>>439 つづき

太ったカントール集合の測度は
1?1/4?2/16?464?・・・?2n/4n+1?・・・
=1?(1/4+1/8+1/16+・・・)
=1/2
となり、確かに正の測度1/2を持ちます！人は見かけで判断してはいけないのです。

さらに、太った集合にもかかわらず測度が0の雑魚集合も存在します。これは次のように作ります。

まず太ったカントール集合Sを用意します。Sにはたくさんの「開区間の穴」が空いていますが、その全てに「Sを相似縮小したもの」を詰め込みます。

こうして得られたものをS1とします。さらにS1の全ての穴にSを詰め込んだものをS2とし、S3,S4,・・・と順に気持ち悪い集合を作っていきます。そして最後に

T= ? n=1〜∞ Sn
とします。Sを詰め込むたびに空白の部分の測度は半分ずつになるので、Tの測度は1になります。また各Snは稀薄な集合なのでTは痩せた集合です。するとTの補集合は太った集合で*1、かつ測度0になります。

*1:補集合も痩せているとすると[0,1]も痩せていることになりBaireの範疇定理に矛盾します。
(引用終り)

つづく