=4-2√3+2πα/45
(tanα=1/2、cosα=1/√5)
α≒26.56505119
境界線の最小値=4-2√3+2π(26.56505119)/45
=4-2√3+π(26.56505119/22.5
=4.24507926 ∠A=90°の直角三角形ABCにおいて、AからBCに下ろした垂線の足をDとする。線分AB, AC上にそれぞれ点E, Fを、AD=AE=AFを満たすように取る。
∠ABCの二等分線と線分DEの交点をU、∠ACBの二等分線と線分DFの交点をVとする。
また、点Eから直線DFに下ろした垂線の足をX、点Fから直線DEに下ろした垂線の足をYとする。
このとき、3直線EF, UV, XYは互いに平行であるか1点で交わることを示せ。 >>695
AD = 1とし∠BAD = θとおく。
BE = 1/cosθ -1、BD = tanθにより
EU/UD = EB/BD = tanθ/2。
同様にしてFV/VD = tan(π/2 - θ)/2。
∴EU/UD DV/VF = tanθ/2 cot(π/2 - θ)/2 。
∠DEF = ∠DAF/2 = π/2-θ/2、∠XEF=π/2 - ∠XFE = π/2 - θ/2より∠XED = π/4。
よってFX/XD = tan(π/2 - θ/2)/1 = cotθ/2。
同様にしてEY/YD = cot(π/2-θ)/2。
以上により
EX/XD DY/YF = EU/UD DV/VF。
よってチェバの定理の逆により主張は成立。 こういう問題は初等幾何的に解きたいものだね。
三角形ABCにおいて、内心をIとする。また、∠B内の傍接円と辺ACの接点、∠C内の傍接円と辺ABの接点をそれぞれD,Eとする。そして、直線BDとCEの交点をPとする。
線分AQの中点が点Iとなるように点Qを取るとき、直線PQは線分BCを二等分することを示せ。 前>>694
>>696下まわれると思う。
野球のボール→ の縫い目にΗのような境界線を描くとし、単位円の中心からx軸上にある分岐点までの距離をaとする。
点(a,0)を通り第１象限においてy=xを下から上に突っ切るように、中心を点(a,0)の右下30°の方向にとり、円弧を描き、単位円と直交させる。
円弧の中心はy=-(1/√3)(x-a)上の第４象限にあり、円弧の半径をr(＞2)、円弧の中心のx座標をbとすると、円弧の中心のy座標は、
y=-(a-b)/√3
円弧の方程式は、
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2
境界線の最小値=2a+4×(第１象限内の円弧)
=2a+4×2πrθ/360°
接弦定理よりθ=
単位円x^2+y^2=1と円弧
(x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2から交点の座標は( , ) (x-b)^2+{y+(a-b)/√3}^2=r^2と単位円の交点の座標を考えてみます。
前>>699
1+2bx+b^2+2(a-b)y/√3+{(a-b)^2}/3=r^2
(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)+y+(a-b)/2√3=(r^2)√3/2(a-b)
y=(r^2)√3/2(a-b)-(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)-(a-b)/2√3
0＜a＜b＜r
x^2+{(r^2)√3/2(a-b)-(1+2bx+b^2)√3/2(a-b)-(a-b)/2√}^2=1
解けると思うけど。 >>698
もう初等幾何は忘れた。
Pはナゲール点で重心座標は(s-a, s-b, s-c)。
QはA(2s, 0, 0)と内心I(a,b,c)を2:1に外分する点だからQ(a-s, b,c)。
BCの中点M(0,1,1)で行列
0 1 1
s-a s-b s-c
a-s b c
の第3行を第2行に足せば第1行と第2行は平行となるため特にその行列式は0。
よってP, Q, Mは同一直線上にある。 前>>702図を描くと少しわかった。
円弧の中心は、
(b,(a-b)/√3)
円弧の半径rは、
r=2(b-a)/√3
b-a=r(√3)/2
円弧の方程式は、
(x-b)^2+{y-(a-b)/√3}^2=(4/3)(b-a)^2
単位円との交点は、
x^2-2bx+b^2+y^2-2(a-b)y/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
x^2-2bx+b^2+(1-x^2)-2(a-b)√(1-x^2)/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
-2bx+b^2+1-2(a-b)√(1-x^2)/√3+(a-b)^2/3=(4/3)(b-a)^2
-2bx+b^2+1+(a-b)^2/3=2(a-b)√(1-x^2)/√3+(4/3)(b-a)^2
2bx-b^2-1-{r(√3)/2}^2/3=2{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3-(4/3){r(√3)/2}^2
2[a+{r(√3)/2}]x-[a+{r(√3)/2}]^2-1-{r(√3)/2}^2/3=2{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3-(4/3){r(√3)/2}^2
辺々を二乗すると、
4[a+{r(√3)/2}]^2･x^2-4[a+{r(√3)/2}][1+{r(√3)/2}^2/3]x+[1+{r(√3)/2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-4[a+r(√3)/2}][1+{r(√3)/2}^2/3]x+[1+{(3/4)r^2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-4[a+r(√3)/2}][1+(3/4)r^2/3]x+[1+{(3/4)r^2}^2/3]^2=(4/3)(3/4)r^2(1-x^2)-2･2[{r(√3)/2}√(1-x^2)/√3]･(4/3){r(√3)/2}^2+(4/3)^2{r(√3)/2}^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2=r^2(1-x^2)-2r√(1-x^2)･r^2+r^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2=r^2-r^2･x^2-2r√(1-x^2)･r^2+r^4
(4a^2+ar√3+3r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2-r^2+r^2･x^2+2r√(1-x^2)･r^2-r^4
(4a^2+ar√3+4r^2)x^2-(4a+2r√3)(1+r^2/4)x+[1+{(3/16)r^4]^2-r^2+2r√(1-x^2)･r^2-r^4=0
境界線の最小値=2a+4×2πrθ/360°≒3.9……? 一個も解いてませんがな。
明示的な表示をおながいします。 前>>704難解。
a=1/7
b=1/7+2√3
r=4
のとき、円弧の中心は、
(1/7+2√3,-2)
円弧の中心角≒42°-30°
=12°(←ｶﾝ)
境界線の最小値=2/7+4･2π･4(12/360)
=2/7+16π/15
=3.63674645 前>>706ぐははは……
>>707そうともよ、だれもこれよりちっさぁはできんだろ。早く正解ですって言っておくれ。
ヾ､､,,ﾞ
（(~e~)え？
（っц)~ちょっと
「￣￣￣]ちっさ
■/_UU＼■すぎたこ？ でもこの長さ、この角度しかない思うんよ。 前>>708再戦。
確認だけど、>>642は正解じゃないのね？
a=1/8
b=1/8+2√3
r=4
のとき、円弧の中心は、
(1/8+2√3,-2)
円弧の中心角=43°-30°
=13°
境界線の最小値=2×(1/8)+4･2π･4(13/360)
=1/4+52π/45
≒3.88028484 >>710
>>642 は正解です。
分岐点が (a,0)
円弧の中心 (b, -(b-a)/√3)
円弧の半径 r = 2(b-a)/√3,
とします。
a = 1/8, b-a = 2√3, r=4 のとき、
円弧の中心は (1/8 + 2√3, -2)
円弧と外円の交点を (cosφ, sinφ)
とすると
φ = 0.831377808560176 = 47.6344396113334°
cosφ = 0.673858391655747
sinφ = 0.738860519986776
また、θ+30°= 43.2132078553074°
円弧の中心角は
θ = 0.23061398182545 = 13.2132078553074°
(∴ 円弧と外円の交角 φ + (θ+30ﾟ) = 90.8476474666384°)
長さ2aの境界線を共有するパーツの面積は
σ(a) = {中心角 π-2φ の扇形} + 2･(底辺bの⊿) - 2･(三日月形D)
= (π/2 -φ) + a･sinφ - rr(θ-sinθ)
= 0.73941851823 + 0.09235756500 - 0.03261900525
= 0.7991570780
> 0.7853981634
= π/4
となり、４等分条件を満足しません。 >>681
それで計算すると、3.945702967267175 そもそもプラトーの法則ってどうやって証明するんだ？ 境界線の長さは
L = 2a + 4rθ
= 1/4 + 4･4･0.23061398182545
= 3.9398237092
これは >>710 の値より長いです。
>>713
面積を保つような微小な変形を考えて、境界線長さを短かくできるかどうか見るんぢゃ？
「変分法」とかいう…
>>713 >>692
sinθ ≒ 3/4
たぶん偶然でしょうが… 面白い問題かどうかは怪しいけど数学コンテストの問題で想定解がわからないから投稿
出典は Rioplatense Olympiad 2018 level 3 p3
問題のURLは下記
https://artofproblemsolving.com/community/c6t177f6h1752225_abc_divides_sigma_a12_sigma_a23_sigma_a11004_coprime
このリンク先で既に誰かが回答も提示しているけど、
明らかに試験会場でできる方法じゃないから想定解じゃないハズ
(確かにグレブナー基底を計算すれば数学的には解けるんだけど 計算量的にありえない)
リンク先をみればいいけど問題を一応ここにも書いておくよ
[問題]
a+b+c が a^12+b^12+c^12, a^23+b^23+c^23, a^11004+b^11004+c^11004
の3数を同時に割り切るようなgcd(a,b,c)=1なる正の整数a,b,cの組をすべて求めよ
どなたか叡知にあふれた方・・・助けてください 直線解よりも円弧解が短いことはわかったけど
円弧のときが最小ってどうやって証明するんだろ？ P(x)を整数係数多項式とする。任意の整数nに対して
P(n)P(n-1)=P(n^2)
が成り立つものを全て求めよ。 >>718
P(x)P(x-1)=P(x^2) ...(♯) を満たす整数係数多項式P(x)を求めればよい
P(x)が (♯)を満たしていると仮定する.
αをPの根とすれば,α^2もPの根である.
よって,ある異なる自然数i,jが存在して,α^(2^i)=α^(2^j),
とくに α=0 または |α|=1 がいえる.
また, (α+1)^2も根であることから, α = -1 または |α+1| = 1 がいえる
つまり, αがPの根ならば, α=0, -1 さもなくば |α|=|α+1|=1 がいえる.
α = 0 のときは (0+1)^2 = 1 も根であるが, それはさっきの関係式を満たさない
α = -1 のときは α^2 = 1も根であるが, 同様の理由で不適である
また, |α+1| = |α| = 1 のときは
α =ω, ω^2 であることはすぐわかる(ω: 1の原始3乗根)
以上より, α∈{ω, ω^2} であることがわかった.
よって, P(x)=c*(x^2+x+1)^m
を満たす非負整数mおよび整数定数cが取れる.
これを(♯)に代入すれば c = c^2 ⇔ c(c-1)=0 を得る
よって求める整数係数多項式は以下の形に限る:
P(x)=0 (零多項式), P(x)=(x^2+x+1)^m (m:非負整数)
これらが条件を満たすことはすぐ確認できる 前>>710
等分条件からaなりbなりを求めるところが難解なんだと思う。正解も空白だし、いきなりb=0.122……だし。積分じゃなくて扇形から三角形を引くのかも。
そこは不確定な少数より、
1/7なり1/8なりの分数で然るべきと思った。
角度はせいぜい0.5°までだと思う。分度器持って測ってるわけじゃないもんで。
43°-30°=13°が限界と感じた。 >>642が正解で良いんじゃないかな
自分がやってみたのは、角度条件から
b=(sin(π/3)-sin(π/3-θ))/sin(2π/3-θ)
R=(1-b*cos(π/3-θ))/sinθ
の関係式を立ててから等分条件からθの方程式を作る方法で、解いてみたらだいたい同じ結果になった
θ=0.198522403464295
b=0.122010156676718
R=4.66154271422005
L=2b+4Rθ=3.94570296726719
ちなみに、このθはおおよそ11.3745° 前>>720
少数aを探る。
2a+4･2π･4(13/360)=3.9457とすると、
a=0.157707578……
a=0.1577のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=2(0.1577)+4･2π･4(13/360)
=0.3154+52π/45
=0.3154+3.63028484
=3.94568484
a=0.157のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=0.314+52π/45
=0.314+3.63028484
=3.94428484
a=0.15のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=0.3+52π/45
=0.3+3.63028484
=3.93028484 R=4、θ=13° が出てくる理由が不明よね
ちゃんと計算してないからそうなる 彼の哲学は勘でも答えが出れば良い、論拠は問わないなので。
まぁ実際それでピタッと答えが合うときがあるかもしれないし。
奇跡のドンピシャを期待！ Wolframの入力これ間違っているかな？
最小値が出てこない
minimize(y) where (y=2*b+4*r*α and r=sin(θ)/(cos(θ)-1/2) and (pi/2-θ)/2+b*sin(θ)/2 - r^2*α/2=pi/8 and 0<b<1 and 0<θ<pi/2 and 0<α<2*pi) 前>>722最後の戦い。
a=0.15770758のとき、
2a+4･2π･4(13/360)
=2(0.15770758)+4･2π･4(13/360)
=0.31541516+52π/45
=0.31541516+3.63028484
=3.9457
端数が出ない。
近似じゃない。
これが正解だろ。 単位円の面積を5等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ
という発展問題を考えていて、
中心に4つの1/12周円弧で囲まれた面積π/5の図形を配置した場合の解として
4+2√((π/3+1-√3)π/5)=4.88997199712511968884147723267088412125423513580167589638622110207064013869324939879113289311720233605526039125851…
というものを得ている。
これより良い解は存在するか？ というのが問題。 >>726
交角の条件 (120ﾟ, 90ﾟ) から
α = 60°- θ … (1)
また
r = sinθ/(cosθ -1/2) … (2)
r = (1-bb)/(b√3), (← これも使おう)
からｒを消すと
b = {1 - (√3)tan(θ/2)}/{1 + (√3)tan(θ/2)} … (3)
・なお、
tan(θ/2) = (1-b)/{(1+b)√3},
sinθ = (√3)(1-bb)/{2(1+b+bb)},
cosθ = (1+4b+bb)/{2(1+b+bb)}, >>641
4等分条件
(π/2 -θ) + b･sinθ - rr(α-sinα) = π/4,
から
b = {θ - π/4 + rr(α-sinα)}/sinθ … (4)
(1)～(4)から
(1-sqrt(3)*tan(th/2))/(1+sqrt(3)*tan(th/2)) = (th-pi/4 + (sin(th)/(cos(th)-1/2))^2 *(pi/3-th-sin(pi/3-th))/sin(th)
これでやってみては？
結果
θ= 0.8486751477323028478 = 48.6255041427025895976°
したがって
α = π/3 - θ = 0.198522403464294898354 = 11.3744958572974104024°
b = 0.1220101566767175917
r = 4.6615427142200527 >>726
交角の条件（プラトーの法則）を使わずに解くことも可能とは思います。
ただし上の (1)～(3) は使えません。
4等分条件(4)は必ず満たさなくてはいけないので、計算がかなり煩雑になりそうな予感… >>730
この手の問題をちゃんと厳密に証明するのは相当むずい。
一般には変分法というのを用いる。
問題を
――
(f1,f2,f3,f4,g)で
・fi:[0,1] -> D、g:[0,1] -> D
・fi(0)∈∂D
・f1(1) = f2(1) = g(0)、f3(1) = f4(1) = g(1)
・fi、giはいたるところ可微分でその囲む４つの部分の面積はπ/4
をみたす５つ組の集合Xにおいて
・S=fi,gの長さの和
を最小とする(fi,g)を決定せよ。
――
とする。(もっとたくさんの分岐を考えたければそれに応じて条件緩める。今は上の分岐に限定する。)
まずXにノルムをいれてノルム空間に入れて完備化する。
今はいたるところ一階微分可能の条件下で完備化だからソボレフ空間というのを使う。これをYとする。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
p=2としておけば自己双対空間になるのでYにおいてはSは最小値をもつ。
その最小値は極小値でもあるのでオイラーラグランジュ方程式を立てることができる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
これによって最小値を与える(f1,f2,f3,f4,g)がプラトーの法則を満たすことがわかる。
するとそこからこれは元のXの元であることがわかる。
これは膨らませた空間Yにおいて最小値を与えたのだからもとの空間Xにおいても最小である。
―― という流れ。
もう少し細かくいうと
――
・fi,gの端点を固定しての変分を考えるとfi,gは円弧または線分となる。
http://mathematical.jp/analytical_mechanics/isoperimetric_problem.html
・f1のみの変分を考えればf1と外周のなす角が90°がでる。
(これはこのスレで類題をだれかが出題してた。めっちゃムズイけど上よりは簡単。すでに円弧であることは示されてるので。)
・f1、f2、gのみの変分を考えればf1、f2、gのなす角が120°がでる。
(上に準ずる。)
――
数学科でしかも院生レベルか、少なくとも関数解析系の研究室でないと厳密に全部理解するのはムズイと思う。
なにせ変分原理は2,300年くらい？の昔からあるみたいだけど厳密に定式化されたのは20世紀に入ってからでHilbert空間論とか出てくる。
しかし逆に言うとsobolev空間云々をおいとけば、それ以外のオイラーラグランジュ方程式の理論とかは単に部分積分法さえ知ってれば理解できると思う。
上のHPにやり方のってます。
からのプラトーの原理出すとこもムズイけど上の話からみるとぐっと簡単になります。
前にだれかが出題したとき解答作ったんだけど恐ろしく長くなって解答書くのやめた。
さがせばネットでも解答あると思う。見つけてないけど。 >>735
元の問題の曲線を可微分函数なものに限定して考えるのは妥当なの？
あるいはそのようなものに限定されることを示せるの？ >>731
交角条件 （120ﾟ, 90ﾟ） も満たすから、それが最小値ぢゃね？（プラトーの法則）
分岐点 (±b,0) (0,±b)
境界円の半径r
境界円弧の中心角をαとすると
sin(α/2) = b/(r√2),
1 - cosα = (b/r)^2,
中央のパーツの面積は
σ= 2rr(α-sinα) + 2bb
= 2bb(α-sinα+1-cosα)/(1-cosα)
= 2rr(α-sinα+1-cosα),
5等分条件 (σ=π/5) から
b/sin(α/2) = √{π/(5(α-sinα+1-cosα))}
r = √{π/(10(α-sinα+1-cosα))}
この条件の下で境界線の長さ
L = 4(1-b+rα)
が最小になるのは（αで微分して）
α = π/6 = 30°
sinα = 1/2,
cosα = (√3)/2,
sin(α/2) = (√3 -1)/√8,
したがって
r = √{π/(5(π/3 +1-√3))} = 1.4119961813351850581103676
b = sin(α/2)√{2π/(5(π/3 +1-√3))} = 0.516826472415296562696543
となって >>731 と一致 >>736
微分可能なものに限定するのが妥当かどうかは微妙。
それは “長さ” の定義をどうするかに依るから。
曲線の長さを
(1) ∫√(x’^2 + y’^2)dt
(2) inf {Σ|pi - p(i+1)|}
のどっちで定めるかは議論の残るところだから。
(2)の方が広いのだけど、これは一次元でしか利用できない方法で3次元空間のなかにうめこまれた２次元の面の極小問題ですらシュバルツの反例というのがあって “部分空間の大きさ” を考える一般的な定式化としては上手くいかない。
ので普通は “部分空間の大きさ” は(1)の方の意味で測るし、当然その場合にはいたるところ可微分を要求することになる。
多分曲線の話なら(2)の意味で問題定式化できるとは思う。(と数学辞典に書いてあった記憶もある。)
でも可微分なものの全体はL^2の距離で稠密なのでそのこと利用すれば(1)の場合に結局還元できるとは思う。
でも思ってるだけでその証明は知りません。
挑戦してみては？ >>713
ググったらソープの話が起源みたいだね。 >>733
４等分条件だけで変数を減らせないかなと思ってもいるんですが、やっぱり無理ですかね？ 前>>727
ドンピシャ3.9457がなんで正解じゃないんだ。 >>743
よく見てないけどaを近似で与えている時点で答えがぴったりと主張する権利がないのでは Prelude> let a = 0.15770758
Prelude> 2*a + 8*pi*4*13/360
3.9457000041482058
小数第５位までしかあいませぬ。 >>22
俺も東大卒だぜ
文系で数学完答ゼロだったけどww 前>>743
やっぱりちゃんと4分割した面積=π/4として単位円の中心と分岐点の距離aを自然に出さんといかんね。
bのy座標と円弧の半径rは自然に出た。
扇形と三角形を足して三日月形を引くのかな。もうちょい待ってよ。あきらめちゃいないから。もうちょいやればたぶん面積から妥当なaが出ると思う。 ①√XのXが平方数以外の自然数なら、√Xが無理数であることを証明せよ。
②√XのXが分数の場合、いかなる場合なら√Xが無理数になるか。またそれを証明せよ。 >>749
(1)
Xは平方数でないから、或る素数pのべき指数は奇数。
いま √X が有理数だったと仮定する：
√X = q/r (q,r∈N かつ(q,r)=1)
∴ Xrr = qq ∈ N
素数pのべき指数を見ると、左辺は奇数、右辺は偶数(0も含め) となる。
∴ Nにおける素因数分解は一意的(UDF)でないことが分かる。 >>743
r = 4,
α = 13°= (13/180)π = 0.226892802759262845
L = 3.9457
が正解じゃない理由
上記から
sinα = 0.224951054343864998
α - sinα = 0.001941748415397847
a = 0.15770757792589724
分岐点 ～ 交点 間の直線距離は
2r sin(α/2) = 0.90562571014325
境界円と外円との交点を (cosφ, sinφ) とおく。
φ = 0.8644882263708342 = 49.5315268097989°
cosφ = 0.64902953921139422
sinφ = 0.76076320706974604
境界円の中心は
(3.7419350454197931, -1.7757571515447414)
線分aと円弧の交角@分岐点 116.355494663976463°< 120°
円弧と外円の交角 91.1129785262246°> 90°
長さ2aの境界線を共有するパーツの面積は
σ(a) = {中心角π-2φの扇形} + 2･(底辺ａの⊿) - 2･(三日月形D)
= 0.70630810042406242 + 0.11997812276210747 - 0.03106797464636555
= 0.79521824853980434
> 0.78539816339744831
= π/4,
となり、4等分条件を満足しません。 >>752
1行抜けてた…
σ(a) = {中心角π-2φの扇形} + 2･(底辺ａの⊿) - 2･(三日月形)
= (π/2 -φ) + a･sinφ -rr(α-sinα)
= … >>716
猛者の方々, この問題の謎を解いてくれませんか？私では無理そうです
これはコンテストの問題で計算機使用不可なハズなので
11004 の謎を解いて 使える恒等式をみつけないといけないとおもいます 前>>748
そうか、r、4.66もあんのか。
~ ､､,,
(~-_-)円弧とx軸の交点
(っφ)を(a,0)として、
接線とx軸の交点(b,0)が知りたい。
扇形から2つから三角形2つを引けばπ/8になる、ってことですよね？
円弧の中心角をθとして、
60°-θ、半径1の扇形と、θ、半径rの扇形と、
(60°-θ)と(30°+θ)の直角三角形(斜辺b)と、
底辺(b-a)×高さ(r/2)の三角形。
弧度法はこんがらがるんでなしでお願いします。 >>754
できた。
――
a+b+c = MN、(N,abc) = 1、radM | abc とする。
M ≠1 とし p|M を素因子とする。 p|a としてよい。
b ≡ -c (mod p) (∵ a+b+c ≡ 0 (mod p)) により 2b^12 ≡ 0 (mod p) (∵ a^12 + b^12 + c^12 ≡ 0 (mod p))。
∴ p = 2、b≡c≡1 (mod p)。
∴ v_2(M) ≦ v_2(a^12 + b^12 + c^12) = 1。
∴ M = 2。
以上により M|2。
一方
det ([[a,b,c],[a^12,b^12,c^12],[a^23,b^23,c^23]]) ≡ 0 (mod N)。
det ([[1,1,1],[a^11,b^11,c^11],[a^22,b^22,c^22]]) = 0 (mod N)、
∴ a^11≡b^11 (mod N) としてよい。(∵ Vandermonde。)
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ a^11(a+b) + c^12 ≡ c(-a^11+c^11) (mod N)、
∴ a^11≡c^11 (mod N)。
∴ 0 ≡ a^11004 + b^11004 + c^11004 ≡ a^4 + b^4 + c^4 (mod N)。
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ (a^4 + b^4 + c^4)^3 - 6(abc)^4 ≡ -6 (abc)^4 (mod N)。
∴ 6 ≡ 0 (mod N)。∴ N|6。
以下ry あ、
＞∴ a^11≡b^11 (mod N) としてよい。(∵ Vandermonde。)
の行嘘だ。
でなおします orz。 >>756
訂正
後半のパラグラフ
p|N、v_p(N) = eとおく。
det ([[a,b,c],[a^12,b^12,c^12],[a^23,b^23,c^23]]) ≡ 0 (mod p)。
det ([[1,1,1],[a^11,b^11,c^11],[a^22,b^22,c^22]]) = 0 (mod p)。
∴(a^11-b^11)(b^11-c^11)(c^11-a^11) (nod p) (∵ Vandermonde。)
∴ a^11≡b^11 (mod p) としてよい。
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ a^11(a+b) + c^12 ≡ c(-a^11+c^11) (mod p)、
∴ a^11≡c^11 (mod p)。
∴ 0 ≡ a^11004 + b^11004 + c^11004 ≡ a^4 + b^4 + c^4 (mod p)。
∴ 0 ≡ a^12 + b^12 + c^12 ≡ (a^4 + b^4 + c^4)^3 - 6(abc)^4 ≡ -6 (abc)^4 (mod p)。
∴ 6 ≡ 0 (mod p)。
p = 2のときa,b,cは全て奇数よりv_2(N) ≦v_2(a^12+b^12+c^12)≦0。(∵ a,b,c ≡ 1(mod 8))∴e = 1。
p = 3のときa,b,cは全て3と互いに素よりv_3(N) ≦v_3(a^12+b^12+c^12)≦1。(∵ Z/9Zの乗法群の位数は６だからa,b,c≡1 (mod 9))∴e = 1,2。
∴ N|3。 >>758
なるほど単純に行列式考えればよかったですね
12, 23 から1引くと,11,22あたりになるのが臭いと感じてましたが
これはなにげに思いつきませんでした ありがとうございました！ 5等分問題について、>>731が提示したのはこれ
http://imgur.com/91bVONA.png
分け方を変えるともう少し小さくなる
http://imgur.com/GYiVA6F.png
この図の境界は全て直線であり、節点における角度は120°にしているけど円との交点は垂直になっていない
なので、境界線を円弧で考えれば更にもう少し良くなるはず
ただ、それを計算するのは骨が折れそう >>760
分岐点
(a-1,0) (a-1+b/2, ±(√3)b/2)
外円との交点
(cosφ, sinφ) (x1,y1)
とすると
c = cosφ - (a-1+b/2)
y1 = (c-x1)√3,
L = a + 2(b+c+d)
a = 0.832249108
b = 0.339584229
c = 0.953736949
d = 0.735197942
x1 = -0.3655577475
y1 = 0.9307886620
φ = 0.298501778 = 17.10289204°
cosφ = 0.9557781717
a-1 +b/2 = 0.002041223
L = 4.889287345
となってチョト長い。
計算間違えたかな… サイコロを n 回投げ、出た目全ての積が平方数となる確率を求めよ >>761
間違えた。
y1 = (a-1+b - x1)√3 >>761 >>763
sinφ = (√3)b/2,
右向きのパーツの面積は
σ = φ - sinφcosφ + (2c + b/2)sinφ >>762
f(a,b,c,n):=(1+a+b+1+c+a*b)^n/8
とおくとき
(f(1,1,1,n) + f(1,1,-1,n) + f(1,-1,1,n) + f(1,-1,-1,n)+f(-1,1,1,n) + f(-1,1,-1,n) + f(-1,-1,1,n) + f(-1,-1,-1,n))/6^n
= ((1+1+1+1+1+1*1)^n + (1+1+1+1+(-1)+1*1)^n + (1+1+(-1)+1+1+1*(-1))^n + (1+1+(-1)+1+(-1)+1*(-1))^n
+ (1+(-1)+1+1+(-1)*1)^n + (1+(-1)+1+1+(-1)+(-1)*1)^n + (1+(-1)+(-1)+1+1+(-1)*(-1))^n + (1+(-1)+(-1)+1+(-1)+(-1)*(-1))^n)/8 /6^n
=(6^n + 4^n + 3・2^n)/(8・6^n) >>762
nが1から8までで積が平方数になる場合の数をかぞえてみた。
> sub<-function(x){
+ y=sqrt(prod(x))
+ floor(y)==y
+ }
>
> sim<-function(n){
+ arg=list()
+ for(i in 1:n) arg[[i]]=1:6
+ gr=do.call(expand.grid,arg)
+ sum(apply(gr,1,sub))
+ }
>
> sim=Vectorize(sim)
>
> sim(1:8)
[1] 2 8 38 200 1112 6368 37088 218240
>
> >>764
そうです。まづは直線で計算しますた。
分岐点の交角は 120°
外円との交角は 90ﾟ-φ(右)、98.5580885°(左上)、90ﾟ(左) 前>>755円弧とx軸の交点 を(a,0)、接線とx軸の交点を(b,0)とし、扇形から2つから三角形2つを引けばπ/8になる。
円弧の中心角をθとすると、
中心角60°-θ、半径1の扇形は、
π(60°-θ)/360°――①
中心角θ、半径rの扇形は、
πr^2･θ/360°――②
(60°-θ)と(30°+θ)の直角三角形(斜辺b)は、
(1/2)b･sin(60°-θ)――③
底辺(b-a)×高さ(r/2)の三角形は、
(b-a)r/4――④
単位円を分岐ありの最小の境界線で4分割した面積のうち、原点を含まない領域をx軸で二分した半分は、
①+②-③-④=π/8
π(60°-θ)/360°
+πr^2･θ/360°
-(1/2)b･sin(60°-θ)
-(b-a)r/4
=π/8 >>766
>>767
ぴったり、一致するのを確認。
> c(2, 8, 38, 200, 1112, 6368, 37088, 218240)/(6^(1:8))
[1] 0.3333333 0.2222222 0.1759259 0.1543210 0.1430041 0.1364883 0.1324874
[8] 0.1299345
> n=1:8
> (6^n + 4^n + 3*2^n)/(8*6^n)
[1] 0.3333333 0.2222222 0.1759259 0.1543210 0.1430041 0.1364883 0.1324874
[8] 0.1299345 ユークリッドの公理・公準のみの状態から三平方の定理を導き出すまでに最短の経路は何か >>655
＞よって
N(B)=∫[1-0,B+0] x df(x)
がよく分からないが, 間違いである.
N(B)のオーダーはB^nです. >>762
まさに私の想定解です.
別解を:
先ず2, 3, 6のみ出る特殊なサイコロをk回振った時, 出た目の積が平方数である確率をq[k]とせよ.
q[k]=(1/3)(1-q[k-1]) → q[k]=(-1/3)^k･(3/4)+1/4.
普通のサイコロをn回振り, 出た目の積が平方数である確率を P[n], 平方数掛ける2か3か6である確率をQ[n], 平方数掛ける5である確率をR[n]とせよ.
P[n]+Q[n]は5が偶数回出る確率なので,
P[n]+Q[n]=(1/2){(1/6+5/6)^n+(5/6-1/6)^n}
=1/2+(1/2)(2/3)^n ...①
P[n]+R[n]は出た目の積の2, 3の指数が偶数の確率なので,
P[n]+R[n]=Σ[k=0, n] (nCk)･(1/2)^n･q[k]
=(1/2)^n･{(1-1/3)^n･(3/4)+(1+1)^n･(1/4)}
=(1/3)^n･(3/4)+1/4 ...②
P[n]=(1/3)P[n-1]+(1/6)(Q[n-1]+R[n-1])なので,
①, ②より,
P[n] = (1/6)(P[n-1]+Q[n-1])+(1/6)(P[n-1]+R[n-1])
=(1/8){1+(2/3)^n+(1/3)^(n-1)}. >>772
問題なんか混じってないか？
>B>0を定数とせよ.
>N(B)=#{(a_1,...,a_n):a_1,...,a_nは最大公約数が1の整数, |a_i| ≦B}
>則ちN(B)とは, 絶対値がB以下の2つの整数の組(a,b)で, a,bが互いに素なもの達全体の個数である.
>此の時極限値
>lim_{B→∞} N(B)/B^2
>の値を求めよ.
この問題でN(B)のオーダーがB^nならn>2のとき極限発散するやん。
>N(B)=∫[1-0,B+0] x df(x)
>
>がよく分からないが, 間違いである.
スチェルチェス積分。 >>761 >>763 >>765
a = 1-b+t,
b = (2/√3)sinφ,
c = cosφ - (a-1+b/2),
d = 2(a-1+b/2-x1)
右向きのパーツの面積は
σ = φ - sinφcosφ + (2c + b/2)sinφ
= φ - sinφcosφ + (2sinφ){cosφ -t +((√3)/2)sinφ},
これより
t = cosφ + ((√3)/2)sinφ - (π/5 -φ +sinφcosφ)/(2sinφ),
x1 = {3t - √(4-3tt)}/4,
y1 = (√3)(t-x1) = (√3){t + √(4-3tt)}/4,
左斜めのパーツの面積は
σ' = π/4 - arccos(y1) /2 + t･y1 /2 - (sinφ)^2 /√3 = π/5,
これより
t = {arccos(y1) +(2/√3)(sinφ)^2 -π/10} /y1,
これらを解くと
a = 0.827153176586368
b = 0.344680163597532
c = 0.956284913285257
d = 0.730102006651509
x1 = -0.36555774494062
y1 = 0.930788662970241
φ = 0.298501777856039 = 17.1028920483027°
cosφ = 0.955778171670391
sinφ = 0.294088569241317
a-1 +b/2 = -0.0005067416148658
a-1 +b = t = 0.1718333401839
境界線の長さは
L = a + 2(b+c+d) = 4.88928734365496
あまり変わりばえせぬ… >>775
＞σ = φ - sinφcosφ + (2c + b/2)sinφ
＞ = φ - sinφcosφ + (2sinφ){cosφ -t +((√3)/2)sinφ},
最後のsinφの係数が((√3)/2)になるのは何故？ >>776
a-1+b = t,
b = (2/√3)sinφ,
c = cosφ - (a-1+b/2) = cosφ -t +b/2,
から
c + b/4 = cosφ -t +(3/4)b = cosφ -t + ((√3)/2)b, 正20面体の各辺を、赤色・青色・黄色のいずれかの色で色付けする。
正20面体の全ての面について、面を構成する3辺がちょうど2色を用いて色付けされているような色付けの方法は何通りあるか。
但し、各辺は区別されているものとする。
(つまり、回転によって一致する塗り方を同一視する必要はない)
(3色全てを使っている必要はない) ありゃ？どこ間違ったかな？
>>779
c + b/4 = cosφ - t + (3/4)b = cosφ - t + ((√3)/2)sinφ,
だった....orz >>775
b = 0.344680163597532
φ = 0.298501777856039
って、b = (2/√3)sinφの関係になってる？ >>781
計算機で検算できんからなぁ。
6^10・2^8・3？ ＞計算機で検算
総当たりで3^30通りを計算すると考えると非現実的だけど
2色でない面を見つけたら探索を打ち切れるから、
工夫すればもしかしたら現実的な計算量でいけるかもしれないね >>785
違います
>>786
ちなみに元ネタは某数学コンテスト(数オリ関連ではない)なので、計算機無しで解くことを想定されてます >>788
考え方をみてないので何とも
答えの形としてはかなり近いです >>769
だめだ。仕事しないとだめだから明日また考えよ。
もう解かれてるかな？ >>774
lim_{B→∞} N(B)/B^2
は一般に存在せず,
lim_{B→∞} N(B)/B^n
が存在する.
>スチェルチェス積分だ
其の式の意味ではなくて, 何故N(B)がそう表せるのかの導出が不明だ, という意味である. n=2の時ならN(B)のオーダーはB^2だ.
多分分かっていない気がするので, n=2の時の証明についても詳細を記述可能なら又返信して下さい. >>778
答えは 3^10*2^20 だとおもう
20面体を反角柱と五角錐に分解することを考えて数えた
２つの五角錐を固定するとうまいことカウントできる >>794
正解！
そのように分けて考えるとうまくできますね
別のやり方の想定解を簡単に書いておきます
三色をF=Z/3Zの元に対応させておく
(赤=0,青=1,黄=2など)
辺,面をそれぞれ1~30及び1~20の整数でラベル付けする
辺の塗り方を決めることはF^30の元を1つとることと同じである
線形写像T:F^30→F^20を
T((x_i)_i)=(面iを構成する3辺に対応する値の和)_i
と定める
このとき,求めるものは
#T^(-1)(A)
(A={ (y_i)_i∈F^20 | ∀i y_i≠0 })
とかける
いま,Tは全射なので
(F^20の基底が像に含まれることを確認すればよい)
#T^(-1)(A)
=#ker(T)*#A
=3^10*2^20 >>795
AはF^20の部分空間をなしていないから
対応定理が使えない
それゆえ
#T^(-1)(A) =#ker(T)*#A
とカウントできることは保証されないハズ >>796
Tは全射な線形写像なので、一点の逆像は全てker(T)を平行移動したものになるから問題ないと思います >>797
代数系にそなわっている対応定理は使えない
全射準同型(ここではベクトル空間だから全射線形写像と呼ぶが)も対応定理の条件の1つ
しかしながら今回のケースではAがF^20の部分空間をなしていない
何を使ったら,そうやってカウントできるのか説明してくれませんかね >>799
あなたのいう対応定理とは準同型定理のことですか？
厳密に書けば
#ker(T)=3^10
を求めるために使ってますね
#T^(-1)(A) =#ker(T)*#A
自体は単純に個数をカウントしてるだけであり、準同型定理は使用していません
Aの要素の数は2^20
また、F^20の任意の点に対し、その点の Tによる逆像に含まれる元の数はker(T)の位数と一致しています
だから掛け算で求められます でも、”3辺が2色” というのが ”足して0でない” は言われたらその通りなんだけど見逃したなぁ。
こういうパズル的なやつ楽しいよね。 >>797
それ以前に T^(-1)(A) 自体がF^30の部分空間をなしていない
商の濃度が便利に計算できるのは割る方にも代数構造が入っているからだし
(つまり T^(-1)(A) が単なる集合であってはならない)
だから やっぱりそのカウントは無理筋だとおもうんだよね たぶん勘違いされてますよ
もっと単純な話です
#T^(-1)(A)
=Σ_{a∈A} #T^-1(a)
=#ker(T)*#A
というだけです >>802
ぶっちゃけこの解き方ありきでつくられた問題な気がしますが、なかなか思いつかないと思います
パーツに分けて考えるやり方であれば高校生でも頑張れば解けるかもしれませんね >>805
でもF3使うまでは思いついたんだけどねぇ。
そこから差分とったら周期3の0,1,2からなる数列が出てきて、そこからF^30→F^60の方に気持ち持ってかれたorz。
でも像の元数が綺麗に中々出なかった。
Ker は1次元なんだけどねぇ。
た～す～の～か～www >>806
なるほど、かなり惜しいですね
>>807
真面目に数えてもいちおう解ける問題ですよ
背景に代数が絡んでいるだけです >>804
なるほどねー
|f^(-1)(a)| = ker(f) が一般論としていえるという話で
たしかにfが全射だと成立しますね 知識として抜けてたからわざわざ確認作業しました
ためになりました >>775
またまた訂正....orz
a = 0.832249110949768
b = 0.339584229234133
c = 0.953736946103557
d = 0.735197941014908
a-1 +b/2 = 0.002041225566834
他は変わらず
>>784 ご指摘トンクス >>お734
fの長さってL(f)=∫√(1+f'(x)^2)dxで与えられるよね
L(f_n)が一様有界だとしてもW^(1,1)の一様有界性は言えてもW^(1,2)の一様有界性は言えないんじゃない？
Y=W^(1,1)としてもp=1でヒルベルト空間にならないから弱コンパクト性使えないんじゃないの？ >>811
>>734で書いたXに入ってる関数(の組)についての最小値を求めるのが元の問題。
YはXを含んでてHilbert空間になってるものが取れれば良い。
Xに入ってる関数を野放図にゆるすとYとしてHilbert空間が採れなくなってしまうけど今の場合
・求めたいのはその”関数”の表す曲線の”長さ”なので有界な関数に限定してよい。
・パラメータは[0,1]で動かすとして定速度のゲージでとれば速度ベクトルの大きさは1/L(Lは長さ)なので速度ベクトルも有界としてよい。
よってXに入ってる関数としては |||～||_2 も ||～’||_2 も可積分として良いのでYとしてHilbert空間が採れます。 >>813
いやいや
結局最小元の存在って変分の直接法使ってるんでしょ？
関数f_nのW^(1,2)ノルムがnを止めるごとに有限だとしても
sup_{n∈N} ||f_n||_W^(1,2)が有限とは限らない それとも別の証明法で
ヒルベルト空間からRへの写像の最小元の存在が言えるんか？ >>814
ごめん
関数f_n→関数列f_n
です >>814
もちろん最小限はYのなかでとってそこからオイラーラグランジュ方程式解くところまでYの中でやらないとだめですよ。
でYのなかで解いてみてじつは元のXに入ってることを確認します。 >>813
あーごめん
そっかだから弧長パラメータ採用すれば一様有界言えるってことなんかな >>817
いやそもそもなんでYの中に最小元があるのかという疑問です >>818
いやだめだ
弧長パラメータ採用したら結局積分区間がfに依存するわ
だからやっぱりp=2での一様有界性言えない気がする いま証明したいのは作用積分SはXのなかで最小値を持つこと。
最小値がないとして
S(f_1)>S(f_2)>…
がinfに収束するとする。
f_iのなかには先に述べた理由で余り素性のよくないものはないとしてよくYに入ってるとして良い。
YはHilbert空間だから lim f_i は Yの位相で収束するとしてよくその極限をfとする。
もちろん f はまだYの元(としかわからない)。
でもYは微積ができて部分積分もできるのでオイラーラグランジュの理論が使えて通常と同じ手順で円または線分となり、元のXに入ってるたとわかる。
なのでSobolev空間のなかでちゃんと解析学が展開できることを確認することは必要ですが、今回の場合はオイラーラグランジュ方程式だから部分積分できればいいので問題ない(ハズ)です。
参考文献など紹介できるほど詳しくないのであしからず。 >>821
>YはHilbert空間だから lim f_i は Yの位相で収束するとしてよくその極限をfとする。
ここ
これを言うには普通最小化列のYノルムでの一様有界性→弱コンパクト性使うと思うんだけど >>822
もちろん f_i は長さ(の合計)がどんどん小さくなって行ってるので>>813に書いてる理由でノルムは一様に抑えられてますよ。 言いたいことをまとめます
lim(n→∞)F(x_n)=inf_{y∈Y}F(y)なる点列{x_n}_{n∈N}⊂Yを取ってくれば
収束列は有界列だからsup_{n∈N}|F(x_n)|<∞が言える
で、もしもF(x)≧||x||_Yみたいな評価があれば...(1)
sup_{n∈N}||x_n||_Y<∞も言える
つまりx_nはあるヒルベルト空間の閉球に完全に含まれてることになって、
ヒルベルト空間における閉球の弱コンパクト性から
部分列取ってx_(n_j)→x in Y なるx∈Yが存在する
であとはFの弱連続性を認めれば(これも証明するの難しいと思うけど)
lim(n→∞)F(x_n)=F(x)=inf_{y∈Y}F(y)
でx∈Yは最小元ってことで証明できるけど
今問題なのは(1)の評価がW^(1,2)にしてるせいで言えないこと >>823
いやf_iの長さは>>811でいうところのL(f_i)でしょ？
||f_i||_W^(1,2)での一様有界性はどう言うの？ で>>811の話に戻るんだけど
L(f_i)が一様有界でも
せいぜい言えて||f_i||_W^(1,1)の一様有界性くらいじゃないかな つまり二乗とルートで相殺されて二乗の積分で下から抑えられないってことです >>824
ごめん途中の
>部分列取ってx_(n_j)→x in Y なるx∈Yが存在する
の→は弱収束の意味です >>824
>で、もしもF(x)≧||x||_Yみたいな評価があれば...(1)
あります。
いま考えてるFは長さなので ∃C1 ∀n t |x_n(t)| としてよい。
tは[0,1]しか取らないのでこれで ∃C2 ∀n ||x_n||_2 < C2 。
∫|x_n’(t)|dt は n によらず有界、かつ|x_n’(t)|は等速度ゲージ(で採っているとしてよい)なので∃C3 ∀n |x’_n| < C3 (= 1/L)。
つまり|x’_n(t)|は一様有界なので ||x’_n(t)||_2 も一様有界。
つまりでたらめにx_n(t)をとってしまうとx’_n(t)は病的なものが出てくるかもしれないけど、その場合にはLnを長さとして
σ(t) = (1/Ln)∫[0,t] |x’_n(t)| dt、σの逆関数をτとしてy_n(s) = x_n(τ(s))とすればこれはただのゲージ変換で長さも変化せず、しかも|y’_n(s)|はnによらない定数で抑えられてしまう。
よってこれ本体も２乗も一様に可積分。
でこのy_n(s)で鼻から議論すればよい。 >>830
等速度ゲージにしたら結局積分区間がxに依存するんじゃないの？
だから|x_n'(t)|が一様有界でもL(x_n)は一様有界じゃない そもそも等速度で積分区間がxに依存しないなら
長さがどんな曲線でも定数になってしまって意味のない変分問題になってしまう >>830
ああL_nで割ってるのか
だとしても割った分一様有界性言えないよね >>833
ごめん これはただの勘違いです
まあどのみち>>831のせいで厳しいと思います x_nの積分区間は[0,1]ということにしてます。
y_n作る時はいわゆる距離ゲージでなく等速度ゲージにしてるのは区間をnごとに取り替えなくて済むようにしてます。
(まあ、距離ゲージにしてもできますけど。その場合は0≦t≦L_nから先は停止させることになります。)
区間は[0,1]なので等速度ゲージでは|x’_n(t)|は(tについての)定数L_nであり、nに依らず有界としてよい。
つまり|x_n(t)|も|x’_n(t)|もn,tに依らず一様に有界としてよい。 高校数学
a,b,c∈ℝについて、関数f(x)を
f(x)=
{ (x²+ax+b)/((x-1)(x²+1)) (x≠1)
{ c (x=1)
で与える。
定積分 I=∫[b,p] f(x) dxを考える。α,β∈ℝは,
tan(α)=p, tan(β)=b を満たしている。このとき、
極限 lim[b→∞] I を求めよ。
lim[x→0] sin(x)/x =1 は証明せずに利用できるものとする。 >>834
いまノルムは||x||_Y = ∫[0,1](|x|^2+|x’|^2)dtでとってるので|x_n(t)|と|x’_n(t)|がt,nに依らずに有界なら|| x_n ||_Y はnに依らず一様に有界です。 >>835
>>837
あーなるほど...ごめんなさい
パラメータを0から1で固定しても1次元曲線なら等速度パラメータに取り直せるのか
失礼しました
多次元とかの曲面とかなら
曲面積∫_D √(1+|∇u(x)|)dxとして
積分領域固定で|∇u_n(x)|=S_n(xに依存しない)
とは出来ないのでそれで勘違いをしていました >>839
いやー勉強になりました
あとはx_n→x (Y-弱収束)として
長さ汎関数の弱連続性と
等積条件が保存されるか(面積汎関数の弱連続性)
さえ言えればいい感じですかね >>840
ですね。
まぁHilbert空間なのでなんとかなるかと。 前>>769
やっぱり円弧と単位円の交点の座標を求めるべきか。
(cosθ,sinθ)ともおけるが、方程式を解くとx^2の項とy^2の項が消え直線の式になる。この直線は弦か？
(cosθ,sinθ)と原点(0,0)の距離は1、
(cosθ,sinθ)と(b,0)の距離は、
√{(b-cosθ)^2+sin^2θ}
両者直交しているから、
三角形の面積は、
(1/2)√{(b-cosθ)^2+sin^2θ}
=(1/2)√(b^-2bcosθ+1) 前>>842
三角形の面積が出てる。③だ。
(1/2)b･sin(60°-θ)=(1/2)√(b^-2bcosθ+1)
b･sin(60°-θ)=√(b^2-2bcosθ+1)
b^2･sin^2(60°-θ)=b^2-2bcosθ+1
b^2{1-sin^2(60°-θ)}=2bcosθ-1
b^2cos^2(60°-θ)=2bcosθ-1
中心角60°-θ、半径1の扇形内の重複している三角形の面積=(1/2)√{b^2sin^2(60°-θ)-b^2cos^2(60°-θ)}
=(b/2)√{1-2cos^2(60°-θ) 前>>843
第１象限で扇形が重なっている領域=π/8
2つの扇形は、
単位円,中心角r
π(60°-θ)/360°――①
半径r,中心角θ
πr^2(θ/360°)――②
円弧の中心は、
(a+r√3/2,-r/2)
2つ扇形から引く2つの三角形は、
bsin(60°-θ)/2,(b-a)r/4
第１象限の直角三角形の相似比より、
cos(60°-θ)=1/b
よって2つ扇形から引く2つの三角形はそれぞれ、
sin(60°-θ)/2cos(60°-θ)――③
{(1/cos(60°-θ)-a}r/4――④
①+②-③-④=π(60°-θ)/360°+πr^2(θ/360°)-sin(60°-θ)/2cos(60°-θ)-{(1/cos(60°-θ)-a}r/4=π/8
未知数がa,r,θの3つ。
rの二次式と見て、r＞0の解を持つ。 前>>844どうやってaやrやθの値を出したんだ？ 計算過程を書いてほしい。
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･360°r/4πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･360°/2πθcos(60°-θ)-360°/8θ=0
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･90°r/πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ=0
Ｄ={(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}≧0 前>>845
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･90°r/πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ=0
r=(1/2)(1/cos(60°-θ)-a}･(90°/πθ)±√{(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
境界線の最小値=2a+4･2πrθ/360°
=2a+πrθ/45°
πrθ/45°=(πθ/90°)(1/cos(60°-θ)-a}･(90°/πθ)±√{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
=(1/cos(60°-θ)-a}±(πθ/45°)√{(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
境界線の最小値=2a+(1/cos(60°-θ)-a±(πθ/45°)√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±(πθ/45°)√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±√4π^2･θ^2･[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･90°/2πθcos(60°-θ)-90°/2θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･360°-4^2･π^2･θ^2･{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･90°/2πθcos(60°-θ)-90°/2θ}]
a→0.122
θ→13°のとき、
最小値→3.9457になりそうにない。 前>>846
このスレ、選りすぐりの数学の猛者があつまってると思ったが、だれも計算過程を書いてくれないのか。 前>>847
>>848いきなりすぎて、
a=0.122……
b=……(a＜b＜r 接線のx切片は必要ないのかも)
r=4.……
θ=13.……
等積条件から妥当な数字が出ていることはわかるが、計算過程を書いてほしい。
Rとかθも度数法にしてほしい。計算過程なくただ数字が書いてあるだけでは長さなのか角度なのか単位がわからない。 いきなりすぎるのは、すでにある解法を模写しているだけで
自分で考えていないからだよ 前>>849
「等積条件から」
と書くならその式を、
○x^2+△x+□=0
とちゃんと書くべき。
いきなりa=0.122……
b=
r=4.……
θ=13.……
未知数4つならそれを決定する式なり条件なりを4つ書くのがふつうです。
式が4つなくても、a＜b＜rの条件と図からある程度は値が特定できますが、式を書かずに「等積条件から」と書くから、計算過程を書いてほしいと言っているんです。
等積条件から出そうとしているのは同じです。式が足りないから、等積条件の式だけしかないから未知数が特定できないでいます。 前>>851扇形2つから三角形2つを引けばπ/8になる、ってことだと思うけど。 高校数学までを範囲と想定した問題
nを自然数とする。数列{a_n}及びa_0を a_0 = 1 , a_n = a_n-1 +3-(-1)^n と、また数列{p_n}を、素数を小さい方から順に並べた数列と定める。
(1) a_n の一般項を1つの式で表せ。
(2) b_n = a_n / p_n と定める。lim[n→∞] b_1 * b_2 * b_3 * ... * b_n-1 * b_n の収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求めよ。 >>642
では未知数はbです。
交角の条件（プラトーの法則) を使って絞り込めば R、θ をbで表わすことが可能です。
その場合には σ(b,θ,R) もbの関数になります。それを π/5 とおけば bが決まります。
しかし、プラトーを使わないと自由度が減らないので計算が煩雑になります。 >>733 nを自然数とする。
n枚のカードがあり、各カードには数字が一つずつ、1からnまでの数字が書かれている。
このカードをシャッフルして山札をつくり、次のようにしてカードを場に並べることを考える。
「山札の一番上からカードを一枚取り、場に並べることを繰り返す。ただし、二枚目以降は、それまでに場に出ているどのカードよりも大きい数字である場合のみ場に並べる。
そうでないとき、そのカードは場には並べず、そこで作業を終了する。」
このようにして場に並べたカードの数字の合計値をS(n)とおく。
S(n)の期待値を求めよ。
(Σや"……"を使わずに、nの式として表現すること) プラトーの法則を使わない場合
たとえばラグランジュの未定乗数法を使います。
目的関数
I(b,θ,R ;λ) = 2b + 4Rθ + λ{σ(b,θ,R) - π/4},
σ(b,θ,R) = (θ+π/6) + b･sin(π/3-θ) - RR(θ-sinθ),
について
∂I/∂b = 2 + λ(∂σ/∂b) = 2 + λsin(π/3-θ) = 0,
∂I/∂θ = 4R + λ(∂σ/∂θ) = 4R + λ{1 -b･cos(π/3-θ) -RR(1-cosθ)} = 0,
∂I/∂R = 4θ + λ(∂σ/∂R) = 4θ + λ･2R(θ-sinθ) = 0,
∂I/∂λ = σ(b,θ,R) - π/4 = 0,
の4つの式を連立させて解きます。
ガンガレ >>854
(1)
a_n = a_{n-1} +3 - (-1)^n
= a_0 + Σ[k=1,n] {3 - (-1)^k}
= a_0 +3n + {1 - (-1)^n}/2,
∴ a_n < 3n+2,
(2)
0<ε<1 とする。
素数定理から、ある自然数mがあって
k>m ⇒ p_k / log(p_k) > (1-ε)(3k+2)/3,
b_k = a_k / p_k < (3k+2) / p_k < 3/{(1-ε)log(p_k)} < r <1,
ratio test より収束。
b_1･b_2････b_n = B･Π[k=m+1,∞] b_k < B･Π[k=m+1,∞] r = 0,
ここに B = Π[k=1,m] b_k >0 >>858
解いていただきありがとうございます。
(1)は問題ないのですが、(2)で素数定理を使うと簡単に解けてしまうので「高校数学までを範囲と想定した問題」と表記した次第です。
>>861
すみません、この手の問題はしょうもないのかもしれません。
自分では面白いと思ったのですが……
一応(2)のヒントとしては{a_n}の性質ですかね 素数定理を1から証明してしまえば全く問題ない
以上 中学入試や算数の難問は好き
高校数学に限定する問題はなんか不自然な制約で好きくない >>864
わかりみが深い
前スレの最後らへんに投げられて結構議論された中学入試のやつが最たる例 前>>853
プラトーの法則だと思うんだけど、
半径rの円弧が、
分岐点(a,0)で、
y=√3(x-a)と接するってことで使ってますよね。 前>>866
短い境界線を2a、長い境界線を4×2πrθとして、
aやrやθをどういう計算過程をもって出したらいい？
今あるのは、rの二次式。
どうやってθを13°いくらと特定するか。解の公式で解けばいいか。 とりあえず>>644の設定でいいならsの満たすべき方程式は
-((12*sin(s)^2+12*cos(s)^2－12*cos(s)+3)*sin(2*s)－24*sin(s)^3+(24*s－8*%pi+2*3^(3/2))*sin(s)^2－24*s*cos(s)^2+24*s*cos(s)－6*s)/(48*cos(s)^2－48*cos(s)+12)
= π/8。
近似解は
s=.8486751477323029=48.6255041427026° 前>>868
>>869「%pi」は文字化けですね。まだこれから式の意味を考える段階ですが、わかったとして、計算過程を書いてほしいです。
a(短い境界線の半分)とr(円弧の半径)を特定することなく、θを弧度法で出さはったということでしょうか？ 正の実数列a_nについて、
Σ(k=1,∞)a_k=1のとき、
Π(k=1,∞)(a_k)^(a_k/k)の最小値を求めよ
ただし、0^0:=1とする >>870
面積の計算が一番面倒なのでそこはグリーンの公式でmaximaに計算してもらった結果が>>869ですが、別に２つの円弧と線分で囲まれた領域の面積なので、
三角形＋三日月？＋三日月でも計算できます。
興味があるならやってみたらいいと思います。
単位円に張り付いてる三日月は半径1, 中心角sなので、1/2×1^2×s-1/2×1^2×sin s。
仕切りに張り付いている方が半径r=sin s/(cos s - 1/2)、中心角5π/6-(s-π/2)。
三角形は1/2 sin s。
足せば>>869になるはずです。
で=π/8をとけば良い。 双対ベクトル、双対テンソルについて
ベクトルとその双対ベクトルに関し、以下は正しいですか？
１．反変ベクトルとは接空間上に与えられたベクトル。
２．共変ベクトルとは余接空間上に与えられたベクトル。
３．あるベクトルが与えられたとき、そのベクトルの双対ベクトルが必ず一つ存在する。
４．反変ベクトルと共変ベクトルは双対の関係にある。
次に上記を行列ないしテンソルに拡張するとして、以下は正しいですか？
１１．反変テンソルとは接空間上に与えられたテンソル。
１２．共変テンソルとは余接空間上に与えられたテンソル。
１３．あるテンソルが与えられたとき、そのテンソルの双対テンソルが必ず一つ存在する。
１４．反変テンソルと共変テンソルは双対の関係にある。 1辺の長さが1の正三角形P₀ABがある。P₀から三角形の内部にむけて光線を照射し、光線が最初に辺ABにぶつかる点をP₁、∠AP₀P₁=θとする。
また、光線は△P₀ABの辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し、P₁で反射した光線が次に△P₀ABの辺にぶつかる点をP₂、
P₂で反射した光線が次に△P₀ABにぶつかる点をP₃、
以後光線がn回目に△P₀ABの辺にぶつかる点をPₙとする。
ただし、0°＜θ＜60°とし、光線が△P₀ABの頂点に入射したとき光線は反射しないものとする。
また、光線は△P₀ABの内部で直進するものとする。
△P₀P₁P₂の面積の最大値を求めよ。また、そのときのtanθの値を求めよ。 牧嶋とかいう有能なケライがいたわけですか。
前>>870なぞが解けました。 >>871
a1,a2,...を未知数, λをラグランジュの未定乗数とし条件付き最小化問題として解くと
F(a1,a2,...) = Σ[k=1,∞](ak/k)log(ak) + λ(Σ[k=1,∞]ak - 1),
∂F/∂ak = (1+log(ak))/k + λ = 0
より
ak = e^(-1-λk)
Σ[k=1,∞]ak = 1
より
λ = log((e+1)/e)
このとき
Σ[k=1,∞](ak/k)log(ak)
= Σ[k=1,∞](-1/k-λ)e^(-1-λk)
= -λ-e^(-1)Σ[k=1,∞]e^(-λk)/k
= -λ+e^(-1)log(1-e^(-λ))
= 1-((e+1)/e)log(e+1)
より最小値は
e(e+1)^(-(e+1)/e) >>876
すごすぎ 大正解です
数列空間上の変分問題なるものを無理やり作問したんだけど完全に想定通りの解法です >>856
できた。
カード k が総和に寄与する場合の数を考える。
このカードが i+1 番目に出てかつ1～i+1 まで単調増大となる場合の数は C[k-1,i] (n-i-1)! だから求める場合の数は Σ[i=0,k-1] C[k-1,i] (n-i-1)!。
よって求める期待値を E とすれば
E n! = Σ[k=1,n] k Σ[i=0,k-1] C[k-1,i] (n-i-1)!
. = Σ[i=0,n-1] Σ[k=i+1,n] k! (n-i-1)! /i! /(k-i-1)!
. = Σ[i=0,n-1] Σ[l=0,n-i-1] (l+i+1)! (n-i-1)! /i! /l!
. = Σ[i=0,n-1] (n-i-1)! (i+1) Σ[l=0,n-i-1] C[l+i+1,i+1]
. = Σ[i=0,n-1] (n-i-1)! (i+1) C[n+1,i+2]
. = Σ[i=0,n-1] (n+1)n(n-1)…(i+1) /(i+2)
. = Σ[i=0,n-1] (n+1)n(n-1)…(i+1) /(i+2)
. = (n+1)! - 1
により
E = ((n+1)! -1) /n!。 >>874
tanθ=3√3-2√6,(√3+2√6)/7のとき最大値(3√3-2√6)/4
計算ミスしてそうで心配 >>874
これｎ回目とかいってるけど求めるのは
＞△P₀P₁P₂の面積の最大値
ってP₃以降は関係ないの？ >>879
正解！
自分でつくった問題なんですが、ほぼ同じやり方で計算しました
E*n!の計算の最後3行の部分がよく分かりませんが、答えは合ってるし書き損じですかね？
答えが思いのほか綺麗になるので、もしかすると別の解釈があるのかなと思い少し考えましたが分かりませんでした >>879
(i+1)!で約分してたのか、そこは理解しました
そこからの総和のスムーズな求め方はまだ分かってないけど
自分は(n+1)!をΣの外に出して(i+1)/(i+2)!=1/(i+1)!-1/(i+2)!の総和として計算してました
>>883
ありがとう！ >>884
(n+1)n(n-1)…(i+3)(i+2)(i+1) / (i+2) = (n+1)n(n-1)…(i+2) - (n+1)n(n-1)…(i+3) (ただし i = n-1 のときは第２項は-1と解釈する。強引だけどそれで i=n-1 でも合う。)
によりこれをi : 0～n-1で足し合わせればi=0のときの第１項とi=n-1のときの第２項だけが残って(n+1)! - 1となります。 >>884
なるほど。そっちの方がかっこいいですね。 >>885
なるほど理解しました
(n+1)!を掛けているだけで、本質的には同じやり方っぽいですね Aさんがある平面上に時計を2N個設置する。
そのうちN個は長針と短針が付いており、残りのN個は長針も短針も付いていない。
作動している時計の長針、短針は一般的な速度を刻むが、示している時刻が同じ保証はない。
あなたは長針と短針が付いていないN個の時計に対して、長針と短針をつけて作動させることができる。
ここで「特異な三角形」とは、「異なる3つの時計の中心を頂点に持つ三角形であり、また三角形の内部もしくは辺上に別の時計の中心が存在せず、
3辺すべてが3つの時計の長針と短針の劣角側（長針と短針がちょうど反対側に来るときは長針を上に持ってきたときの左側と定める）に存在しているもの」をいう。
Aさんはある時刻に部屋に入って、時計の中心同士を結ぶ。
ただし結んだ線分同士は全て交わらないように注意する。
あなたは任意の時刻で、「特異な三角形」をN個以下にすることが可能であることを示せ。
ただしAさんが線分を結ぶ時間、及びあなたが時計を作動させる時間は無視できる。 >>879
＞E = ((n+1)! -1) /n!。
これ、E = n+1 - 1/n! としてもいいですか？ >>889
＞ただし結んだ線分同士は全て交わらないように注意する。
これは辺さえ交差してなければ、内部に他の点を含むのはありですか？
例えば正三角形の頂点ABCとその重心Gに時計が配置されてて頂点上の針の狭角に他の全ての頂点が入っていているときに△ABCは「特異な三角形」にカウントされますか？
また内点を共有するのはありですか？
例えば正三角形の頂点ABCとその重心Gに時計が配置されてて頂点上の針の狭角に他の全ての頂点が入っていて、重心の時計の針の狭角にABが入っている場合、
△ABGと△ABCを両方「特異な三角形」とカウントするのはありですか？ >>889
証明作ってみたけど
三角形の個数は N-2 まで少なくできるね
問題の出典は？ >>892
「三角形の内部もしくは辺上に別の時計の中心が存在せず、」の条件から前者は認めません。点を共有する事は認めます。 特異な三角形って、作動していない時計が含まれていても意味がある概念？
(針がついていない場合は、針と辺に関する条件は満たされているものと考える、とか)
そうでなければ作動していない時計の存在意義がないと思うし
あと、特異な三角形と考えるのはAさんがその３つの時計を直線で結んでいる場合のみ？(でないと直線で結ばれている意味がないはず)
「あなたは～することが可能であることを示せ」とあるけど、"あなた"ができるのは時計に針をつけて作動させることだけだよね？
つまり、まだ針のついていない時計の時刻をうまく決定することで条件を満たすようにできることを示す、ということでよい？ >893
自作です
>895
N個の時計は必ず作動させなくてはいけません。
そのあと二つは仰る通りです。
文章が分かりにくくてすいません。 >>874
tanθ = t とおいて、面積Sをtで表わす。
・0<θ<30°のとき
AP1 = sinθ / sin(120ﾟ-θ） = 2t/(√3 +t),
AP2 = AP1 sin(60ﾟ+θ)/sin(60ﾟ-θ)
= AP1 sin(120ﾟ-θ)/sin(60ﾟ-θ)
= sinθ / sin(60ﾟ-θ)
= 2t/(√3 -t),
S(t) = ⊿P0P1A - ⊿AP1P2
= (1/2)sin(∠A) AP1 (1-AP2)
= (1/2)((√3)/2)(2t/(√3 +t))((√3 -3t)/(√3 -t))
= (3/2)t(1-t√3)/(3-tt),
t = 2√6 - √3 のとき極大 (3√3 -2√6)/4 = 0.074293
θ = 16.5505°
・30ﾟ<θ<60°のとき
AP1 = sinθ / sin(120ﾟ-θ) = 2t/(√3 +t),
BP1 = 1 - AP1 = (√3 -t)/(√3 +t),
BP2 = BP1 / AP1 = (√3 -t)/2t,
S(t) = ⊿P0P1B - ⊿BP1P2
= (1/2)sin(∠B) BP1 (1-BP2)
= (1/2)((√3)/2)(√3 -t)(3t-√3)/(t(√3 +t))
= (3/8)(√3 -t)(t√3 -1)/(t(√3 +t)),
t = (2√6 +√3)/7 のとき極大 (3√3 -2√6)/4 = 0.074293
θ = 43.4495° 前>>875午後２時x分に長針と短針が一直線になるとすると、
長針は60分で360°進むからx分で6x°進む。
短針は60分で30°進むからx分で0.5°進む。
今午後２時とすると、長針は短針より60°手前。x分後長針は6x°短針は0.5x°進んでいるから、
6x-60=0.5x+180
5.5x=240
11x=480
x=480/11
=43+2/11
２時43分10(+10/11)秒
（２時43分10秒9090……） >>897
ｔanθ の値を間違えた。
>>880 が正解。 >>893
ちなみにどのような方針で解かれましたか？ S_nをn次対称群とする。
σ∈S_nに対し
s(σ)=(σの符号)∈{-1,1}
f(σ)=(σの固定する要素の数)
と定めるとき、
Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+1)=(-1)^(1+n)*n/(n+1)
を示せ。 計算機だとどう解くのかねえ
0.初期状態を決める
1.交点の角度の小さなものを少し拡げる
2.面積の小さな領域を少し広げる
3.誤差が許容範囲以内になるまで1～2を繰り返す
こんなところかなあ 直線でいいならプログラムもさほど困難じゃないような気がするんが。 >>760
５角形のときカブトガニと呼ばれてたのを思い出したな。 前>>898
五角形のカブトガニ、分岐は120°だけど、周との交わりがなんか偏ってるよね。 ■速報■
無限に続くと思われていた円周率がついに終りを迎えた
千葉電波大学の研究グループがこれまでの円周率演算プログラムに
誤りがあったことを発見
同大のスーパーコンピュータ「ディープ・ホワイト」を使って
改めて計算しなおしたところ、１０桁目で割り切れたという
１０桁目の最後の数字は「０」だった
千葉電波大学の研究グループの発表によると、
円周率計算に際し、改めて既存の円周率計算プログラムを
点検してみたところ、円周の誤差を修正する数値に
誤りがあることに気が付いた
この数値を正常値に直して計算しなおしてみたところ、
円周率は１０桁で割り切れたという 原点O中心、半径√13の円に内接する正三角形ABCがある。
点Pは最初得点mを持って点Aからスタートし、次のルール(あ)、(い)で点数操作が行われる:
(あ) 点を出発する際に得点は3倍される
(い) 点に到着した際に得点は到着点のy座標の値がそのまま加算される。例えばy座標が-1であれば, -1される
いま、A→B→C→Aの移動を行うとき
(i)1周した後の得点m'の取りうる範囲を、初期の得点mを用いて表し、
(ii)得点m=1でスタートして、得点に変化がない場合、点Bの座標として考えられるものをすべて挙げよ。 >>902
できた。
まず基本的な公式として n≧3 のとき
Σ s(σ) = 0、Σ s(σ)f(σ) = 0、Σ[f(σ) = 0] s(σ) = (-1)^(n-1)(n-1)
が成立する。容易ゆえ証明は略。
自然数 n,i に対し
X[n,i] = Σ[n∈Sn] s(σ)/(f(σ) + i)、
Y[n,i] = (-1)^(n-1) n! (i-1)!/(n+i)/(n+i-2)!
とおく。
X[n,i] = Y[n,i] を示せば十分である。
n≦3 においては容易。
Yが漸化式
Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (i-1)Y[n, i-1]+ Y[n,i+1] (i≧2)、
Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ Y[n,i+1] (i=1)
を満たすことは容易。
σ∈S[n+1] に対し g(σ) をその固定点数とする。
まずn≧3、i≧2 において
X[n+1,i]
= Σ[σ∈S[n],k:1～n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+i)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+i) - f(σ)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= -(n+i)X[n,i] + (i-1)X[n, i-1]+ X[n,i+1]
であり、n≧3、i=1において
X[n+1,1]
= Σ[σ∈S[n],k:1～n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+1)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) - Σ[σ∈S[n], f(σ)≠0] f(σ)s(σ)/(f(σ))
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + Σ[σ∈S[n], f(σ)=0] s(σ)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + (-1)^(n-1)(n-1)
= -(n+i)X[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ X[n,i+1]
である。 >>911
想定していた解とは違いますが、正しそうです
問題より強い主張を漸化式を用いて示したわけですね
i≧2の場合の議論は避けられなさそうです
詳しく書いてくださりありがとうございます
ちなみに出典は某数学コンテスト(数オリではない)です >>902
俺もできたけど>>911の方が美しいかな…
一応概略を書いとく
>>911と同じく Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) を求める方針で、使う漸化式が異なる。
なので記号を借りて
X[n,i]=Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) (*)
とおく。
S_n の元を、n-1, n の行き先によって分類する。
(i)n-1, n を固定するもの。
これだけで (*) の和を考えると、X[n-2, i+2] に一致することが分かる。
以下同様に、
(ii)n-1 と n を入れ替えるもの→-X[n-2, i]
(iii)n を固定し n-1 を固定しない→X[n-1,i+1]-X[n-2,i+2]
(iv)n を n-1 に移し、n-1 を n に移さない→-X[n-1,i]+X[n-2,i+1]
(v)n-1 を固定し n を固定しない→(iii)と同じ
(vi)n-1 を n に移し、n を n-1 に移さない→(iv)と同じ
(vii)n-1,n が共に n-2 以下に移る→0 (∵σとσ(n-1 n)で打ち消しあう)
これらの総和をとって
X[n,i]=2(X[n-1,i+1]-X[n-1,i])-(X[n-2,i+2]-2X[n-2,i+1]-X[n-2,i])
を得る。あとは推測して帰納法。 >>913
方針は同じようですね
個人的には>>911の変形の方がより自然なように感じます >>902
のような問題は解けと言われれば解けるけど、なんでこんな式が成立するのか、見つけられるのかがさっぱりわがんね。
なんか背景理論的なものがあるんだろうなぁとしかわがんね。 >>909
虚構新聞ですね。
π =
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 前>>908
>>910(i)
点Aを(0,√13)とした場合、
点Bを(-a,-b)、点Cを(a,-b)とおくと、
点数はm→3m→3m-b→9m-3b→9m-4b→27m-12b→27m-12b+√13
m'=27m-12b+√13
bを求める。
AC^2=(√13+b)^2+a^2
BC^2=4a^2
AC=BCより、
(√13+b)^2=3a^2――①
点C(a,-b)は半径√13の円周上にあるので、
a^2+b^2=13――②
①②より、
13+2b√13+b^2=3(13-b^2)
4b^2+2b√13-26=0
2b^2+b√13-13=0
b=(√13)/2
∴m'=27m-5√13 前>>918
(ii)m=m'=1とすると、
1=27-12b+√13
12b=26+√13
b=(26+√13)/12
a^2={(b+√13)^2/3}^2
a=(b+√13)/3
={(26+√13)/12+√13}/3
=(26+13√13)/36
とりうる点Bは、
((26+13√13)/36,(26+√13)/12)
((26+13√13)/36,(-26-√13)/12)
((-26-13√13)/36,(26+√13)/12)
((-26-13√13)/36,(-26-√13)/12) >>909
>１０桁目の最後の数字は「０」だった
やっと気付いたww
芸が細かいwww 前>>919
>>920
π=3.1415926535……
０じゃないんじゃないの？
３じゃないの？ >>910
(i)
27m-26≦m'≦27m+26
(ii)
(-√3/2,-7/2), (√3/2,-7/2) 前>>921範囲か！
>>918修正。
(i)m'=m-12b+√13において0≦b≦
27m-11√13≦m'≦27m+13√13
ちがうか。
点A(√13cosθ,√13sinθ)
点B(√13cos{θ+(2π/3)},√13sin{θ+(2π/3)})
点C(√13cos{θ+(4π/3)},√13sin{θ+(4π/3)})
Aを出発するとき、
m→3m
Bに到着するとき、
3m→3m+√13sin{θ+(2π/3)}
Bを出発するとき、
3m+√13sin{θ+(2π/3)}→3[3m+√13sin{θ+(2π/3)}]
=9m+3√13sin{θ+(2π/3)}
Cに到着するとき、
9m+3√13sin{θ+(2π/3)}→9m+3√13sin{θ+(2π/3)}+√13sin{θ+(4π/3)}
=9m+3√13sin{θ+(2π/3)}+3√13sin{θ+(2π/3)}-√13sin{θ+(2π/3)}
=9m+2√13sin{θ+(2π/3)}
Cを出発するとき、
9m+2√13sin{θ+(2π/3)}→3[9m+2√13sin{θ+(2π/3)}]
=27m+6√13sin{θ+(2π/3)}
Aに到着するとき、
27m+6√13sin{θ+(2π/3)}→27m+6√13sin{θ+(2π/3)}+√13sinθ
∴m'=27m+6√13sin{θ+(2π/3)}+√13sinθ
(0≦θ≦π/2)
このとき0≦sinθ≦1
2π/3≦θ+(2π/3)≦5π/6
sin(5π/6)≦sin{θ+(2π/3)}≦sin(π/2)=1
m'のとりうる範囲は、
27m+6√13sin(5π/6)+√13sin(5π/6)≦m'≦27m+6√13sin(2π/3)
27m+6√13(√13)/2+√13(√13)/2≦m'≦27m+6√13(√13)(√3/2)
27m+39+13/2≦m'≦27m+39√3
27m+91/2≦m'≦27m+39√3 甲乙二人がおのおの32ピストル（当時のお金の単位）の金を賭けて勝負したとする。
そしてどちらかが先に３点を得たものを勝ちとし、勝った方がかけ金の総額64ピストルをもらえるとする。ところが甲が１点を得ただけで、勝負が中止になってしまった。
このとき、二人のかけ金の総額64ピストルを甲と乙にどのように分配すればよいだろうか。
ただし二人の力は互角で、勝つ確率はそれぞれ1/2ずつだとする。 >>925
甲32ピストル
乙32ピストル
∵勝負は中止になった。どちらも3点には満たない。どちらか勝ったほうが64ピストル総取りのルールだったはず。分配なら最初に言っとかないといかん。
前>>923 >>925
何をもって良い分配と見なすかによるでしょ
期待される勝率によって分けるなら
甲:44 乙:20
当初のルールを忘れて甲が勝利したと見なすなら
甲:64 乙:0
勝敗がついていない為に完全な引き分けと見なすなら
甲:32 乙:32
他にもいくらでもこじつけられそう >>760 (下) すべて線分、分岐角120°
L = 4.889287343655
>>903 (上) 線分3 + 円弧4、分岐角120ﾟ、外円との交角90°
L = 4.848096236
かな？ 格子
Γ = { M*(-143+√-2) + N*(401) | M,Nは整数 }
で(原点以外の点で)最も原点に近い点を知るには、やみくもに探す以外に良い計算があるか？
どんな格子でも通用する方法ではなくて、実は格子として長方形型格子 {M+N√-2|M,Nは整数} と相似な格子という仕掛けがあります 四角形の二つの辺の長さがそれぞれ800,1000である。
このうち、向かい合う二つの頂点から平行にそれぞれの対辺に対して二本の線を引く。このとき２つの直線の距離は300である。
このとき引いた直線は対辺をある長さx,yに分割するが、このx,yを求めよ。 >>931
出題者ではないが
時計を置く先手の最善手：
針のある時計を正N角形に配置
針のない時計は外側の任意の位置に置く
針は全て同時刻に合わせ、9時の向きに
正N角形の中心が来るようにする
（針が6時を指した時、正N角形の中の
三角形がすべて有効になる）
針を追加する後手の最善手：
時刻を先手の時計の6時間後に合わせる
文字盤の向きはすべて同じ方角とする
（針のなかった時計の中心を2つ以上含む
三角形が、任意の時刻ですべて無効となる）
三角形を描く先手の最善手：
自分の作った正N角形の外周と
対角線のうちN-3本を結び、N-2個の
三角形を作る
外側は適当に結ぶ
（「特異な三角形」は、6時のとき
最大N-2個）
証明は頭のいい人に任せた >>932
最初の四角形の頂点をA,B,C,Dとして、問題を書き直してはどうか 条件不足で定まらないと思うけどな
もしかして長方形なのか？ >>937
長方形です。
みなさんごめんなさい。面白くないのは承知しています。 前>>926
>>932
x+y=1000
三角形の相似比より、
1000:200√41=300:y
y=60√41
x=1000-60√41 左括弧"("と右括弧")"を2n個並べたとき，正しく括弧が組み合わさっている確率をP_nとする．
[例:(()),()() :正しい, )(((,)(():正しくない]
このとき，lim(n→∞)n√nP_nを求めよ． 連休なのに過疎ってるのでネタを投下してみる
問：表面積が1であるf面体のうち、体積Vが最大であるものは何か？
これに対してメディアル多面体が解となるという予想があった。定義は以下。
26問目スレ 447
＞「メディアルf面体」
＞ [ 6-12/f ] 角形と [ 6-12/f ] +1 角形のみからなるｆ面体。
＞ f≧12 のときは 5角形×12，6角形×(f-12)
これについて調査したところ、以下の場合は反例がありそう。
f=11 V=0.080055026399577983 4角形×2，5角形×8，6角形×1
f=13 V=0.082432267303420834 4角形×1，5角形×10，6角形×2
f=33 V=0.089603827451613424 5角形×13，6角形×19，7角形×1
そこで、以下の問を提案する。
問「表面積が1であるf面体のうち、体積Vが最大である解」がメディアルf面体でないfはいくつあるか？
つまり、条件を満たす f は、上記 11,13,33 がすべてであるか？（そもそも上記の例は最大解と言えるか？） n次正方行列Aが冪零行列のとき、A^p=Oをみたす正整数pの最小値を求めよ。 >>945
連休終わったけど…
ｆ V/S^{3/2}
4 0.05170027 = 1/{6√(6√3)} 正4面体
6 0.06804138 = 1/(6√6) 立方体
8 0.074488 4角形×4, 5角形×4 メディアル8面体
10 0.078740 4角形×8, 4角形×2 （シリコンフラーレン)
12 0.08168837 = φ^{4/7} /{6(√3)･5^{5/8}) 正12面体
14 0.083365 5角形×12, 6角形×2 ねじれ重角錐台（ゴールドバーグ)
16 0.084740 ？
20 0.086610 5角形×12, 6角形×8 メディアル20面体
32 0.089493 5角形×12, 6角形×20 切頂20面体（サッカーボール）
42 0.090565 5角形×12, 6角形×30 切稜12面体
∞ 0.09403160 = 1/(6√π) 球
φ = (1+√5)/2 = 1.61803398875 (黄金比)
http://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/40/0/40_0_226/_pdf >>949
こちらの計算した値は以下：
ｆ V/S^{3/2}
4 0.051700269950116645 正4面体
6 0.068041381743977170 立方体
8 0.074344868093229974
10 0.078734752898039745
12 0.081688371824182551 正12面体
14 0.083349245941114841
16 0.084742718358283536
20 0.086626966830007951 切頂20面体（サッカーボール）
32 0.089493100466131958
42 0.090574499972086386 (切稜12面体=0.090566239172274965)
正多面体とサッカーボール以外では値が多少違っているような。
精度の問題でしょうかね。 >>950
＞20 0.086626966830007951 切頂20面体（サッカーボール）
＞32 0.089493100466131958
サッカーボールは32面体のほうです。
20 0.086626966830007951 メディアル20面体
32 0.089493100466131958 切頂20面体（サッカーボール）
なお、f=20はメディアル20面体には違いないですが、ゴールドバーグ論文のXX-1(1,3,3,(6),3,3,1)やXX-2(1,6,6,6,1)とは異なり
たぶん 2,2,(4),(2,2),(4),2,2 で表されているものに近いのではないかと思います。 >>946
零行列 A＝O は冪零行列のひとつである．
これと A^p＝O を比較して p＝1．
>>948 が正解． >>951
化学式みたいにして多面体を表す方法があるんでしょうか >>950 >>951
修正乙
>>949
5 0.059698329545752329 = 1/{9√(2√3)}
正3角形プリズム、(正3角形の辺)/(高さ) = tan(π/3) = √3
7 0.071398254996602697 = (1/15)√{(5/6)cot(π/5)}
正5角形プリズム、(正5角形の辺)/(高さ) = tan(π/5)
9 0.076900
10 0.078734752898039745 4角形×2, ５角形×8 (Siフラーレン)
12 0.081688371824182551 = φ^{７/４} /(6(√3)･5^{5/8}) 正12面体
17 0.085206
cot(π/5) = φ^{3/2} / 5^{1/4} = 1.37638192
φ = (1+√5)/2 = 1.61803398875 ABを直径とする半径5[km]の円形の湖がある
この湖の水質は一様ではなく、
円の中心からr[km]離れた場所では時速r[km/h]までのスピードでしか泳げない
AからBまで泳ぐときの最短時間を求めよ 5π時間？
極座標系で、log(r) 対 θ のグラフを描いてみる… >>956
「もののふの矢橋の船は速けれど 急がば回れ瀬田の長橋」
宗長（室町時代） >>957
不正解
少なくとも円周上を泳げばπ時間で泳げる >>954
ゴールドバーグの記法によると、
「まず適当な回転対称軸を取って上下方向を決め、各面の中心が位置する高さが同じものの枚数を数えて列挙する」
というやり方らしい。
この方法では、最初の軸の取り方によって、違う表現になったりするので注意が必要。
例えば、正三角柱は、三角形の面を下にして置けば 1,3,1 であるし、四角形の面を下にして置けば下から 1,2,2 となる。
また、ゴールドバーグ記法だと、数字の表しているものが何角形か明記されないところが分かりにくいと思われるので、
３～７角形の面にt,q,p,x,hのアルファベットを付けて表してみる。特に正多角形の面は大文字で表す。
先の正三角柱の例は、T1,q3,T1 または、q1,T2,q2 のような表現となる。
ｆ V/S^{3/2}
4 0.051700269950116645 T1,T3 (正四面体)
5 0.059698329545752329 T1,q3,T1 (正三角柱)
6 0.068041381743977170 Q1,Q4,Q1 (立方体)
7 0.071398254996602697 P1,q5,P1 (正五角柱)
8 0.074344868093229974 q2,p2,p2,q2
9 0.076898933926867766 p3,q3,p3
10 0.078734752898039745 Q1,p4,p4,Q1
11 0.080055026399577983 x1,(q2+p4),p2,p2
12 0.081688371824182551 P1,P5,P5,P1 (正十二面体)
13 0.082432267303420834 q1,(p2+x2),p4,p2,p2
14 0.083349245941114841 X1,p6,p6,X1
16 0.084742718358283536 x1,p6,(p3+x3),p3
17 0.085264872589057683 x1,(p4+p2),(p2+x4),p2,p2
20 0.086626966830007951 x2,(p2+p4+x2),(x2+p4+p2),x2
32 0.089493100466131958 P1,x5,P5,x5,x5,P5,x5,P1 (切頂20面体)
33 0.089603827451613424 p1,x5,p5,x5,(x4+h1),p5,(x4+p2),x1
42 0.090574499972086386 P1,x5,x5,p5,x10,p5,x5,x5,P1 >>960
f=32の切頂20面体の六角形の面は正六角形ではないことに注意。
2種類の長さの辺を持つ内角120°の六角形で、辺の長さの比は sin24°:sin36°=(√(3+6/√5)-1)/2:1≒0.692:1
f=33は回転対称ではない。切頂20面体のひとつの六角形を五角形2つに分割したもので、新しくできた稜の両端に接する面の角も一つずつ増える。
f=42は、切稜12面体(P1,x5,x5,P5,x10,P5,x5,x5,P1)の上半分(,P5,x5,x5,P1)を10分の1周だけ回転させて組み合わせた形になる。 (f=32 の参考に)
フラーレン分子Ｃ_60
「Ｃ_60には90本のC-C結合があるが、そのうちＰを形成している60本は 1.458Å、2つのｈに共有される残り30本は 1.401Åの長さを持つことが知られている。」(比は 0.961)
藤田、吉田、大澤：炭素, No.162, p.100-109 (1994)
H. Hedberg et al.: Science, ２５４, p.410 (1992)
http://www.jstage.jst.go.jp/article/tanso1949/1994/162/1994_162_100/_pdf
「Ｃ_60は立方晶系(等軸晶系)で、分子内での二つのｈに共有されているC-C距離は 1.391Å、Ｐ内のC-C距離 1.455Åということからすると、････」(比は0.956)
日本大百科全書(ニッポニカ)
http://kotobank.jp/word/フラーレン-164308 ごめん>>956の問題だと結局円周が答えになってしまってつまらないので修正します
直径AB、半径5[km]の円形の湖がある
この湖の水質は一様ではなく、
円の中心からr[km]離れた場所では時速r[km/h]までのスピードでしか泳げない
ABを3:2に内分する点をPとしたとき、
AからPまで泳ぐときの最短時間を求めよ
まあでも>>957がほぼ答えなのですが >>960-961
P1,x5,x5,p5,x10,p5,x5,x5,P1と
P1,x5,x5,P5,x10,P5,x5,x5,P1
本質的に変わらんw
この書き方じゃ一意に決まらないんでは？ >>964
log(r) = log(5)(1 - θ/π)
のコースだから
(1/r)(dr/dθ) = - log(5)/π,
√{π^2 + log(5)^2} 時間 >>966
おー正解です
対数螺旋が最短であることの証明は出来ますか？ 前>>940
>>956円周を泳ぐと、
泳ぐ距離は10π/2
速さは5㎞/h
時間は、
(10π/2)÷5=π(時間)
ABを質量m(㎏)の人がまっすぐ泳ぐとき、
加速度-a(㎞/h)として、
エネルギー保存の法則より、
(1/2)m･5^2-m･a･5=0
a=2.5(㎞/h^2)
池の中心に達するまでの時間をt(h)とすると、
5t-(1/2)at^2=5
5t-1.25t^2=5
4t-t^2=4
t^2-4t+4=0
t=2
AB間は2t=4(時間)かかる。
AB間を池の端に中心とした半径5√2(㎞)の円弧を描くように泳ぐと、
加速度-b(㎞/h)として、
エネルギー保存の法則より、
(1/2)m･5^2-m･b･(2π/8)5√2=0
b=5√2(㎞/h^2)
中心に最接近するまでの時間をT(h)とすると、
5T-(1/2)bT^2=(2π/8)5√2
T-(1/2)(√2)T^2=(π/4)√2
T^2-T√2+π/2=0
判別式D=(√2)-4(π/2)
=2-2π＜0
∴円周を泳ぐときがπ時間でもっとも速いと考えられる >>968
ABをまっすぐ泳ぐ場合は等加速度運動ではないのでそうはなりません
中心部では速度0なのでAからBまでまっすぐ泳げないというのが正しいです
それとそれだけでは他のあらゆるルートより短いことの証明にはなってません >>969
ごめんなさい
>中心部では速度0なのでAからBまでまっすぐ泳げないというのが正しいです
これは語弊がありました
正しくは中心部までにかかる時間が1/(5-x)の0から5までの積分で発散するので中心まで有限時間では辿り着けない
でした >>965
やっぱり図示したほうがいいのかな
ゴールドバーグの示した切稜12面体がこちら
http://i.imgur.com/CGlcOxY.png
で、問題の42面体がこちら。真ん中の部分を互い違いにして作る
http://i.imgur.com/k0USDtP.png
確かに表現が同じになってしまう。うまい表現方法はないものか。 >>968
急がば回れ
>>969
極座標系で、log(r) 対 θ のグラフを描いてみる…
>>971
上半分と下半分の境界は正10角形？ 前>>968
>>969中心とおるコースだと、中心で永遠に泳ぎつづけることはわかりました。
結局π時間で正解ですか？ ＿＿＿＿＿｣前>>974
（ -~-)正解できて
zz∪∪うれしいです｡
￣￣￣￣￣￣￣￣￣] >>973
そうですね。
中心の５角形と、それに隣接する６角形×５、さらにそれらに隣接する１０枚の面をまとめて１８０度反転して図を作っています。 >>971
topologicalな構造のみを考えればいいんだから、単純に前の階層に隣接する面を右回りに列挙して表示すればいいだけじゃないかな？
一意な表現にしたければ各階層の起点はこれ、と決めてしまえばいい。
たとえば、真ん中の５から始めて、それを取り囲む面を次の階層としたとき、
各階層の１２時の方角にあるものを起点とすると、
上の図では、５角形、６角形、５角形、稜、６角形、稜、５角形が起点
下の図では、５角形、稜、６角形、稜、６角形、稜、５角形が起点となる
そうすると、稜を縦棒で表すとして、
上の図は 5,66666,5656565656,|6666666666,6565656565,|66666,5
下の図は 5,|66666,6565656565,|6666666666,6565656565,|66666,5
みたいにすればよくないかな？ 自然数から自然数への関数 y = f(x) を
y = x + a + (~b & (b-1))
で定義する。ただし、a および b は
x = a*(2*b-1) ; aは1,2,4,8,...のように2の冪で表せる数、bは自然数
で定まるものとする。
尚、 “~” は 否定 NOT 、 “&” は 論理積 AND を表す。
例
f(10)=f(2*5)=10+2+(~3 & 2)=12+(~[11] & [10])=12+([00] & [10])=12
f(11)=f(1*11)=11+1+(~6 & 5)=12+(~[110]&[101])=12+([001]&[101])=13
f(12)=f(4*3)=12+4+(~2&1)=16+(~[10]&[01])=16+([01]&[01]=17=f^2(10)
f(13)=13+1+(~7&6)=14=f^2(11)
f(14)=14+2+(~4&3)=19
問題１：f^10(10)を求めよ
問題２：f^m(n)=2019 となる (m,n)のうち、m+nを最小にする(m,n)を求めよ
問題３：f^m(n)=20190121 となる (m,n)のうち、m+nを最小にする(m,n)を求めよ ある私立医大の合格者の偏差値の平均値はm、標準偏差は10の正規分布であるとする。
合格者のうち成績上位70%は入学を辞退し下位30%の合格者が入学する。入学者の偏差値の平均値をmaとする。
m - maを算出せよ。 >>980
f(x) = 1/{σ√2π)} exp［-(x-m)^2/ 2σ^2],
下位30% ････ 偏差値(m-0.5244σ)以下
f(x)
ma = ∫[-∞, m-0.5244σ] x･f(x) dx } / ∫[-∞, m-0.5244σ] f(x) dx{
= m + ∫[-∞, m-0.5244σ] (x-m) f(x) dx / 0.3
= m + (σ/√2π)∫[-∞, -0.5244] t･exp(-tt/2) dt / 0.3
= m + (σ/√2π) [ -exp(-tt/2) ](t=-∞, -0.5244) / 0.3
= m + (σ/√2π) [ -0.8715 / 0.3 ]
= m - 1.159σ
= m - 11.59 >>979
問題1
48
問題2
(10,1991)
問題3
(13,20190087) >>981
正解。
偏差値平均の差はmの値には依存しない。
虚飾値＝合格者の偏差値 - 入学者の偏差値
と定義して、辞退率と虚飾値の関係をグラフにすると
http://i.imgur.com/7WQQPKu.png >>979
問題2は (m, n)＝(155, 255) かな
f(x) は x の2進数表記と 1 の数が同じものを
小さい順に並べたとき、x の次を表す
2019＝[1 11111 00011] は 1 が 8 個だから
255＝[111 11111] まで遡ることができる >>982
問題１：関数を順次作用させていくと、
10,12,17,18,20,24,33,34,36,40,48,65,66,...
という整数列が得られます。
先頭の10を第一項とすると、そこから10項目の第11項は48。正解です。
この数列を見て、何かに気づかないかな？ というのが狙いでした。
問題２、３は残念ながら最小ではないので不正解です。
>>984
正解。関数の「意味」も、ご指摘の通りです。
任意の二つの自然数が、この関数で結びつくかどうかは、二進数に直して、1の数を数えれば判断できます。
結びつくことがわかった場合、その距離をどのように計るか？ それを考えるための問題が２と３です。
この関数をプログラム化するのは、ビット演算可能な言語なら簡単にできます。
実際に繰り返し関数を適用すれば、問題２は簡単に答えにたどり着くだろうけど、
問題３は困難だろうと思い採用した数字でした。しかし、実際にコード化し試したところ一瞬でした。
というわけで、問題３も、プログラム的解法が可能です。が、非プログラム的解法を期待します。 古典クイズ
沢山の宝石がある。宝石には穴が空いており、全ての宝石は一本の長い紐に通されて一直線に並んでいる。
また、宝石はn種類あり、各種類の宝石の個数は様々であるが全て偶数個であることは分かっている。
紐を何回か切断しいくつかの塊に分けることで、紐から宝石を外すことなく2人の人間で宝石を分けることを考える。
このとき、宝石の個数や並びに関わらず、n回切断することで常に均等に宝石を分けられることを示せ。 >>987
正解
20190121=[1001101000001001110101001]。二進数で25桁、1の数が11。これが、20190121の属性。
2^11-1=2047=[11111111111]を起点にすると、m+n を最小にできる。
[11111111111]を一番目とすると、24桁の最大数[11111111110000000000000]は、C[24,11]=2496144番目。
この数にもう一度関数を作用させると、25桁の最小数[1000000000000001111111111]になる。
この「何番目」という指標と、関数の作用回数は、１ずれていることに注意すると、
[11111111111]に、C[24,11]回、関数を作用させると、最上位の桁=2^24の位に1を立て、
残りの1をすべて下位の桁に押し込んだ[1000000000000001111111111]を得られることが判る。
同様に、1が10個並んだ状態[1111111111]に、C[21,10]回作用させると、22桁の最小数
[1000000000000111111111]になる。スタート地点が[1000000000000001111111111]だったら、
[1001000000000000111111111]となるが、上位3桁に影響はない。
つまり、[11111111111]=2047を[1001101000001001110101001]に到達させるためには、
C[24,11]+C[21,10]+C[20,9]+C[18,8]+C[12,7]+C[9,6]+C[8,5]+C[7,4]+C[5,3]+C[3,2]
=3061558回、関数を作用させればよい。
http://codepad.org/d6ezVAJb >>989
ほとんど同じ考え方で計算してました
さすがにC[24,11]+C[21,10]+……C[3,2]の計算はパソコンを使いましたが >>955
(f=10 の参考に)
シリコンフラーレン分子Ｓi_16
Q,p4,p4,Q
Qの1辺 2.34Å
pp境界（Qに接触) 2.25Å
pp境界 2.28Å
各8稜
V.Kumar, C.Majumder & Y.Kawazoe: Chem. Phys. Lett., Vol.363, Iss.3/4, p.319-322 (2002/Sep)
(東北大･金材研の川添教授)
シリコン単結晶 2.3513Å >>991
このスレの>>32に貼られてる10面体がそれでしょうか
長さについては多少違うようですが 〔V/S^(3/2）の最大値〕（等周定数？）
出題 26:420
計算実験 26:642 >>945 >>950-951 >>960-961 ほか
立体図 >>32 >>971 ほか
まとめ？ 26:444、447、647 >>955 ほか これ面白い
2の間隔の正方形を作り点をABCDとしたよ。
辺ABの上に点Pを取り、辺AP=BP=√2としたよ。
1)この時、Pを含めた5角形APBCDの周長さはいくつかな？
2)点Pを(1)の周長を変えないように点B点Dの延長線上となるように点Pを動かしたよ。
その結果四角形APCDとなったよ。
この時の点DP間の長さはいくつかな？
3)点Pが(2)の状態にある時、点P1とし、(1)の周長を崩さぬように点Pを動かしまた点BDの直線上に動かしその点をP2としたよ。
点P1→点P2動いた時間はいくつ？
なお、動かした時間は1につき1secとするよ。
4)動かした点Pの軌道をグラフに描く。
点P1が(0,0)を通るように上に凸で書いたよ。
次に(x,y)=(2,0)を中心とし(0,0)を通る半円を書き足したよ。
軌道と円で囲まれてる所の面積はいくつかな
？ >>945
「メディアルf面体」
5 - 12/f < k < 7 - 12/f なるk角形からなるｆ面体。
f≧12 のときは 5角形×12，6角形×（f-12)
ｆが12を割り切るときは全て（6-12/f）角形 （例：正ｆ面体） >>998
5角形×12，6角形×1 で作られる多面体は、どんな形になりますか？ このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
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