実際には、qを考えることには理由がある

「qを考えることで最終的に矛盾が示せるから」

これが理由だ。というか、これ以外の理由は存在しない
なぜなら、矛盾を導けない操作は証明の中で邪魔でしかないからだ(今は背理法が念頭にあるので)。
もし矛盾が示せない操作が証明の中に紛れ込んでいたら、
その操作は邪魔なので削除してよく、
残った操作は全て矛盾を導くための操作となり、ゆえに

「そういう操作を考えると矛盾が示せるから」

という理由だけが残る
唐突かどうかではなく、矛盾を導ける操作であるかどうかだけが重要なのだ