>>53
良いテキストが見つかった（下記）
この服部哲弥先生の数学基礎も、当時過去スレで紹介だけはしたんだがね（＾＾
”(11) lim ￣n→∞ an = inf N∈N sup n >= N an”辺り、原文を見て下さい
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/hattori.htm
服部哲弥
現職：慶應義塾大学経済学部 教授
1958年生まれ 1985年東京大学大学院理学系研究科博士課程（物理学専攻）修了（理学博士）
専門：数理物理学，確率過程論
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/suukiso.htm
1999-2002年度（於名古屋大学1年理系対象）の記録
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/kiso1r.pdf
数学基礎 第１学期．１変数関数の初等解析学．服部哲弥 2002
(抜粋)
P10
§3.2 数列の上極限，収束，極限．

問題点は何か． これから，いくつかの単語を定義する．なぜか？
最終的に定義したいのは極限だが，周知のように極限は必ずあるとは限らない．上極限は上に有界な数列
なら必ず存在する．極限の存在しない数列があることは良く知っているだろうが，極限が存在しなくてもn
が大きくなるときのan の傾向を示す量が必ず存在してほしい．
上極限は，n が大きいときのan たちの「最大値の極限」である．
例えばan = (?1)n のとき，
上極限は lim ￣n→∞ an = 1 であり，
下極限は lim ＿n→∞ an = ?1 である．
そして上極限と下極限が一致するとき極限がある，と定義することができる．

定義4 (上極限) 「プレ」極限の概念として上極限がある．
これは数列の遠く（大きなn）のほうの上限という気持ちである．
数列{an} の上極限lim ￣n→∞ an とは
単調減少数列 bN = sup{an | n = N,N +1,N +2, ・ ・ ・}, N ∈ N, の下限のことを指す．

定義を式で書けば，
(11) lim ￣n→∞ an = inf N∈N sup n >= N an

上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．

lim ￣, lim ＿ はそれぞれ上（下）極限を表す一つの記号．
limsup とも書くが，sup をとってさらにlim をとる，という意味ではない！
(引用終り)