>>82
まず訂正（細かいが）
誤 開集合を使った同値な定義がある習う
　↓
正 開集合を使った同値な定義があると習う

本題は、開集合を使った同値な定義の資料下記３点ご参考
（自分の検索で上位に来たもの）
まあ、別の資料も沢山あると思うが
（貴方なら、既習の範囲かもしらんが（＾＾； ）

　記
１）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/renzokusyazou.html
連続写像（開集合の逆像は開集合）理系インデックス
(抜粋)
これは微分積分学でよく知られている関数の連続性を一般化したものである。
実際、微分積分学で知られているεδ論法と同様の形をしている。
(引用終わり)

２）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F
連続写像

目次
1 定義
1.1 開集合を用いた定義
1.2 閉集合を用いた定義
1.3 近傍系を用いた定義
1.4 点列および有向点族を用いた定義
1.5 閉包作用素による定義

３）
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/
授業/山田光太郎 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻
集合と位相第一 （2011年度）
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/20110607.pdf
講義資料 10 開集合・閉集合 集合と位相第一 山田光太郎（東京工業大学理学部2年次）20110607
(抜粋)
■連続写像
定理10.17. 距離空間(X， dX) から(Y， dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，
任意のY の開集合U に対してf?1(U) がX の開集合となることである．
(引用終わり)