>>568
θ=2nπ/7 (nは7と素)　ゆえ
sinθ, sin(2θ), sin(4θ) は
　s^3 - {(√7)/2}s^2 + (√7)/8 = 0,
の根である。
　sinθ･sin(2θ)･sin(4θ) = -(√7)/8,
　sin(8θ) = sinθ,
よって
cosθ/cos(2θ) = sin(2θ)^2 /{sinθ･sin(4θ)}
　= sin(2θ)^3 /{sinθ･sin(2θ)･sin(4θ)}
　　　= -(8/√7) sin(2θ)^3,
から α/β, β/γ,　γ/α が出る。
それを使えば
　α/β + β/γ + γ/α = - {2/７^(1/6)} {sinθ + sin(2θ) + sin(4θ)}
　　　= -７^(1/3) = -1.91293118
　β/α+γ/β+α/γ = (4/７^(1/3)){sinθ･sin(2θ)+sin(2θ)sin(4θ)+sin(4θ)sinθ}
　　　= 0,