つぎの条件をみたす C^2 級関数 f(x, y) はどんな関数か。

2) fxy = 0

答え： f(x, y) = p(x) + p(y)

3) fxx = fyy

u = x + y
v = x - y

とおくと、

fx = fu * ∂u/∂x + fv * ∂v/∂x = fu + fv
fy = fu - fv.
fxx = (∂/∂x) fx = (fuu * ∂u/∂x + fuv * ∂v/∂x) + (fvu * ∂u/∂x + fvv * ∂v/∂x)
= fuu + 2 * fuv + fvv
fyy = fuu - 2 * fuv + fvv

fxx = fyy だから fuv = 0

前問によって f(x, y) = p(u) + q(v) = p(x + y) + q(x - y)

fu や fv とは何でしょうか？

(∂/∂u) f(x, y) は意味不明です。

g(u, v) := f((u+v)/2, (u-v)/2) とし、

gu とするなら分かりますが。