>>466
{x(n,0) | nは整数} の要素は有限個だから、最大値M と 最小値mが存在する。
　0 < m ≦ x(n,0) ≦ M

〔補題1〕
　m ≦ x(n,t) ≦ M,
(略証)
　x(n,t+1) ≧ m は x(n,t) の定義から tについての帰納法で。
　x(n,t+1) ≦ x(n,t) ≦ ････ ≦ x(n,0) ≦ M,

〔補題2〕
　x(n,t) > x(n,t+1)　⇒　x(n,t+1) ≧ m(t+2),

(略証)
tについての帰納法による
まづ定義式と題意から
　x(n,t) > x(n,t+1) = x(n+1,t) + x(n+2,t)　････(*)
t=0 のときは
　x(n,1) = x(n+1,0) + x(n+2,0) ≧ 2m,
t>0 のとき
　x(n+1,t-1) + x(n+2,t-1) ≧ x(n,t) と (*) から
∴　x(n+1,t-1) > x(n+1,t) と x(n+2,t-1) > x(n+2,t)
の少なくとも一方は成り立つ。
帰納法の仮定により
　x(n+1,t) ≧ m(t+1)　または　x(n+2,t) ≧ m(t+1),
∴　x(n,t+1) = x(n+1,t) + x(n+2,t) ≧ m(t+1) + m = m(t+2),

特に t ≧ [ M/m -1] = T　⇒　x(n,t) = x(n,t+1)