たとえば、次のようにすればよい。
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(☆)の証明
正則関数 f：C→Cであって、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} を満たすものが存在するとする。
このとき、C−C_f は第A類集合になるので、一致の定理が適用できて、fは恒等的に0である。
しかし、fの零点集合は {0}∪{i/n｜n∈N} なのだから、それ以外の点ではf(z)≠0であり、
fは恒等的に0ではない。よって、

「fは恒等的に0であり、fは恒等的に0ではない」

となるので、矛盾する。よって、このようなfは存在しない。
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この証明は、定理1.7を系1.8に適用するのと(本質的に)同じやり方である。