2019年5月号

■出題２

　I(f) は Σ上での平均であり (4π) のベキが出てきて面倒である。
　そこで単位球上での平均 I~(f) をガウス積分を使って計算すれば
　I~(x^h y^k z^L) = (h-1)!!(k-1)!!(L-1)!!/(h+k+L+1)!!　　(h,k,L とも偶数か0のとき)
　h,k,L のいずれかが奇数のときは 0 である。（消滅則とよぶ。)
　立方体S~の稜の向きをx,y,z軸にとれば、頂点は（±1/√3, ±1/√3, ±1/√3)
　正八面体T~の体対角線をx,y,z軸とすれば、頂点は（±1,0,0) (0,±1,0) (0,0,±1)
　これらの配置はxy平面、yz平面、zx平面 について面対称だから消滅則が成り立つ：
　　S~(x^h y^k z^L) = T~(x^h y^k z^L) = 0　　　　(h,k,Lのいずれかが奇数のとき)
　よって h,k,L とも偶数または0のものを考えればよい。
・問1
　多項式f が3次以下ならば 1, xx, yy, zz に限る。
　I~(1) = S~(1) = T~(1) = 1,
　I~(xx) = S~(xx) = T~(xx) = 1/3,
・問2
　上記の配置では、S~の頂点と T~の頂点が斥け合う形で、都合がよい。
　多項式fが5次以下ならば上記のほかに x^4, xxyy, … がある。
　I~(x^4) = 1/5,　　S~(x^4) = 1/9,　　T~(x^4) = 1/3,
　I~(xxyy) = 1/15,　　S~(xxyy) = 1/9,　　T~(xxyy) = 0,
　∴　I~(f) = (3/5)S~(f) + (2/5)T~(f),
　∴λ = 3/5,
・問3
　正12面体と正20面体の配置を次のようにとる。
　消滅則が成立つように xy平面、yz平面、zx平面 について面対称とする。U~の頂点とV~の頂点は斥け合う。
　正12面体U~の頂点は、3つの平面上の長方形 (φ^2：1) の頂点(12点)、および立方体S~の頂点(8点)。
　正20面体V~の頂点は、3つの平面上の長方形（1：φ) の頂点(12点)。
　多項式fが5次以下の場合は上記と同様に計算して　I~(f) = U~(f) = V~(f),
　多項式fが9次以下の場合を計算することにより　 I~(f) = (9/14)U~(f) + (5/14)V~(f),
　∴λ ＝ 9/14.