>>452 つづき

無理数
以下では無理数全体をPで書きます。もちろん順序による標準的な位相が入っているとします。

定理6：0次元(クロープンな開基が存在するということ)でかつNowhere Compact(任意のコンパクト集合が内点を持たないということ)な可分完備距離空間はPと同相

この定理からPとN^Nが同相であることが分かります。(Ｐが完備な距離をadmitすることは、Rという完備距離空間のGδ集合になってることからわかります。)

ちなみにPとN^Nの間の同相写像として、連分数展開というものが有名です。

更にP^NがＰと同相であることもわかります。

この定理は

P.Alexandroff and P.Urysohn, Uber nulldimensionale Punktmengen, Mathematische Annalen, Vol 98, 1928, pp89-106

により発表されたようです。ドイツ語なんでぼかぁ読めません。調べてみるとオープンアクセスのようです。証明が載ってる本としては

A.S.Kechris著のClassical Descriptive set theory があります。

結びの言葉
別に0次元空間はこれだけではないのですが基本的な空間の特徴づけを紹介しました。

原論分をみて分かる通り、これらはすべて位相空間論の黎明期に判明しています。このような結果があったからこそ位相空間論の重要性が認識されたのかもしれません。

(引用終わり)
以上