xの関数f(x)を
f(x)＝1 (xが有理数)
f(x)＝0 (xが無理数)
と定めるとf(x)は全ての実数xに対して定義されているが全ての実数xで不連続(グラフがつながっていない)

h＞0とするとき任意の実数aに対してaからa＋hまでの区間を考えるとこの区間には有理数も無理数も無限に存在するから

f(a＋h)−f(a)

はh→0としても0に近づかない

aからa−hまでの区間にしてもこの区間にも有理数と無理数の両方が無限に存在するから

f(a−h)−f(a)

はh→0としても0に近づかない

だからグラフは全ての実数aに対してaでつながっていない