>>52
前半了解

で、後半は、定理の主さんは、いろいろ考えがあって、
これが分かりやすいと思ったのでしょうね
（>>51より）
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)
(引用終わり)

これ明らかに、”イプシロン・デルタ論法”に持ち込みたいって意図ですよね（＾＾
つまり、「lim」の記号を、「inf δ> 0」みたく書きたいという意図

参考に、下記に”イプシロン・デルタ論法”の例がありますので、見てください
https://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-06-07-1
ねこ騙し数学
第１９回　リプシッツ連続と一様連続 2017-06-08
(抜粋)
Xを実数Rの空でない部分集合とし、fをXからRへの関数とする。このとき、任意のx1,x2∈Xに対して、あるK>=0が存在し、
|f(x2)-f(x1)| <= K|x2-x1| （１）
であるとき、fはXでリプシッツ連続という。また、（１）式の定数Kをリプシッツ定数と呼ぶ。
関数f(x)がXでリプシッツ連続であるとき、f(x)がXで連続であることは、次のように証明できる。
(引用終わり)