歴史的には、定義域の端まで関数を延長すると、、、
ってことから極限の取り扱いが始まったんだろうから、
x≠a の定義のほうが自然だったんだろうが、
>>9 のいうように、x=a を含める定義は
連続性の定義と馴染むから、現代ではこちらが普通かと。
使った教科書の年代によるんじゃないかね？