現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む53
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） まずは定義から。ここでは "零点集合" を定義する。
定義
複素数全体をCと置く。
写像 f：C→C に対して、{ z∈C｜f(z)＝0 } という集合のことを、f の零点集合と呼ぶ。
定義
写像 f：C→C に対して、C_f：＝{ z∈C｜f(z)≠0 } と定義する。
このとき、C−C_f＝{ z∈C｜f(z)＝0 } であるから、f の零点集合は C−C_f と表現できる。
たとえば、f：C→C を f(z)＝z(z−1)(z−2) と定義すると、
fの零点集合は {0,1,2} だから、C−C_f＝{0,1,2} となる。 >>430
いやいや、ただスレを伸ばして自慢したいだけだと思うぞw
君もそれを分かっているだろうが、あまりにこの茶番に力を使い過ぎていて心配になる 次は集積点の定義。
定義
D⊂C とする。z∈Dが「Dの集積点である」とは、D内のある点列 {z_n}_n⊂D が存在して、
z_n≠z (n∈N) かつ lim[n→∞]z_n＝z が成り立つときを言う。
定義
D⊂Cが少なくとも1つ集積点を含むとき、Dのことを「第A類集合」と呼ぶ。
D⊂Cが全く集積点を含まないとき、Dのことを「第B類集合」と呼ぶ。
このような名称は広く流通しているようなものではなく、今ここで適当に名前を作っただけである。
定理1.7に似せた記述をしたいので、このような名前を作ってみた。
たとえば、虚数単位を i として、{i/n｜n∈N} という集合を考えると、この集合には集積点がない。
よって、この集合は第B類集合である。次に、{0}∪{i/n｜n∈N} という集合を考えると、
点0はこの集合の集積点なので、この集合は第A類集合である。
この集合は後で再登場するので、ここでもう一度、目立つように書いておく。
・ {0}∪{i/n｜n∈N} という集合は、点0が集積点になっているので「第A類集合」である。 次に、一致の定理(の簡易版)を掲載する。
――――――――――――――――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もしfの零点集合が集積点を持つならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――――
ここで、>>431により、fの零点集合は C−C_f と書ける。
また、集積点を持つ集合は「第A類集合」と呼ぶことにしてある(>>433)。
よって、一致の定理は次のように書き換えできる。
――――――――――――――――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もし C−C_f が第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――――
このように、一致の定理は、定理1.7に似せた文体で記述できる。
かえって分かりにくいかもしれないが、あしからず。 比較のために、定理1.7と一致の定理を並べると、次のようになっている。
――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7
f：R→Rとする。
もし R−B_f が第一類集合ならば、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もし C−C_f が第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――――
このように、両者は似せた文体で記述できる。 この一致の定理に対して、スレ主の>>428の真似をすると、
たとえば次のようなアナロジーが得られる。長いので2レスに分ける。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
証明以前に論理の問題として考えよう。
一致の定理では、正則関数 f：C→C について、C−C_f が第A類集合でありさえすれば、
だったそれだけで必ず、fは恒等的に0であると主張している。
だったら、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} のケースを考えよう。
・ {0}∪{i/n｜n∈N} は第A類集合だから、C−C_f は第A類集合である。
よって、一致の定理の条件節を満たすので、一致の定理が適用できて、fは恒等的に0になる。
しかし、fの零点集合は C−C_f であり、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} なのだから、
fの零点集合は {0}∪{i/n｜n∈N} ということになる。だったら、そこ以外の点では
f(z)≠0である。つまり、このケースでは、f は恒等的に0ではない！
[続く] つまり、
３）「p → q」 集合の包含関係 P⊂Q を踏まえて
・ 一致の定理において、
f：R → R は正則関数とする
条件節 A：C−C_f が第A類集合ならば
結論 B：f は恒等的に0である
となる
・ここで、簡単に条件節 Aを満たす正則関数の集合をA、結論 Bを満たす正則関数の集合をBとする
A⊂B である
（対偶とは、単純に”¬A ⊃ ¬B”のことである）
・¬B：”fは恒等的に0ではない”
であるから
そのような正則関数は、¬Aに含まれる（Aではない）
・よって、そのような正則関数は、一致の定理で扱ってはいけない
（∵条件節 Aを満たさない正則関数は、一致の定理の範囲外。
無理に扱えば、上記１）のバートランド・ラッセルの逸話になる）
C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} のケースでは、fは恒等的に0ではないのだから、このような正則関数は
¬Bに含まれる。よって、そのような正則関数は¬Aに含まれる。¬Aに含まれる正則関数は、
一致の定理で扱ってはいけないのだったが、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} は第A類集合なのだから、
条件節Aを満たしており、一致の定理で扱える。つまり、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} のケースでは、
"一致の定理で扱ってはいけないのに一致の定理で扱える"。ということは、一致の定理は間違っている！！
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― このように、スレ主の詭弁を使うと、一致の定理ですら
スレ主は「マチガッテイル」と主張できてしまうのである。
一致の定理は正しい定理なので、>>436-437に書かれている屁理屈は、
どこかが自動的に間違っている。定理1.7に対する批判の方も、
同じ箇所が自動的に間違っている。 続けてください。興味深い。完全理解なんてカリキュラムの違いから目指さないけど、
刺激が続いてはいったら、読みやすく参加しやすくなる人もいいいと思う。 公立中 私学 人文学 とわたったから、数学は粗が出ていて、面白いけど
苦手意識はない事はない。高校ぐらいまでは数学やってたけど、人文科学に
数学を持ち込んで新しい試みをやってみたいなあ。 ラッセルとヴィトの集合論はやってたけど、数学はマジで実学だというところから
ああそうね、あの時の事ねと振り返るのも楽しいです。 ＞人文科学に数学を持ち込んで新しい試み
興味深いですね >>440-442
学術さん、どもありがとう
あなたは面白い人ですね（＾＾ >>438
なるほど
あなたとのスレ違いがどこにあるか良く分かったよ
仰る通りだね
１）適用する定理が正しく ＆ ２）（その定理に矛盾する）適用する対象が空（空集合）
の場合は例外的に、１）と２）の組み合わせが、数学として許容される
しかし、その定理が正しくない場合は、バートランド・ラッセルの逸話になる
現実にありえないことが、証明される
あるいは、（その定理に矛盾する）適用する対象が実際に数学的に存在し、かつ適用する定理と矛盾するなら、反例が存在することになるってことだね
問題は、定理1.7において、リプシッツ連続でない集合が、有理数QのようなR中稠密な集合の場合に、どうなるか？
この場合、リプシッツ連続でない集合がR中稠密に存在するから、開区間(a, b) など取りようがない（存在しない）
では、定理1.7において「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」
を拡張して、「拡張系1.8 有理数の点＊）でリプシッツ連続でなく, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在しない.」が言えるかどうか？
（注＊）この有理数を、もっと抽象化した、R中で稠密な集合に拡張できればもっとうれしい）
つづく >>446
つづく
「拡張 系1.8 有理数の点でリプシッツ連続でなく, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在しない.」
に対し
「拡張 系1.9 有理数の点でリプシッツ連続でなく, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R が存在する」
が考えられるが、拡張 系1.9 が成立するのではないかと、私見だが、考えている
（定理1.7の証明では、拡張 系1.8をきちんと証明したとは言えないと思うよ）
残念ながら、これに関する文献は見つけることができなかった
もし、ご存知の方がいれば教えて欲しい
拡張 系1.9が成立するなら、定理1.7は場合分けし、稠密でない場合のみ、開区間(a, b)が取れるとすべき
拡張 系1.8においても、定理1.7が拡張 系1.8 を含むならば、きちんと場合分けすべきと思う（結論の文が異なるのだから）
そして、
拡張 系1.8が成立すれば、これを使うことができ、系1.8を証明できるが
もし
拡張 系1.9が成立するなら、定理1.7では系1.8を証明することできない
どうぞ、拡張 系1.8をきちんと証明してください
（いまの定理1.7で十分証明できていると思うなら、そう仰って下さい。
私は、定理1.7ではその証明も含めて、稠密の場合には一言も触れられていないので、拡張 系1.8は未証明と思っています）
以上 >>446 余談
”仰る通りだね
１）適用する定理が正しく ＆ ２）（その定理に矛盾する）適用する対象が空（空集合）
の場合は例外的に、１）と２）の組み合わせが、数学として許容される”
ここらの例外扱いが、背理法反対派の一つの根拠かもしれないと思う今日この頃（＾＾
ただ、ある対象が存在しない（あるいは矛盾する存在）ということを証明しようとすると、
背理法で「存在すると仮定して・・」とやりたくなりますよね（＾＾ >>446
＞１）適用する定理が正しく ＆ ２）（その定理に矛盾する）適用する対象が空（空集合）
＞の場合は例外的に、１）と２）の組み合わせが、数学として許容される
(2)は必要ない。適用する定理が正しいなら、その定理に矛盾する対象は
自動的に空集合だからだ(もしこれが空でないなら、適用する定理に
反例が存在することになり、その定理は正しくない)。
だから、単純に(1)だけで判断すればいいだけの話。 >>446
＞問題は、定理1.7において、リプシッツ連続でない集合が、有理数QのようなR中稠密な集合の場合に、どうなるか？
だから、そのようなケースが存在しないことは既に証明済みである。
そのようなケースは、>>282の(1)に流れ込んで消滅するのである。
「R−B_fが第一類集合であり、かつR−B_fがRの中で稠密である」
というケースは、スレ主がこの間提案した>>374の(B)のケースそのものである。
そして、このケースは>>282の(1)の部分ケースにすぎない。このことは、
>>381-382で既に指摘済みである。
そして、(1)で矛盾が示せているのだから、(1)の部分ケースである(B)のケースも自動的に消滅する。
つまり、「R−B_fが第一類集合であり、かつR−B_fがRの中で稠密である」というケースは
存在しないことが、定理1.7の証明の中で既に示されている。 スレ主は稠密かどうかの場合分けにこだわっており、
定理1.7で稠密ケースに触れていないことに不満があるようだが、
これは的外れである。
>>381-382で指摘したように、稠密ケースは(1)の部分ケースにすぎないので、
わざわざ稠密ケースに 触 れ る 必 要 が な い のである。
(1)で矛盾を引き出せさえすれば、それだけで、
(1)の部分ケースにすぎない稠密ケースも一緒に消滅するのだ。 大切なことなので、言葉を変えてもう一度書く。
いちいち部分ケースに触れることをしなくても、それらのケースを全て包含した
「超一般的なケース」で矛盾することが示せているのであれば、個々の部分ケースは
一緒に全滅するのであり、結局最後まで部分ケースには全く言及することなく、
証明が終了するのである。この現象を後から見返したときに、
「この証明では、俺が想定している部分ケースには触れてないから、
その部分ケースについては何も証明していない」
と勘違いしてしまっているのがスレ主である。そうではないのだ。
触れてない＝証明されてない
ではないのだ。スレ主はここを勘違いしている。
個々の部分ケースを全て包含した超一般的なケースで矛盾することが
示せているのだから、個々の部分ケースは自動的に全滅しているのだ。
なぜわざわざ部分ケースに言及しなければならないのだ。
それでは証明がダウングレードしてしまうじゃないか。 これも>>382の繰り返しになるが、どうしても稠密ケースへの言及が欲しくて、
どうしても(B)のケースに特化した証明が欲しいのなら、>>382のようにすれば
(B)専用の証明が完成する。それで満足だろう？ これほど手取り足取り教えてやっても一向に理解が進まないスレ主だったとさ 結局スレ主がやりたいことって「俺は『稠密』って言葉を理解してるぞ〜すごいだろ！」って自慢したいだけ
アホかと >>448 補足
ちょっと、良い説明を思いついたので、補足しておく
・（>>428より再引用）
定理1.7 において
f：R → R とする
条件節 A：Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く。もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
となる
・ここで、定理1.7を、二つに場合分けすると
１）定理1.7-1：R−BfがR中稠密でない場合で、結論 B-1：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
２）定理1.7-2：R−BfがR中稠密な場合(＝拡張 系1.8)）で、 結論 B-2：そのようなfは、存在しない
となるべき
・（繰返すが）”ある開区間の上でリプシッツ連続である”という結論は、R−BfがR中稠密でない場合しか成り立たない
・よって、
系1.8 「有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」（>>386より）
を証明するために適用すべきは、定理1.7-2(＝拡張 系1.8)であるべき
・定理1.7-1を適用して、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」として矛盾（”ある開区間の上でリプシッツ連続”）を導くことはできない
（∵R−Bfが、R中稠密でない場合の定理1.7-1を、R−BfがR中稠密な場合の系1.8に適用することは誤りである）
・それはあたかも、一致の定理の類似で言えば、解析函数でない対象に解析函数の定理をぶつけて矛盾を導くがごとし
・矛盾を導くにも、適用して良い定理と適用できない定理があるってことだ
（ここは、元の定理1.7の表現ままだと、稠密か否かが隠れ条件になっていて、分かり難くなっているんだね（＾＾； ）
以上 >>456
定理1.7を系1.8に適用する話をしているんだよな？
何度も言うが、系1.8の証明は今のままで完全に正しい。
わざわざ定理1.7-1, 定理1.7-2に分解する必要はない。
分解したときの「定理1.7-2」を系1.8に適用するのは正しい論法であり、
そのような方法でも系1.8の証明にはなるが、そんなことしなくても、
今のままで完全に正しい。 たとえば、>>431-435で書いた一致の定理で説明する。ご存知のとおり、
(☆)「正則関数 f：C→Cであって、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} を満たすものは存在しない」
わけだが、この(☆)は、一致の定理を適用することで証明できる。 たとえば、次のようにすればよい。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(☆)の証明
正則関数 f：C→Cであって、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} を満たすものが存在するとする。
このとき、C−C_f は第A類集合になるので、一致の定理が適用できて、fは恒等的に0である。
しかし、fの零点集合は {0}∪{i/n｜n∈N} なのだから、それ以外の点ではf(z)≠0であり、
fは恒等的に0ではない。よって、
「fは恒等的に0であり、fは恒等的に0ではない」
となるので、矛盾する。よって、このようなfは存在しない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
この証明は、定理1.7を系1.8に適用するのと(本質的に)同じやり方である。 比較のために、系1.8の証明(の簡略版)を掲載しておく。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
系1.8の証明
f：R→Rであって、有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるものが存在するとする。
このとき、R−B_f は第一類集合になるので、定理1.7が適用できて、fはある開区間でリプシッツ連続である。
しかし、fは有理数の点で不連続なのだから、リプシッツ連続な開区間は取れない。よって、
「fはリプシッツ連続な開区間が取れて、fはリプシッツ連続な開区間が取れない」
となるので、矛盾する。よって、このようなfは存在しない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
現状での系1.8の証明とは少し違う書き方になっているが、
やっていることは同じであり、>>461と対応するように書いてみた。
両者を見比べてみるとよい。 >>430
「一致の定理」（下記）ね。面白く興味深い説明だった（＾＾
「連結開領域 D ⊂ C で正則な複素関数 f(z)の零点集合が D で集積点を持てば、 f(z) は D で恒等的に 0 である」（下記一致の定理 より）
さてここで、背理法を考える
・「一致の定理の条件を満たすにもかかわらず、恒等的に 0 でないf(z) が存在するか？」
・>>446との関連で言えば
この場合、背理法で”一致の定理の条件を満たすにもかかわらず、恒等的に 0 でないf(z) が存在する”として、矛盾を導くことは可能だ
というよりも、この背理法の文と、一致の定理の定理の文を比較すれば、明らかに両立しない（矛盾している）ことが分る
・さらに、一致の定理の対偶は
「f(z) は D で恒等的に 0 でないならば、一致の定理の条件を満たさない」と書ける
この対偶と、背理法の例 ”一致の定理の条件を満たすにもかかわらず、恒等的に 0 でないf(z) ”もまた矛盾するのだった
・くどいが、
背理法における条件節「一致の定理の条件を満たす」から出発すれば、一致の定理に矛盾し
背理法における結論「恒等的に 0 でないf(z) 」から出発すれば、一致の定理の対偶に矛盾する
・なので、この「一致の定理」における背理法の場合は、>>456の下記とは別だね
定理1.7から系1.8を導くときに、
隠れ条件（稠密か否か）を見落として
間違った定理の適用をしてしまうこと（補集合が稠密なのに、リプシッツ連続な開区間が存在？）とは
全く話が違うね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%87%B4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
一致の定理(いっちのていり、英: Identity theorem)は、複素解析において、通常は可算点列上で局所的に一致する2つの正則関数が大域的に一致することを主張する定理である。重要な定理であり、解析接続の一意性の証明にはこの定理が必要となる。
つづく >>463
つづき
この定理には名は冠されていないが、1844年頃、リウヴィルが楕円関数に特殊な形で適用したのが最初であり、直後にコーシーが自分が開発した複素解析の中に取り入れて一般化したものである[1]。
定理
次の2つの形式があり、どちらも一致の定理と呼ばれている (内容的にはほとんど言い換えに過ぎない)。
(1) 連結開領域 D ⊂ C で正則な複素関数 f(z)の零点集合が D で集積点を持てば、 f(z) は D で恒等的に 0 である。
(2) 連結開領域 D ⊂ C で正則な複素関数 f(z),g(z) が、 D で集積点を持つ D の部分集合上で一致すれば領域 D 全体で一致する。
(引用終り)
以上 なんか、自分の背理法を守りたい一心だけは見えるけどね（＾＾；
http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/index.html
東京理科大学理学部第一部数学科 教授 安部直人
2013年07月10日 一部改
脱背理法教育、脱背理法依存教育
(抜粋)
(2) 背理法で証明できても、論理的な能力(構文論的)を持つことは判断できるが、証明の内容を数学的に理解している(意味論的)かの評価が困難である。
(3) 背理法の矛盾には任意性(例えば、「Abe=Obama」は現実に矛盾)があるので、本質的に異なるとんでもない証明が無数に可能である。
私は、背理法自体を否定しているのではなく、研究レベルでは強力な手法と認めるのですが、教育レベルの数学には不要である(むしろ有害)と思っています。
(引用終り) 古いが面白そうなので
これ５月の話だが、その後どうなった？（＾＾
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO30102260S8A500C1LX0000/?n_cid=SPTMG022
九大発、ビッグデータ解析を支援 院生がベンチャー設立 日経
育成教材を開発
スタートアップ
2018/5/2 21:17
九州大学は、ビッグデータなどの統計解析を支援するベンチャーを同大の大学院生らが設立すると発表した。分析の専門家「データサイエンティスト」の育成などを支援するため今秋から統計解析の学習教材を開発、将来は企業や他の研究機関向けの支援事業も検討しているという。
統計解析ソフトの開発を手がける社会情報サービス（東京・新宿）などから資金を調達し設立する。今年度は統計解析の啓発事業に注力し、同社と協力してデータ解析の書籍やインターネットでの学習教材などを開発。将来は企業向け講座や統計の専門家と企業のマッチングなども検討する。
ウェブの閲覧履歴や購買履歴といったビッグデータをビジネスに活用する動きが広がっており、データサイエンティストは今後、幅広い活躍が期待されている。社長に就く予定の同大大学院生の菊竹智恵氏は「米国や中国と比べて日本ではデータ分析の訓練を受けた人材が不足しており、支援のニーズは高い」とみる。
菊竹氏は昨年、九大の助成を受けて今回設立するベンチャーの前身となる相談室を学内に設置。学内の研究者などを対象に統計学の勉強会を実施したほか、統計解析を必要とする論文の執筆の支援にあたった。学外や一般企業のニーズも高いとみて起業に踏み切る。
https://www.nikkei.com/content/pic/20180502/96958A9F889DE1E2E3E2E0E0E4E2E2E0E2E7E0E2E3EA9E8AE2E2E2E2-DSXMZO3010224002052018LX0001-PN1-1.jpg
社長に就任予定の菊竹氏(右)は昨年、九大に相談室を設け、統計解析の相談に乗ってきた >>466
＞なんか、自分の背理法を守りたい一心だけは見えるけどね（＾＾；
正しい証明なのに「間違っている」とスレ主が難癖をつけているから、
こちらは反論を繰り返しているのである。守る・守らないという話ではない。 スレ主が>>463で何を言っているのか、こちらでまとめておこう。
まず、一致の定理(の簡易版)を再掲する。
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
この一致の定理により、
(★) C−C_fが第A類集合であって、かつ、fが恒等的に0でないような正則関数fは存在しない
という主張も正しいことが分かる。なぜなら、スレ主が書いている
＞背理法で”一致の定理の条件を満たすにもかかわらず、恒等的に 0 でないf(z) が存在する”として、矛盾を導くことは可能だ
＞というよりも、この背理法の文と、一致の定理の定理の文を比較すれば、明らかに両立しない（矛盾している）ことが分る
を実践すればいいからだ。まあ、ここは明らかだ。
従って、(★)が正しいことを前提に話を進める。
[続く] 次に、正則関数 f：C→C に対して、次の2つの条件を考える。
(i) 「C−C_fは第A類集合であり、fは恒等的に0ではない」
(ii)「C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} である」
(ii)を満たす正則関数は(i)を満たすので、(ii)は(i)の部分ケースである。同じことだが、
{ (ii)を満たす関数全体の集合 } ⊂ { (i)を満たす関数全体の集合 }
という包含関係が成り立つ。ここに異論はないな？
一方で、前述した>>469の(★)により、少なくとも(i)のケースは既に完全否定できている。
よって、その部分ケースである(ii)のケースも既に完全否定できている。
このことを俯瞰して眺めると、結局は一致の定理そのものしか使ってないのに(ii)が否定できたことになる。
言い換えれば、(ii)のケースを否定するのに一致の定理それ自身を使うことは正しい。
…スレ主が>>463で主張しているのは、こういうことである。 これと同じことが、定理1.7でも完全に通用する。
まず、定理1.7を再掲する。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7
f：R→Rとする。
もしR−B_fが第一類集合ならば、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
この定理1.7により、
(★) R−B_fが第一類集合であって、かつ、どの開区間の上でもリプシッツ連続でないような関数fは存在しない
という主張も正しいことが分かる。なぜなら、
・ 背理法で”定理1.7の条件を満たすにもかかわらず、どの開区間の上でもリプシッツ連続でないf(x)が存在する”として、
矛盾を導くことは可能だ。というよりも、この背理法の文と、定理1.7の文を比較すれば、明らかに両立しない（矛盾している）
を実践すればいいからだ。まあ、ここは明らかだ。
従って、(★)が正しいことを前提に話を進める。 次に、写像 f：R→R に対して、次の2つの条件を考える。
(i) 「R−B_fは第一類集合であり、fはどの開区間の上でもリプシッツ連続でない」
(ii)「fは有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能である」
(ii)を満たす関数は(i)を満たすので、(ii)は(i)の部分ケースである。同じことだが、
{ (ii)を満たす関数全体の集合 } ⊂ { (i)を満たす関数全体の集合 }
という包含関係が成り立つ。ここに異論はないな？
一方で、前述した>>471の(★)により、少なくとも(i)のケースは既に完全否定できている。
よって、その部分ケースである(ii)のケースも既に完全否定できている。
このことを俯瞰して眺めると、結局は定理1.7そのものしか使ってないのに(ii)が否定できたことになる。
言い換えれば、(ii)のケースを否定するのに定理1.7それ自身を使うことは正しい。
このように、一致の定理そのものを使うことを正当化するためのスレ主の論理は、
定理1.7そのものを使うことを正当化するのにも使えるのである。
わざわざ定理1.7を分解する必要はなく、定理1.7そのものを使うことで、
(ii)が存在しないことが導けているのである。 一応、直接的に返答しておく。
>>463
＞間違った定理の適用をしてしまうこと（補集合が稠密なのに、リプシッツ連続な開区間が存在？）とは
＞全く話が違うね（＾＾；
そこがスレ主の間違いである。>>461-462をよく比較せよと言ったはずだ。
>>462の証明で定理1.7を適用している部分を指さして
「補集合が稠密である(リプシッツ連続な開区間は取れない)のに、リプシッツ連続な開区間が存在するだと？
それじゃダメでしょう。定理1.7の適用の仕方を間違えてますよ。このケースでは定理1.7は適用できないよ」
と批判することは、>>461の証明で一致の定理を適用している部分を指さして
「C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}である(恒等的に0ではない)のに、fは恒等的に0だと？
それじゃダメでしょう。一致の定理の適用の仕方を間違えてますよ。このケースでは一致の定理は適用できないよ」
と批判することに完全に対応している。スレ主は間違っている。>>461-462をよく比較せよ。 >>463
＞定理1.7から系1.8を導くときに、
＞隠れ条件（稠密か否か）を見落として
そんな論法が通用するなら、一致の定理だって同じことが言える。C−C_fが第A類集合のとき、これはさらに
(a) C−C_fは第A類集合であり、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} ではない
(b) C−C_fは第A類集合であり、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} である
と分解できる。また、(b)のケースは
(b') C−C_fは第A類集合であり、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} である、という正則関数f(z)は存在しない
という定理に昇華できる。すると、スレ主に言わせれば、>>461の(☆)を導くときに
本当に使うべきなのは(b')であり、一致の定理そのものは(☆)に使ってはいけないことになる。
なぜなら、スレ主に言わせれば、一致の定理では C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} というケースについて
何も言及していないので、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} が成り立つか否かは一致の定理の
"隠れ条件" になっており、(☆)に対して一致の定理自身をそのまま使ってしまっては、
この "隠れ条件" とやらを見落としているので、それでは一致の定理が正しく
適用できていないことになるからだ。無理やり一致の定理自身をそのまま使ったら、
「C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}である(恒等的に0ではない)のに、fは恒等的に0だと？
それじゃダメでしょう。隠れ条件を見落としてますよ。一致の定理の適用の仕方を間違えてますよ。
このケースでは一致の定理そのものは適用できないよ。隠れ条件を考慮した(b')を使うのが正解だよ」
ということになる。…これがスレ主の言っていることだ。支離滅裂だろう？ >>469
私が言っていることは違うよ
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
これは、あくまで正則関数の範囲内であって、
正則関数以外の複素関数には適用できない
つまり
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理（間違い版）
f：C→Cは複素関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
と、書くようなことだ
つづく >>477
つづき
（>>471より）
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7
f：R→Rとする。
もしR−B_fが第一類集合ならば、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ここで、簡単のために、
（B_fはリプシッツ連続な集合であると解せられるから）＊）
・R−B_fをリプシッツ連続でない集合（リプシッツ連続な集合の補集合）
・第一類集合を、（イメージをクリアにするために）ベールの第一類集合
とすると
注＊）（>>456より）Bf ：={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } だった
これは、リプシッツ定数K（後述 ＊＊））で、K < +∞と解することができる（定理1.7の証明中でも同じ扱いだ）
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7（書き換え版）
f：R→Rとする。
もしリプシッツ連続でない集合がベールの第一類集合ならば、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ここで、ご存知の通り、ベールの第一類集合は、
・有理数QのようにR中で稠密な場合と、
・整数ZのようにR中で稠密でない場合
とに分けられる
R中で稠密な場合は、リプシッツ連続な開区間は取れない
だから、定理1.7は、R中で稠密でない場合に限定しなければならない
それは、あたかも一致の定理で、正則関数と記すべきところを、複素関数と記すがごとし
それは、間違った定理の書き方だろう
つづく >>478
つづき
注＊＊）（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を結ぶ直線の傾きの絶対値はその実数を超えない。この上界をその函数の「リプシッツ定数」（あるいは一様連続度（英語版））と呼ぶ。
写像 f: X → Y がリプシッツ連続（あるいは単にリプシッツ）であるとは、実定数 K ? 0 が存在して
d_Y(f(x_1),f(x_2)）<= K*d_X(x_1,x_2) ( for ∀ x_1,x_2 ∈ X)
を満たすときに言う。このような K, あるいはそのうち最小のものを、関数 f のリプシッツ定数と呼ぶ。
(引用終り)
(注：d_X(x_1,x_2) は、２点間の距離な。原文ご参照ください)
以上 >>478 補足
なお重ねて言っておくが
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理（間違い版）
f：C→Cは複素関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理（間違い版）を適用して、一般の複素関数で、矛盾を導いて、恒等的に0でない関数の存在を否定することは間違った論法だ
そもそも、定理の適用を間違っているということだ
例えば、床関数（下記ご参照）を考えてみよう
床関数は、f(x)=0 ( 0 =< x < 1) だ
簡単のために、z= x+iy(iは虚数単位)で、値はyには関係なくｘのみで決まるとして
f(z)=f(x)=0 (なお、床関数の他の[0,1)以外の整数区間も同様に、値はyには関係なくｘのみで決まるとする)
この関数は、区間[0,1)＊）で恒等的に0なので、この区間内に0になる集積点を持つ
が、一致の定理（間違い版）でその存在を否定することはできない。当然だろ？
（注：＊）正確には、「任意のｙでｘが区間[0,1)」の場合）
あるいは、別の例で、デルタ関数（下記）を考えてみよう
デルタ関数は、原点x=0以外では恒等的に0だ
しかし、原点x=0でこの関数の値を 0とすることはことはできない（それこそ恒等的に0の関数になってしまう）
では、デルタ関数は存在しないのか？
デルタ関数は、昔は関数として扱えなかったが、まずはシュワルツ超関数 δ として扱えるようになった
つまり、21世紀の現代数学では、デルタ関数は数学の対象として存在すると認められている
但し、通常の関数ではないということだ
なので、どの範囲の関数を考えているのかという大前提を間違って、適用範囲外の定理を適用すると、
当然矛盾が導かれ、その関数は存在しないという間違った結論になるということです
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8A%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A4%A9%E4%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0
床関数と天井関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
ディラックのデルタ関数 なんで{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }がリプシッツになるのかわかんねｗ
それと、上極限て「y→x」みたいな使い方できたっけ？ >>478 追加
１）（一致の定理）
＜可＞
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
＜不可＞
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理（間違い版）
f：C→Cは複素関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
２）上記（間違い版）は、これは証明の問題ではない
「証明読めば、（間違い版）でも、正則関数限定と分かるように書いてある」という釈明は、許されない
３）なぜならば、（間違い版）「f：C→Cは複素関数とする」では、結論の「fは恒等的に0 」は導けない
４）つまり、条件節は、数学的に結論を導けるようになっていなければ、いけない（あたりまえだが）
５）ベールの第一類集合は、a)R中稠密な場合と、b)そうでない場合に分けられ、
R中稠密な場合、その補集合の中には、開区間など取れないから
従って、R中稠密な条件の場合は、「fはある開区間の上でリプシッツ連続」となるとする定理の条件にはできない
（つまり、ベールの第一類集合だけでは、「fはある開区間の上でリプシッツ連続」は導けないということ
これあたかも、一致の定理において、正則関数以外の複素関数に広げては、定理が成り立たないがごとし）
６）で、もっと言えば、R中稠密な場合が隠れ条件になっているのが良くない
７）以前、”ぷふ”さんと名付けた人が、「背理法だから許されるのだ」みたいな発言をしていたが
（R中稠密が）”隠れ条件になっている”ってことが見えないから、議論がかみ合わなかったんだね（＾＾；
（”隠れ条件”が見えないから、一見それでいいように錯覚してしまうってことだね）
以上 >>483
>なんで{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }がリプシッツになるのかわかんねｗ
あなたには、レベルが低すぎるかもしれないが、下記 「高校生のための不動点定理」の
冒頭に、リプシッツ連続の定義と説明があるので、まずはそれを見てください
なお、私は、上記が「リプシッツになる」で良いと思っています
要は、上記定義は、リプシッツ定数ｋが有限だと主張しているのと同義だと思いますので
http://izumi-math.jp/F_Wada/F_Wada.html
和田文興
http://izumi-math.jp/F_Wada/fixpoint_theorem.pdf
高校生のための不動点定理
@Author Fumioki.Wada @Version 1.00;17.Mar.2014
(引用終わり)
>それと、上極限て「y→x」みたいな使い方できたっけ？
まあ、正確には知らないが、分かるので良いんじゃないかな
多少正規の用法からずれていても、記号の濫用の範囲だと
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E6%BF%AB%E7%94%A8
(抜粋)
数学において、記号の濫用（きごうのらんよう、英: abuse of notation, 仏: abus de notation）とは、形式的には正しくないが表記を簡単にしたり正しい直観を示唆するような表記を（間違いのもととなったり混乱を引き起こすようなことがなさそうなときに）用いることである。 >>485
まあ、”高校生のため”だが
リプシッツ連続も
不動点定理も
大学の範囲ですけどね >>487-488
スレ主のいい加減な発言だけを真に受けて「ばっかじゃん」とは心外だな。
まあ、スレ主ような人間の相手をしている俺は愚かかもしれんが。 >>483
こんばんわ。あなたが疑問に思っていることは、過去ログで何度も解説してある。
B_f＝{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
という集合の各点xは、「その点xのまわりでリプシッツ連続である」を 意 味 し な い 。
B_fの各点xは、fについてのかなり限定的な性質しか記述していない。
もし(a,b)⊂B_fを満たす開区間(a,b)が存在するとしても、(a,b)のある部分区間の上で
fがリプシッツ連続と言えるかどうかは、少なくともこの定義だけからは自明に従うものではない。
実際には、(a,b)⊂B_fを満たす開区間(a,b)が存在するなら、(a,b)のある部分区間の上で
fはリプシッツ連続になるのだが、それは自明ではなく、ベールのカテゴリ定理が必要であり、
定理1.7の証明と全く同じことをしなければならない。 >>483
そして、定理1.7で言っていることは、
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
R−B_f＝{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜＝+∞ }
が第一類集合なら、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ということ。つまり、lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜＝＋∞
となる点xの集合がベールの意味で「小さい」なら、
fはある開区間の上でリプシッツ連続だということ。
つまり、定理1.7は全く自明でない主張をしている。
その自明でない主張を引き出すためのタネがベールのカテゴリ定理。
このこと自体も過去ログで何度も指摘してある。 >>483
＞それと、上極限て「y→x」みたいな使い方できたっけ？
できる。一般に、g：R→R と x∈R に対して
limsup[y→x]g(y)：＝ inf[δ＞0] sup[0＜｜y−x｜＜δ] g(y)
と厳密に定義される。これは俺が独自に定義したものではなくて、正式な定義である。
ttps://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
の Functions from metric spaces to metric spaces の項目にも同じ定義がある。
ただし、こちらはより一般に距離空間での定義となっている。これをRのケースで考えると
limsup[y→x]g(y)：＝ inf[δ＞0] sup[0＜｜y−x｜＜δ] g(y)
が得られる。なので、これは正式な定義である。定理1.7について議論するときも、
俺はいつだってこの定義のもとで議論している(スレ主はどうやら違うようだが)。 >>485
＞なお、私は、上記が「リプシッツになる」で良いと思っています
＞要は、上記定義は、リプシッツ定数ｋが有限だと主張しているのと同義だと思いますので
スレ主よ、その解釈は間違っていると過去ログで何度も指摘しただろう？
B_fの各点xは「その点xの近傍でリプシッツ連続である」を意味しないし、
リプシッツ定数Kが有限であることも意味しない。全く同義ではない。
ある開区間(a,b)の上でfのリプシッツ定数がKであるとは、
任意のx,y∈(a,b)に対して｜f(y)−f(x)｜≦ K｜y−x｜ が成り立つときを言うのだ。
つまり、xとyの両方が自由に動いたときに常に一定のK以下で抑えられなければ
「リプシッツ定数」とは呼べないのだ。一方で、B_fの各点xは、xを固定してyだけを
動かしたときの "K" に相当する別の量を測っているに過ぎないので、
x∈B_fであっても、xの近傍でリプシッツ定数が有限値になるとは言えない。
実際に、x∈B_fが成り立つにも関わらず、xの近傍でリプシッツ定数が有限値にならない具体例を
過去ログで何度も提示してある。(x^{3/2}sin(1/x)が云々みたいな例だったはず) つまり、スレ主のこの間違え方は、今回が初めてではない。
というか、これと寸分違わず全く同じ間違え方を、スレ主は過去ログでやらかしている。
なぜ今さら、過去ログと同じ間違いを繰り返すんだ？
なぜ今さら、B_fの解釈を間違えるんだ？もう1年も経ってるんだぞ？
忘れたとは言わせないぞ？
これと寸分違わず全く同じ話題は、過去ログで指摘済みなんだぞ？
そして、B_fの解釈が間違っているということは、そもそも定理1.7が何を言っているのか、
スレ主は正確に理解してないということである。よって、スレ主は定理1.7周辺の話題について、
これは正しいとかあれは間違いとか、そういう発言すらできないことになる
(無理に発言したところで、"何も言ってないのと同じ" である)。
さすがにこれは、あいた口が塞がらない。これは本当に話にならない。「今さら」ですよ今さら。 だいたい、B_fの各点が「リプシッツ」を意味するのなら、B_fが空集合でない場合、
x∈B_fを1つ取った時点で話は終わっており、そのxの近傍でfは自明にリプシッツ連続だろ。つまり、
「B_fが空でないなら、fはある開区間の上でリプシッツ連続」
だろ。すると、R−B_fが第一類集合ならB_fは空ではないのだから、
定理1.7はわざわざ定理にする必要すらなく、自明な定理になってしまうだろ。
しかし、B_fはそのような意味を持っていない。
B_fの各点xは「その点xの近傍でリプシッツ連続である」を意味しないし、
リプシッツ定数Kが有限であることも意味しない。
定理1.7も全く自明ではないし、そもそも (a,b)⊂B_f となる開区間があったとしても、
(a,b)のある部分区間の上でfがリプシッツ連続になることは自明ではなく、
定理1.7と同じ証明(ベールのカテゴリ定理による証明)が必要になる。
このこと自体も過去ログで何度も指摘済みである。
しかし、スレ主はこの期に及んで未だに過去ログと寸分違わず全く同じ間違いを繰り返している。 前々からスレ主のレベルの低さには辟易していたが、過去ログで念入りに指摘していた間違いと
寸分違わず全く同じ間違いを未だに繰り返すというスレ主の今回の大失態には呆れ返るしかない。
しかも、間違えた箇所が「どうでもいいケアレスミス」なのではなく、
定理1.7を理解する上での根幹をなす、最も基本的な部分での間違い(B_fに関する間違い)
というのが非常にいただけない。
この部分は、今さら間違えてはいけないのだ。これでは話にならない。もう1年も経ってるんだぞ？
この体たらくでは、スレ主が何を発言しても、それは「何も言ってないのと同じ」だ。
もはや便所の落書きですらない。「落書きすらしていない」のと変わらん。 上の方で「心身機能の加齢性変化」という話があったが、
スレ主の現状は、もうそんなレベルではない。
俺は今まで一体「だれ」を相手にしていたのだ？
オブラートに包んで言えば、俺が今までやっていた行為は、
「毎日毎日、丁寧にたくさんの長文を、部屋の壁に向かって独りで呟いていた」
という行為と "全く変わらない" ということだ。悲しいね。俺には虚無感しか残らん。 あまりにバカバカしいのでもうやめるが、一応レスしておく。
レスはするが、もう返答しなくていいぞ。俺からも、もう返答はしない。
書きたいことを全て書いたら終わりにする。
>>477
＞これは、あくまで正則関数の範囲内であって、
＞正則関数以外の複素関数には適用できない
何を批判したつもりになっているのだ？
俺は正則関数以外の複素関数に一致の定理を使ったことはないし、
そう勘違いされる書き方もしていないはずだ。俺が一致の定理について言及しているときには、
俺は必ず「正則関数」と書いている。たとえば、>>436-437を読み返してみろ。
事あるごとに必ず「正則関数」と明記してあるじゃないか。
話にならん。 >>484
＞５）ベールの第一類集合は、a)R中稠密な場合と、b)そうでない場合に分けられ、
＞ R中稠密な場合、その補集合の中には、開区間など取れないから
＞ 従って、R中稠密な条件の場合は、「fはある開区間の上でリプシッツ連続」となるとする定理の条件にはできない
＞（つまり、ベールの第一類集合だけでは、「fはある開区間の上でリプシッツ連続」は導けないということ
的外れ。同じ屁理屈が一致の定理にも適用できてしまう。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：C→C は正則関数とする。C−C_f という集合について考える。このとき、
(5)C−C_fが第A類集合ならば、(a)C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}である場合と、(b)そうでない場合
の2つに分けられ、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} の場合、fは恒等的に0になりえないから、
従って、「fが正則関数でC−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}」の場合は、「fは恒等的にゼロ」となるとする定理の条件にはできない
(つまり、"fが正則関数かつC−C_fが第A類集合" という条件だけでは、「fは恒等的に0」は導けないということ)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― >>499で何が言いたいかというと、要するにスレ主は一致の定理を否定しているということだ。
また、よく見ると、>>499の論法は>>436-437で指摘したインチキ論法と全く同じである。
スレ主は、>>436-437のインチキ論法が間違っていることを既に認めている(>>446)のだが、
それにも関わらず、スレ主は今回、全く同じインチキ論法を持ち出して、
定理1.7に対して的外れな批判を繰り返しているのである。
これは明らかに、スレ主の思考の「クセ」である。
スレ主の頭の中には非論理的な思考回路が出来上がっていて、
スレ主の意思とは無関係に、反射的にその回路が優先してしまって、
既に論破された同じ間違いをついつい繰り返してしまうというわけだ。 これ以上連続で書き続けても、たぶん連投規制になっちゃうので、一旦打ち切る。
数時間経って21時か22時頃になったら、最後のレスを書く。
その間にスレ主からレスがあるかもしれないが、俺はそれらのレスは無視する。
こちらで書きたいことだけを書いて、それで終わりにする。あしからず。 最後のレス。…と言いたいところだが、書きたい話が2つになったので、まずは1つ。
スレ主は結局、定理1.7を正しいと認めたのか否かを明言していない。
もし定理1.7を正しいと認たのならそれでいいが、もしかしたら、
定理1.7それ自身はあくまでも正しくないと思っていて、しかし
(1) R−B_fが第一類集合であり、R−B_fがR中稠密でないなら、f はある開区間の上でリプシッツ連続である
(2) R−B_fが第一類集合であり、R−B_fがR中稠密ならば、そのようなfは存在しない
と2つに分解すれば、この(1),(2)なら正しいと思っている可能性がある。そこで、
「(1),(2)が正しいなら定理1.7それ自身も正しい」
ということを、以下で説明する(過去ログでぷふさんが似たようなこと言ってた気もするが)。 f：R→R に対して、命題 A(f), S(f), B(f) を次のように定義する。
A(f)「R−B_fは第一類集合である」
S(f)「R−B_fはR中稠密である」
B(f)「fはある開区間の上でリプシッツ連続である」
すると、>>502の(1)と(2)は次のように書ける。
(1) ∀f：R→R s.t. A(f)∧¬S(f) → B(f)
(2) ∀f：R→R s.t. ¬(A(f)∧S(f))
いちいち "(f)" があると読みにくいので、これを省略すれば、次のように書ける。
(1) ∀f：R→R s.t. A∧¬S → B
(2) ∀f：R→R s.t. ¬(A∧S)
この表現が実際に>>502の(1)と(2)を正しく表現できていることを、きちんと確認されたし。 では、(1)と(2)を変形していく。
命題の変形は "＝" ではなく "≡" という記号でやるべきだが、以下では "＝" を使う(まあいいでしょ)
まず、一般に (P→Q) ＝ ¬P∨Q と変形できるので、(1)の中身は次のように変形できる。
(A∧¬S → B) ＝ ¬(A∧¬S)∨B ＝ ¬A∨S∨B
よって、(1)は次のようになる。
(1) ∀f：R→R s.t. ¬A∨S∨B
今度は(2)を変形しよう。¬(A∧S) ＝ ¬A∨¬S なので、(2)は次のようになる。
(2) ∀f：R→R s.t. ¬A∨¬S よって、(1),(2)は次のようになる。
(1) ∀f：R→R s.t. ¬A∨S∨B
(2) ∀f：R→R s.t. ¬A∨¬S
一般に、
∀f：R→R s.t. P(f)
∀f：R→R s.t. Q(f)
という2つの命題が両方とも正しいなら、
∀f：R→R s.t. P(f)∧Q(f)
という命題も正しいので、(1),(2)が正しいなら
(3) ∀f：R→R s.t. (¬A∨S∨B) ∧ (¬A∨¬S)
は正しいということになる。 では、(3)の中身を変形していこう。つまり、
(¬A∨S∨B) ∧ (¬A∨¬S)
を変形していこう。一般に (P∨Q)∧(P∨R) ＝ P∨(Q∧R) (ただの分配法則)なので、
Pを¬Aと見立てて、QをS∨Bと見立てて、Rを¬Sと見立てれば、
(¬A∨S∨B) ∧ (¬A∨¬S) ＝ ¬A ∨ ( (S∨B)∧¬S )
と変形できる。(S∨B)∧¬S ＝ (S∧¬S)∨(B∧¬S) ＝ 偽∨(B∧¬S) ＝ (B∧¬S) なので、
¬A ∨ ( (S∨B)∧¬S ) ＝ ¬A ∨ (B∧¬S)
となる。さらに
¬A ∨ (B∧¬S) ＝ (¬A∨B)∧(¬A∨¬S)
と変形できる。よって、(3)は次のようになる。
(3) ∀f：R→R s.t. (¬A∨B)∧(¬A∨¬S) 一般に、
∀f：R→R s.t. P(f)∧Q(f)
が真なら
∀f：R→R s.t. P(f)
∀f：R→R s.t. Q(f)
は両方とも真である。これを
(3) ∀f：R→R s.t. (¬A∨B)∧(¬A∨¬S)
に適用すれば、
∀f：R→R s.t. ¬A∨B
∀f：R→R s.t. ¬A∨¬S
は両方とも真である。ここでは
∀f：R→R s.t. ¬A∨B
の方だけに興味がある。 >>507で得られた
∀f：R→R s.t. ¬A∨B
について。一般に (P→Q) ＝ ¬P∨Q であるから、
¬A∨B ＝ A→B
と変形できる。よって、
∀f：R→R s.t. A→B
が得られて、これは正しい命題ということになる。よく見ると、この命題は定理1.7それ自身である。
よって、(1),(2)が正しいなら、定理1.7それ自身も正しい。 補足しておくと、>>503で定義した具体的なA,B,Sに限らず、
・ ∀f：R→R s.t. A∧¬S → B
・ ∀f：R→R s.t. ¬(A∧S)
の2つが両方とも正しくなっているような任意の一般的なA,B,Sに対して、
機械的に>>504-508の変形を行うことで、
∀f：R→R s.t. A→B
が必ず導出できる。言い換えれば、このような一般的な枠組みの中で
統一的に従う事実のみを、>>504-508では使っていることになる。 つまり、一般的な枠組みの中で統一的に従う事実のみを用いて
「(1),(2)が正しいなら定理1.7も正しい」
という事実を引き出しているので、スレ主はこの事実には反論できない。
だから、仮に定理1.7を認めたくないなら、(1)と(2)のうち少なくとも片方は
「マチガッテイル」として放棄しなければならない。もし放棄するとしたら(2)だろうが、
(2)専用の証明が作れることは>>382,>>453で既に指摘してあるので、(2)は正しく、
スレ主は(2)を放棄できない。また、(1)はスレ主の目には自明に映っているようなので、
スレ主は(1)も放棄できない(実際には、(1)も自明でないことを過去ログで何度も指摘したが)。
つまり、スレ主は(1),(2)を両方とも放棄できないので、
スレ主は定理1.7それ自身もまた認めざるを得ない。
(まあ最初から定理1.7を認めているなら構わんが。) 次が本当に最後の話になるが、今書いても
たぶん連投規制になるので、また数時間後に書く。 人から指摘されて気付くのが普通のバカ
スレ主は救い様の無いバカ スレ主の>>436-437,>>499-500のインチキ論法は、
今後も炸裂すると思われるので、ここでもう一回まとめておく。
AAを使ったが、ずれないか心配である。 一致の定理
┌─────────┐ ┌─────────┐
│f：C→Cは正則関数 ├＆┤C−C_fは第A類集合│→ fは恒等的に0
└─────────┘ └─────────┘
スレ主のインチキ論法
┌─────────┐ ┌─────────┐
│f：C→Cは正則関数 ├＆┤C−C_fは第A類集合│
└─────────┘ └─┬─────┬─┘
or or
│ ┌───┴───┐
│ │それ以外の場合│→ fは恒等的に0と主張したいが…
│ └───────┘
┌────────────┴───┐
│C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}の場合 │→ fは恒等的に0ではない(★)
└────────────────┘
(★)がある時点で、「fは恒等的に0」という結論は導けない。
つまり、「f：C→Cは正則関数＆C−C_fは第A類集合」という条件だけでは、
「fは恒等的に0」は導けない。つまり、一致の定理は間違っている！ or の位置がずれちゃったね。もう一回だけやってみるか。 一致の定理
┌─────────┐ ┌─────────┐
│f：C→Cは正則関数 ├＆┤C−C_fは第A類集合│→ fは恒等的に0
└─────────┘ └─────────┘
スレ主のインチキ論法
┌─────────┐ ┌─────────┐
│f：C→Cは正則関数 ├＆┤C−C_fは第A類集合│
└─────────┘ └─┬─────┬─┘
or or
│ ┌───┴───┐
│ │それ以外の場合│→ fは恒等的に0と主張したいが…
│ └───────┘
┌────────────┴───┐
│C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}の場合 │→ fは恒等的に0ではない(★)
└────────────────┘
(★)がある時点で、「fは恒等的に0」という結論は導けない。
つまり、「f：C→Cは正則関数＆C−C_fは第A類集合」という条件だけでは、
「fは恒等的に0」は導けない。つまり、一致の定理は間違っている！ 右側の or が左にずれちゃったけど、まあこんなもんかな。 では、最後のレスを書く。
定理1.7を分解しなくても系1.8が導ける理由を説明する。
>>469-472とほとんど同じ内容だが、悪しからず。 比較のために、まずは一致の定理から始める。
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もし C−C_f が第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
―――――――――――――――――――――――――― ここでは、
「正則関数 f：C→C であって、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} を満たすものは存在しない」
という事実を、一致の定理を分解することなく、一致の定理そのものを使うことで証明したい。
スレ主のために「正則関数」という言葉を明示すれば、これは次の手順で証明できる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
正則関数 f：C→C に対する、次の2つの条件を考える。
(i) 「f：C→C は正則関数であり、C−C_fは第A類集合であり、fは恒等的に0ではない」
(ii)「f：C→C は正則関数であり、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} である」
(ii)を満たす正則関数は(i)を満たすことが分かるので、(ii)は(i)の部分ケースである。
同じことだが、{ (ii)を満たす正則関数全体 } ⊂ { (i)を満たす正則関数全体 }
が成り立つ。そして、
・ 一致の定理により、少なくとも(i)を満たす正則関数は存在しない(ここは明らか)。
・ (ii)は(i)の部分ケースなので、(ii)を満たす正則関数も存在しない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――― 言い換えれば、次のようになる。
・ 一致の定理により、少なくとも(i)を満たす正則関数は存在しない(ここは明らか)。
・ (ii)が(i)の部分ケースであることは、我 々 が 直 接 的 に 確 か め て あ る 。
・ よって、(ii)を満たす正則関数も存在しないという結論が得られる。
・ つまり、「一致の定理による(i)の否定」＆「我々が直接的に確かめた(ii)⊂(i)」
という二段階の論法によって、(ii)のケースが存在しないという結論が得られる。
つまり、一致の定理には(i)のケースのみを任せていて、(ii)と(i)の繋がりは我々が担保していて、
我々が自分達の力で「(ii)⊂(i)」を確かめていて、この組み合わせによって、
一致の定理を分解せずに、現状の一致の定理そのものだけで話が終わる、という構造である。 次は、定理1.7で同じことをする。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7
f：R→R は写像とする。
もし R−B_f が第一類集合なら、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――― ここでは、
「写像 f：R→R であって、有理数で不連続、無理数で微分可能であるものは存在しない」
という事実を、定理1.7を分解することなく、定理1.7そのものを使うことで証明したい。
>>520と同じ書き方でコピペすると、これは次の手順で証明できる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
写像 f：R→R に対する、次の2つの条件を考える。
(i) 「f：R→R は写像であり、R−R_fは第一類集合であり、fはどの開区間の上でもリプシッツ連続でない」
(ii)「f：R→R は写像であり、fは有理数で不連続、無理数で微分可能である」
(ii)を満たす写像は(i)を満たすことが分かるので、(ii)は(i)の部分ケースである。
同じことだが、{ (ii)を満たす写像全体 } ⊂ { (i)を満たす写像全体 }
が成り立つ。そして、
・ 定理1.7により、少なくとも(i)を満たす写像は存在しない(ここは明らか)。
・ (ii)は(i)の部分ケースなので、(ii)を満たす写像も存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 言い換えれば、次のようになる。
・ 定理1.7により、(i)を満たす写像は存在しない(ここは明らか)。
・ (ii)が(i)の部分ケースであることは、我 々 が 直 接 的 に 確 か め て あ る 。
・ よって、(ii)を満たす写像も存在しないという結論が得られる。
・ つまり、「定理1.7による(i)の否定」＆「我々が直接的に確かめた(ii)⊂(i)」
という二段階の論法によって、(ii)を満たす写像は存在しないという結論が得られる。 このように、定理1.7を分解することなく、定理1.7のままで(ii)が否定できている。
そのタネ明かしは、>>521でも触れたように、
「我々が直接的に確かめた(ii)⊂(i)」
という事実が原因である(スレ主はこの事実をずっと見落としている)。つまり、
・ 我々が自分達の力で手に入れた「(ii)⊂(i)」という事実と、
・「定理1.7による(i)の否定」を組み合わせることで、
・ 定理1.7を分解せずそのままにしながら(ii)が否定できる
のである。言われてみれば当たり前の話だろう？
そして、系1.8の現状の証明も、これと本質的に全く同じことをしているのである。
だから、系1.8の証明はこのままで正しいし、定理1.7を分解する必要もないのである。
つまり、スレ主の批判はどこまで行ってもずっと的外れなのである。 別の言い方をすれば、スレ主は本質的には次のような批判をしていたにすぎない。
・ 我々が(ii)⊂(i)の確認作業を放棄して、この確認作業すら定理1.7に押し付けるのであれば、
現状の定理1.7そのものでは(ii)を否定できない。
しかし、これが何の批判にもなってないことは明らかである。
なぜなら、系1.8の証明の中では、(ii)⊂(i)を "確認している" からだ。
そのような "確認している" 証明に対して、
「我々が(ii)⊂(i)の確認作業を放棄して、〜〜」
という批判の仕方をしてみても、最初から前提が噛み合ってないので批判にならない。 これで終わり。
以上の説明は、おそらくスレ主にはきちんと伝わらない。
スレ主は未だに思考の迷路に嵌っており、
>>436-437や>>499-500や>>516といったインチキ論法から
抜け出せていないはずである。
よって、相変わらず、このインチキ論法によって
的外れな反論を繰り返すことだろう。
しかし、もうどうでもいい。
>>493-496で書いたように、スレ主の現状は「心身機能の加齢性変化」というレベルを
遥かに凌駕している。今さら>>493-496のような有様では話にならない。
この体たらくでは、スレ主が何を発言しても、それは「何も言ってないのと同じ」である。
もはや便所の落書きですらない。「落書きすらしていない」のと変わらない。
言い換えれば、このスレに「スレ主」などという人物の書き込みは1つもなくて、
俺が一人で延々と呟いていたのと変わらない。バカバカしい。だからこれで終わり。 >>527
お疲れ様でした
このスレ主を相手にしてもどうにもならないということが分かったのは収穫 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
