2020年２月号　講評？

■出題１

垂足チェヴァ点Pの軌跡Γの問題。
チェヴァの定理より
　Pが垂足チェヴァ点　⇔　f(P)=1
ここに　
　f(P) = (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB),
ただし3点 D,E,F は問題文のように定める。

〔補題〕
　P(≠O) が垂足チェヴァ点ならば、外心Oに関してPと対称な点P~も垂足チェヴァ点である。

これが出ればあとはやさしい。

・問1
問題文から、△ABCの垂心Hは垂足チェヴァ点である。(証明略)
外心Oに関して垂心Hと対称な点はオイラー線上にあるが、これは補題により垂足チェヴァ点である。
(ド・ロンシャン点と云うらしい)

・問2
　各点の座標を A(0,2mc) B(-3c,-mc) C(3c,-mc) P(X,Y) などと置き、f(P)=1 をひたすら計算する････

(補題の略証)
　まず △ABCの外心をOとすると、OA=OB=OC
　ΔOBC, ΔOCA, ΔOAB は2等辺三角形。
　外心Oから辺BCに引いた垂線の足Lは、辺BCの中点。
　次に P,O,P~ から直線BCに引いた垂線の足をD,L,D~ とする。
　中点連結定理から、DD~ の中点も L
　BD=D~C, BD~=DC
　(BD/DC)(BD~/D~C) = 1,
他の二辺についても同様だから掛け合わせて
　f(P)f(P~) = 1,
　f(P)=1　⇔　f(P~)=1　　　(終)