ところで、この本でも、

lim_{x → a} f(x) が存在する

という記述があるのですが、この定義が書かれていません。

lim_{x → a} f(x) = b の定義は書いてあります。

ですので、 lim_{x → a} f(x) 単独で意味のある記号と考えることはできません。

推測するに

lim_{x → a} f(x) = b

のとき、

b のことを lim_{x → a} f(x) であらわすのだとは思います。

「
D ⊂ R^n、 f ： D → R^m とする。 a ∈ D に対し、極限

lim_{x → a} f(x) = f(a)

が存在するとき、 f は a で連続であるという。
」

これは変なので、


D ⊂ R^n、 f ： D → R^m とする。 a ∈ D に対し、

lim_{x → a} f(x) = b

となるような b ∈ R^m

が存在するとき、 f は a で連続であるという。

と書くべきです。

杉浦光夫著『解析入門I』第I章§6極限と連続

はダメダメですね。

余計で自明な命題を並べ立てすぎです。