現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む54
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このスレは、皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てた） >>161
>スレ主は定義をコピペしていても定義にそのまま当てはめることすらできないんだよなあ
はい（＾＾
では、ε-δ 論法の証明の習作をば以下に
>>156
>今回トマエ関数とかを考えると、”ε-δ”役に立つと思ったね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法
(抜粋)
関数の連続性
実関数 f: R → R が
lim _{x → a}f(x)=f(a)
を満たすとき、 f(x) は x = a において連続であるという。
この極限の式は ε-δ 論法を用いて関数値の極限として定義される。
開区間 I = (p,q) 上の任意の点 a ∈ I において f(x) が連続であるとき f(x) は I 上で連続であるという。
これを ε-δ 論法で書くと
∀ ε >0, ∀ a∈ I, ∃ δ >0 s.t. ∀ x∈ I, |x-a|<δ → |f(x)-f(a)|<ε
となる。
(引用終り)
さて
ディリクレ関数、トマエ関数 の変形で
f(x) ＝ (1/q)^ν （ν>=0 ） 但し ｘ＝p/q（有理数で、p、qは互いに素な整数）
f(x) ＝ 0 但し ｘ＝s (sは無理数)
とします
なお、後の都合で、
f(x) ＝ 0 但し ｘ＝0 とする
（>>17より）
＜The modified ruler function のまとめサイト下記＞
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
に示す通りだが
・ν＝0のとき、ディリクレ関数で、いたる所不連続
・ν＝1のとき、トマエ関数で、有理数Qで不連続、有理数Pで不続
・ν＞2のとき、modified ruler functionで、有理数P中に微分可能な点が出てくる
となります
（元の関数はf(0) ＝ 1だが、f(0) ＝ 0と定義すると、
ν＝2のとき、原点で微分可能になるのです（後述の通り） ）
つづく >>163
つづき
さて
「f(x) ＝ 0 但し ｘ＝0」つまり、f(0)=0と定義したので、
a)ν＝0のとき、ｘ＝0で不連続
b)ν＝1のとき、ｘ＝0で連続
c)ν＝2のとき、ｘ＝0で微分可能
となる
ここで、まずa)とb)の二つを、
上記 関数の連続の”ε-δ”で、簡単に示そうと思う
（>>124には、この通俗解説を書いたのでご参照下さい）
a)「ν＝0のとき、ｘ＝0で不連続」を示す
１）ｘ＝0に対応するのはｙ＝0。
２）ｙ軸の方向から値を見ると
定義より、有理数で１、無理数で0
３）ということは、
どんなにδを小さく取って
（0-δ、0+δ）を考えても、
ここに必ず有理点が含まれf(x)=1となる点がある
４）よって、そのような点では、｜f(x)-f(0)｜＝1であって、
”<ε”（小さいεを取ること）は実現できない
（ε-δ 論法不成立）
５）よって、f(0）で不連続である
６）これは、通俗的に言えば、
ｘ＝0の近傍に有理点でｙ＝1の点が必ずある
だから、” |f(x)-f(a)|<ε”は不可ということ
PS
ディリクレ関数をグラフで書くと、
ｙ＝１とｙ＝０の二本の線が横に伸びている図になる
しかし、ベール先生（範疇定理）の目では、
ｙ＝１の線は疎（痩せている）
ｙ＝０の線は密（太っている）
と見えるのです（＾＾
（普通にぼんやり眺めると、見分けがつきませんが）
つづく つづき
b)「ν＝1のとき、ｘ＝0で連続」を示す
１）ｘ＝0に対応するｙはｙ＝0。
２）ｙ軸の方向から値を見ると
定義より、有理数で1/q、無理数で0
３）ε>1/q>0と置く。さらに δ＝1/qとおく
（0-δ、0+δ）＝（0-1/q、0+1/q）を考えると、
この区間内の有理数p'/q'（但しp'、q'は互いに素）の分母q'は、qより大
（∵ qより小なら、p'/q'＞1/qだから）
４）よって、そのような点では、f(x)＝1/q'<1/q<εである。
（qが負の場合も同様に論じることが、出来る）
５）εを任意に小さくしても、同じ論法ができるので、ε-δ 論法成立
よって、ｆはｘ＝０で連続である
６）これは、通俗的に言えば、
ｘ＝0の近傍にある有理点x＝1/qで、ｙ＝1/qの値であり、
x＝1/qより原点に近い有理数は、分母がqより大なので、ｙの値は1/qより小さい
だから、ｘ＝0の近傍では、有理点で1/qを筆頭にそれより小さい値が密集している
だから、ｘ＝0の近傍では、隙間が見えない（＝連続）ってことです。（＾＾
つづく >>165
つづき
さて
c)については、lim x→0 について収束のε-δ 論法 使う
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法
(抜粋)
関数値の収束
関数 f(x) に対して、極限の式
lim _{x → a}f(x) = b
を ε-δ 論法で書くと
∀ ε >0, ∃ δ >0 s.t. ∀ x∈ R , 0<|x-a|<δ → |f(x)-b|<ε
となる。 s.t. は such that の略で ﾖ の条件を示し、 s.t. 以後の条件を満たすような正の数 δ が存在するということである。
すなわち
任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、 0 < |x ? a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) ? b| < ε が成り立つ。
という意味の式である。極限の式の意味は、この ε-δ 論法によって定義される。
(引用終り)
c)
「ν＝2のとき、ｘ＝0で微分可能」を示す
１）まず、ｘ＝0で微分可能を示すためには、f'(x) ＝ 0 つまり
f'(x) ＝ lim x→0 |(f(x)-f(0)/(x-0))| =0を示せば良い
定義 f(x) ＝ 0より、 |(f(x)-f(0)/(x-0))| = |f(x)/x| となる
（なお、定義より、f(p/q) ＝ (1/q)^2 、無理数でf(x) ＝0を再掲しておく）
２）ｘ＞0（正）から0に近づくとする
３）ε>1/q>0と置く。さらに δ＝1/qとおく
上記b)同様に、ｘの区間[0、1/q]を考えると、
この区間内の有理数p'/q'の分母q'（但しp'、q'は互いに素）は、qより大
４）ｘ＝1/qで、|f(x)/x| =1/q
ｘ＝p'/q'で、|(f(x)-f(0)/(x-0))| =1/(p'q')
”q'>q かつ p'>=1” だから、1/(p'q') < 1/q
（なお、無理数点ではf(x)=0なので、|f(x)/x| =0）
５）従って、ｘの区間[0、1/q]内の任意の点で、|f(x)/x|<= 1/q <ε が成り立つ
６）εを任意に小さくしても、同じ論法ができるので、ε-δ 論法成立
７）ｘ＜0（負）から0に近づく場合も、同様に、|f(x)/x|<= 1/q <ε が成り立ち、ε-δ 論法成立
８）よって、ｘ＝0で微分可能
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