>>151 つづき

上記の安部直人先生の証明は、下記の素因数分解を用いた証明と本質的には同じ
で、証明のキーになる式があるよね

上記では、「aa≠2bb」（これから直ちに”aa と 2bb ”対比ができる）
下記では、「a^2=2b^2」という式

で、肝は、証明のキーになる式が、安倍先生では天下り（どうやってこの式を思いつくのかが不明）
一方、下記は背理法で、「√2 が有理数 ←→√2=a/b を満たす整数 a,b が存在する」から自然に「a^2=2b^2」という式が出るんだ

https://mathtrain.jp/sqrt2irrational
高校数学の美しい物語
ルート２が無理数であることの４通りの証明 最終更新:2015/11/05
(抜粋)
素因数分解を用いた証明
先ほどの証明とかなり似ていますが素因数分解を用います。

証明
√2 が有理数 ←→√2=a/b を満たす整数 a,b が存在する
なので，
a^2=2b^2 を満たす整数 a,b が存在しないことを証明すればよい。
a,b を素因数分解したときの 2 の指数（2 で何回割り切れるか）を考えることで，
左辺は 2 で偶数回，右辺は 2 で奇数回割り切れることになる。つまりそのような整数 a,b は存在しない。

厳密には最後の部分で素因数分解の一意性を使っています。→素因数分解の一意性とその証明について https://mathtrain.jp/primeunique
(引用終り)