ああ、詳細に書いてくれてたのね
ありがとう

>聞きたいこと！
>・前者の定義ではその定理をどうやって証明しているのか？

これは
点列にx_n≠aという条件を入れるだけ、証明は同様


>・どちらの定義が優れているか？

x=aを含める方式
メリット
含めない場合を包含できるため理論としては使える場面が増える

デメリット
標準からずれるため学ぶ人は後々大変かもね
微分の定義とかaで定義されてない関数を考えるのにいちいちh≠aとか書かなくてはいけない


x=aを含めない方式
メリット
aでの定義を気にせず使える
いちいちx≠aなど書かなくて済む


デメリット
x=aを含めて等式や不等式の極限を考えたいときは分けて考える必要あり
点列式などの言い換えでx_n≠aなどの条件をつけなくてはいけない（そこまでデメリットとは感じないが）




備考
デメリットでまとめて極限を取りたい場合は分ける必要ありと述べたが、等式や不等式で極限を飛ばす際はそもそも元となる式にx=aの場合が入っているのでまとめて極限を飛ばす必要がある場面、というのが実用上想像できない
ちなみに解析系の理論や研究ではhが分母にあってlim_｛h→0｝なんて死ぬほど使う
微分だけじゃなくて近似でちょっとだけずらして極限飛ばすとか考えることが多いので0とかは入ってないほうが有り難い

いちいちh ≠0やλ≠0なんて書いてたらロスが大きい

あと個人的な感覚で言えば、"極限"というものはあくまで近づけた先の話なので、
極限での定義域は入っていないほうが自然
x=aを含めるというのはどちらかというと連続性を表しているような気がして言葉のイメージとずれる

他にも思いついたら書いてく