>>603

(1)
f(x) -（ax+b) =（1-a)x + log{1 + e^(-2x)｝+ b,
∴　a=1,
　b = - lim［x→∞］log{1 + e^(-2x)｝= 0,

(2)
左　シュワルツ不等式で
　(x +1/2)･log(1 +1/x）= ∫[x，x+1] u du・∫[x，x+1］1/v dv >｛∫[x，x+1] du}^2 = 1,
右
　1/x - 1/(x+1）= 1/(x(x+1)）<｛1/x + 1/(x+1)}/{2√(x(x+1))｝= -｛1/√(x(x+1))} '
　x〜∞で積分して
　log{(x+1)/x｝< 1/√(x(x+1)),

　なお、x → e^(2x）とすれば
　2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝< log{1 + e^(-2x)｝< e^(-2x)/√{1 + e^(-2x）｝

(3)　e^x･dx = dθ/(cosθ)^2,　より
　∫[0，p］e^(-2x)/√{1 + e^(-2x)｝dx = ∫[π/4，arctan(e^p)］1/(sinθ)^2・cosθdθ
　= ［ -1/(sinθ）](θ：π/4〜arctan(e^p)）
　= √2 - √{1 + e^(-2p)}
　→　√2 - 1　　（p→∞）

(4)
∫ 2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝dx = -log{2 + e^(-2x)},
∫[0，∞］2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝dx = log(3）- log(2）= 1.09861229 - 0.69314718 = 0.40546511
一方、
S(∞）= ∫[0，∞］log｛1 + e^(-2x)｝dx = 0.4112335167 < √2 -1