cr≠qrであるから、フェルマーの小定理の拡張定理から
ts、trを整数として
2ts(2m+1)=(ps-1)ps^(qs-cs-1)
2tr(2m+1)=(pr-1)pr^(qr-cr-1)
4trts(2m+1)^2=(pr-1)(ps-1)pr^(qr-cr-1)ps^(qs-cs-1)
4trts(wpr^(qr-cr-1))^2=(pr-1)(ps-1)pr^(qr-cr-1)ps^(qs-cs-1)
4trtsw^2pr^(qr-cr-1)=(pr-1)(ps-1)ps^(qs-cs-1)
trtsw^2pr^(qr-cr-1)=(pr-1)/2×(ps-1)/2×ps^(qs-cs-1)
w=(pr-1)/(2tr)
となるから、wは(pr-1)/2の約数になる
wがprの倍数であるとすると、vを整数として
(pr-1)/2=vpr
pr-1=2vpr
(1-2v)pr=1
となり、pr>2に反するので、wはprの倍数にならない。
tr(ps-1)ps^(qs-cs-1)=ts(pr-1)pr^(qr-cr-1)
ⅰ. qr-cr-1>0のとき
・pr>psのとき
tr=tr'pr^(qr-cr-1)とすると
2trw=pr-1
2tr'pr^(qr-cr-1)w=pr-1
0≡-1 (mod pr)となるので不適になる。
