>>44 補足

(抜粋 >>25より)
補題1.5 f : R → R とx ∈ R は
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
を満たすとする. このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x − 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]が成り立つ.
(引用終り)

ここで、最初の「lim sup y→x」でのｙと、後の「∀y, z」でのｙと、同じｙを使っているが
なんの関係もないんだ

だから、>>32で指摘したように
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)
と定義される.”として

（改善版）
補題1.5 f : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
lim sup x→a ｜（f(x) − f(a)）/（x − a）｜< +∞
を満たすとする.
このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [a − 1/M < y < a < z < a +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]が成り立つ.
(終り)

と表現する方が、分り易いと思う
最初の式と後の式で、共通はaだけになって、すっきりすると思う
まあ、証明の初版だし、許容範囲と思うが、
ちょっとした気遣いは必要と思うよ