定理1.7の証明の中に、この証明をコピペして修正すれば、次のようになる。
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[定理1.7の証明の一部分]
すると,

R ⊂ (∪_{N,M}B_{N,M})∪(∪_iA_i)

の右辺は可算無限個の閉集合の和ということになる。ここで、

(1) どのR−B_{N,M}とR−A_iもRの中で稠密
(2) それ以外

で場合分けする。
(1)の場合は、〜〜(省略)〜〜よって矛盾する。
よって、(1)のケースは発生しないので、(2)が成り立つしかない。
よって、あるB_{N,M}は開区間を含むか、あるA_iは開区間を含むかの
いずれかである。A_iは開区間を含まないのだったから、
あるB_{N,M}が開区間を含むことになる。
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これで完成。稠密かどうかの場合分けが明示的に出現していることが分かるだろう。