2019年5月号

■出題１

題意を満たす任意のn次多項式を P(x) とする。
ロルの定理より、P '(x)、P "(x) も題意を満たす。
{P(x)の0でない係数の個数} = {P "(x)の0でない係数の個数} + δ(xの係数) + δ(定数項)
ここで (xの係数) = (定数項) = 0 と仮定すると P(x) = 0 が重根０をもち、題意と矛盾。
∴少なくとも一方は0でない。
{P(x)の0でない係数の個数} ≧ {P "(x)の0でない係数の個数} + 1 ≧ c_(n-2) + 1,
c_n は、題意を満たすn次多項式に対する、0でない係数の個数の最小値。(1≦c_n≦n+1)
P(x)は任意だったから c_n ≧ c_(n-2) +1,
これと c_1 = 1, c_2 = 2 から c_n ≧ [n/2] +1,
あとは、等号が成立する具体例を示せばよい。


（多項式が微分可能であることは明らかと思われる）