>>593

さて
定理1.7（>>558より）の類似で
定理1.7’（連続・不連続版）
　f：R → R とする
　条件節 A： Bf :={x ∈ R ｜ Rで連続 } と置く。
　もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
　結論 B： f はある開区間の上で連続である
とする

ここで、例として、下記のトマエ関数の簡略版を考える
１）トマエ関数の整数版
・f(x)n = 1 (x ∈ N ), 0 (x ∈ R ＼ N )
・この関数では、各整数点で不連続（リプシッツ連続でもなく）、
　開区間(n, n+1)(nは整数)で連続（リプシッツ連続でもある）
・なので、定理1.7’で、R−Bf ＝N、Bf＝ R ＼ N となる
　（ここで、Bf＝∪ n=-∞〜+∞ (n, n+1) である）

２）トマエ関数の分母有限分数版
・f(x)m ＝ 1/q (x ∈ Qm ), 0 (x ∈ R ＼ Qm )
　ここに、Qm ＝｛ x ｜ x＝p/q 但し、p,qは整数で互いに素で、qは1以上である有限の正整数値m以下（1 <= q <= m ）とする｝
・この関数では、各分母有限の分数点で不連続（リプシッツ連続でもなく）、
　開区間例えば(n/m, (n+1)/m)(nは整数)で連続（リプシッツ連続でもある）
・なので、定理1.7’で、R−Bf ＝Qm、Bf＝ R ＼ Qm となる
　（ここで、Bf＝∪ n=-∞〜+∞ (n/m, (n+1)/m) である）

つづく