だが指摘は続く

＞cr ≠ qrであるから、オイラーの定理により、trを正の有理数としてtr × 2 = (pr − 1)pr^qr−cr−1とならなければならない。
＞p^2 ≡ 1 (mod pr^qr−cr)となる周期が 2 になるので、pr = 2となる。

またオイラーの定理を取り違えている
オイラーの定理を使ってもp^2≡1⇒pr=2とはならんよ

だいたい、pr=(p+1)/2となる奇素数pとprについては、常にp^2 ≡ 1 (mod pr)なんだから、これは立派な反例となるだろう。