Wolfram 先生に
factorize x^4-(8/3)x^3-2x^2+8x+1
ってお願いして irreducible factorization 出してもらえば普通に a,b,c,d 構成できるんじゃないの

あと >>320 だけど
a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4
は計算間違いで本当は
a^2d+bc^2=4(a+c)-(abc+acd)
になって特に何が言える訳でもないと思うよ